安徽省合肥市第四十八中學(xué)　　陶興高　　何軍成　　(郵編：230061)

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三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的條件探究

安徽省合肥市第四十八中學(xué)陶興高何軍成(郵編：230061)

“綜合與實(shí)踐”課是以具體問題為載體，學(xué)生經(jīng)歷設(shè)計(jì)解決問題方案，并加以實(shí)施的過程，體驗(yàn)建立模型、解決問題的過程，且在過程中不斷總結(jié)反思，嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題，是幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要途徑．在“綜合與實(shí)踐”課上學(xué)生通過對(duì)有關(guān)問題的探討，結(jié)合已有的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，通過獨(dú)立思考或與他人合作，感悟數(shù)學(xué)各部分之間的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，從而激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，加深對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的了解，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和能力．

下面筆者以一節(jié)“綜合與實(shí)踐”課，即“三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的條件探究”為例，談?wù)剬?duì)“綜合與實(shí)踐”課的一些設(shè)想和思考．

1“三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的條件探究”的教學(xué)主要過程

1.1情境創(chuàng)設(shè)

教師：同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)三角形時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到一些三角形，它們可以分割成兩個(gè)等腰三角形，有的卻不可以，一個(gè)三角形能否分割成兩個(gè)等腰三角形顯然與該三角形滿足的條件有關(guān)，本節(jié)課我們將通過動(dòng)手畫圖、認(rèn)真思考，并利用我們已有的知識(shí)來(lái)共同探究三角形能分割成兩個(gè)等腰三角形的條件．

1.2共同探究

環(huán)節(jié)1復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)，初步體驗(yàn)“分割”

教師：頂角為36°或108°的等腰三角形也叫做“黃金三角形”，你能求出黃金三角形的底角嗎？你是怎樣求的？

學(xué)生1：當(dāng)頂角為36°時(shí)，這個(gè)“黃金三角形”的底角為72°，當(dāng)頂角為108°時(shí)，這個(gè)“黃金三角形”的底角為36°．當(dāng)已知頂角，可以根據(jù)利用三角形內(nèi)角和定理求出兩個(gè)底角的和，又因?yàn)椤暗妊切蔚膬蓚€(gè)底角相等”，可求出底角的度數(shù)．

教師：很好，顯然在等腰三角形中，已知頂角的度數(shù)可以求出底角的度數(shù)，另外也可以已知底角的度數(shù)求出頂角的度數(shù)．

教師：如圖1所示，△ABC為黃金三角形，其中∠A=108°，∠B=∠C=36°，作底角∠ABC的角平分線BD，可將△ABC分割成兩三角形△ABD和△DBC，說一說這兩個(gè)三角形各角的度數(shù)？△ABD和△DBC是等腰三角形嗎？

學(xué)生3：△ABD中，∠A=∠ABD=36°，∠ADB=108°；△DBC中，∠C=∠BDC=72°，∠DBC=36°.根據(jù)“等角對(duì)等邊”，它們都是等腰三角形.

教師：顯然圖1所示的“黃金三角形”是可以分割成兩個(gè)等腰三角形的，分割線就是底角平分線.

(說明：過三角形一個(gè)頂點(diǎn)作一直線，將該三角形分割成兩個(gè)三角形，頂點(diǎn)和對(duì)邊交點(diǎn)之間的線段，本文中稱之為“分割線”)

活動(dòng)意圖本環(huán)節(jié)是通過介紹“黃金三角形”(也是等腰三角形)，鞏固等腰三角形的相關(guān)知識(shí)，即三角形的內(nèi)角和定理、“等邊對(duì)等角”和“等角對(duì)等邊”等．它們是本節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課的知識(shí)基礎(chǔ)；通過了解頂角為36°的“黃金三角形”的分割，讓學(xué)生初步了解三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的情形，感知如何“分割”，為接下來(lái)的嘗試“分割”作鋪墊．

環(huán)節(jié)2先嘗試“分割”，到會(huì)“分割”

教師：我們要探究出三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的條件，先要會(huì)“分割”，下面來(lái)看如圖2所示，△ABC為“黃金三角形”，其中∠A=108°，∠B=∠C=36°，試將其分割成兩個(gè)等腰三角形？

(教師巡視課堂，觀察學(xué)生嘗試“分割”的過程，適時(shí)啟發(fā)、引導(dǎo)，鼓勵(lì)同學(xué)之間相互交流)

教師：為實(shí)現(xiàn)上述活動(dòng)的目標(biāo)，實(shí)際上是找出什么？

學(xué)生4：找出分割線，且這條分割線將原三角形分割成兩個(gè)分別有兩個(gè)角相等的三角形．

教師：非常好，有同學(xué)找出分割線了嗎？

學(xué)生5：我的分割線是AD，(給出圖3)，其中△ABD中，∠B=∠BAD=36°，∠ADB=108°；在△ADC中，∠C=36°，∠CAD=∠ADC=72°．

學(xué)生6：我的分割線AD位置不同，(給出圖4)其中△ABD中，∠B=36°，∠BAD=∠ADB=72°；△ADC中，∠C=∠CAD=36°，∠ADC=108°．

教師：兩位同學(xué)的結(jié)果都是對(duì)的，根據(jù)等腰三角形的軸對(duì)稱性可知，它們可看作為同一種情形．哪位同學(xué)能說一說你是怎樣找的？

學(xué)生7：我是分情況討論，首先過頂點(diǎn)A作分割線AD，使得AB=AD或AB=BD或AD=BD，即△ABD為等腰三角形，再通過計(jì)算角的度數(shù)來(lái)判斷△ADC是否為等腰三角形，如果是，則可以確定這個(gè)三角形能被分割成兩個(gè)等腰三角形；再分別過B、C作分割線，用同樣的方法進(jìn)行嘗試．

教師：好，你很細(xì)心、認(rèn)真，利用分情況討論來(lái)進(jìn)行嘗試分割，看來(lái)我們對(duì)于一個(gè)三角形要討論幾次？

學(xué)生8：9次，但是有些情況不存在，可以不需要討論下去，例如過頂點(diǎn)A的分割線AD，如果AD=AB，則C與D重合；過頂點(diǎn)B的分割線BE，如果AB=AM，則M與C重合；如果BA=BM，則∠BMA=∠BAC=108°，則△ABM的內(nèi)角和大于180°；如果AM=BM，則∠ABM=∠BAC=108°，則△ABM的內(nèi)角和大于180°；過頂點(diǎn)C作分割線，根據(jù)軸對(duì)稱性，情形與過頂點(diǎn)B作分割線一樣．

教師：看來(lái)同學(xué)們?cè)趪L試分割的過程中探討和交流得很深入、很全面，大家基本上掌握了分割的方法．例如嘗試分割△ABC，先過頂點(diǎn)A作分割線，具體操作過程如下圖所示，再分別過B、C作分割線，以相同方法分析．

教師：剛才的探究讓我們知道了怎樣找出分割線，將三角形分割成兩個(gè)等腰三角形．下面我們來(lái)試著將如圖5所示的△DEF(∠D=60°，∠E=40°，∠F=80°)分割成兩個(gè)等腰三角形？

……

(具體操作探究過程與上例大致相同，此處不再贅述)

活動(dòng)意圖本環(huán)節(jié)是對(duì)兩個(gè)具體三角形進(jìn)行分割，第一個(gè)是頂角為108°“黃金三角形”，因?yàn)樵撊切问翘厥獾牡妊切?，?duì)其進(jìn)行嘗試分割，過程較為簡(jiǎn)單，學(xué)生容易取得成功，從而能激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望，同時(shí)也獲取了將三角形分割兩個(gè)等腰三角形的一般程序和方法，積累操作經(jīng)驗(yàn)．第二個(gè)三角形為不等邊三角形，對(duì)它的分割則是鞏固剛剛獲得的方法，并進(jìn)一步增強(qiáng)分割三角形的操作體驗(yàn)．

環(huán)節(jié)3猜想能“分割”的條件，并證明

教師：下圖是剛才出現(xiàn)的能分割成兩個(gè)等腰三角形的三個(gè)三角形，仔細(xì)觀察，你能猜想出三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的條件嗎？

學(xué)生9：我的猜想是“當(dāng)三角形中有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，這個(gè)三角形能夠分割成兩個(gè)等腰三角形，此時(shí)的分割線過第三個(gè)頂點(diǎn)”．

教師：很好，你會(huì)證明嗎？

學(xué)生10：會(huì)，(結(jié)合所畫圖)設(shè)∠B為α，∠C為2α，AD為分割線，且令A(yù)D=BD(△ABD為等腰三角形)，則有∠BAD=∠B=α，所以∠ADC=∠BAD+∠B=2α，所以∠BDC=∠C=2α，所以△BDC也是等腰三角形．

教師：太好了，有猜想，有證明．你在什么時(shí)候就有這樣的猜想了？

學(xué)生11：在畫圖嘗試分割時(shí)，就有這樣的猜想．

教師：看來(lái)同學(xué)們?cè)趪L試分割時(shí)不僅認(rèn)真操作，而且還認(rèn)真思考．是不是“只要三角形中有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，這個(gè)三角形就一定能夠分割成兩個(gè)等腰三角形”呢？

學(xué)生12：還要加一個(gè)條件，2倍角必須是銳角，因?yàn)槿绻?倍角是直角或鈍角時(shí)，不可能作為等腰三角形的底角．

教師：分析的很有道理，這樣我們就得到結(jié)論1“當(dāng)三角形中有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，且2倍角為銳角時(shí)，這個(gè)三角形能夠分割成兩個(gè)等腰三角形，此時(shí)的分割線過三個(gè)頂點(diǎn)”．還有其他的猜想嗎？并能證明嗎？

學(xué)生13：我的猜想是“當(dāng)三角形中有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍時(shí)，這個(gè)三角形能夠分割成兩個(gè)等腰三角形，此時(shí)分割線過3倍角的頂點(diǎn)”．

教師：好，沒有其他條件的補(bǔ)充，那么怎樣證明？

學(xué)生14：(結(jié)合所畫圖)設(shè)∠B為α，∠ACB為3α，CD為分割線，且令CD=BD(△BDC為等腰三角形)，則有∠DCB=∠B=α，所以∠ADC=∠DCB+∠B=2α，∠ACD=∠ACB-∠DCB=2α，所以∠ADC=∠ACD=2α，所以△ADC也是等腰三角形．

教師：這樣我們得到結(jié)論2“當(dāng)三角形中有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍時(shí)，這個(gè)三角形能夠分割成兩個(gè)等腰三角形，此時(shí)分割線過3倍角的頂點(diǎn)”．同學(xué)們還有其他的猜想或發(fā)現(xiàn)嗎？

……(學(xué)生吃驚、疑惑)

教師：圖6、圖7和圖8中的三個(gè)三角形，它們的分割線在兩個(gè)等腰三角形中，分別作為什么身份出現(xiàn)？

學(xué)生15：分割線有時(shí)在兩個(gè)等腰三角形中均為腰，有時(shí)為其中一個(gè)的底，為另一個(gè)的腰．(此時(shí)出示圖6、圖7和圖8中各分割線的身份說明)

教師：那么有可能存在一個(gè)三角形，能分割成兩個(gè)等腰三角形，且分割線均為兩個(gè)等腰三角形的底嗎？

學(xué)生16：不存在，(結(jié)合所畫圖)假設(shè)△ABD和△ADC為等腰三角形，分割線AD均為二者的底，則∠BDA=∠BAD，∠CDA=∠CAD，又因?yàn)椤螧DA+∠CDA=180°，所以∠BAD+∠CAD=180°，則三角形內(nèi)角和大于180°，這顯然不可能．

教師：很好，利用反證法來(lái)證明．還有其他情形嗎？

學(xué)生17：我發(fā)現(xiàn)還有一種情況，分割線同時(shí)為兩個(gè)等腰三角形的腰，但是它們的頂角頂點(diǎn)是同一點(diǎn)，這與已經(jīng)分析過的分割線同時(shí)是兩個(gè)等腰三角形的腰，但是它們的頂角頂點(diǎn)不是同一點(diǎn)這情形不一樣，(結(jié)合所畫圖)△ABD和△ADC均為等腰三角形，其中DA=DB，CA=CD(點(diǎn)D同為兩個(gè)等腰三角形的頂角頂點(diǎn))，設(shè)∠B為α，∠C為β，則∠B=∠BAD=α，∠C=∠CAD=β，又因?yàn)椤螧+∠C+∠CAB=180°，所以∠B+∠BAD+∠C+∠CAD=2α+2β=180°，即α+β=90°，所以我發(fā)現(xiàn)所有直角三角形都能分割成兩個(gè)等腰三角形，此時(shí)分割線過直角頂點(diǎn)(結(jié)論3)．

(教室響起了熱烈的掌聲)

教師：老師也由衷為你喝彩，欣賞你會(huì)觀察，會(huì)發(fā)現(xiàn)，并會(huì)分析問題和解決問題．下面我們來(lái)總結(jié)一下我們的探究結(jié)果：

根據(jù)“分割線的出現(xiàn)時(shí)身份”可知，它只有四種可能：分割線均作為腰，它的兩個(gè)端點(diǎn)分別為頂角頂點(diǎn)；分割線均作為腰，它的某一端點(diǎn)同時(shí)作為頂角頂點(diǎn)；既作為腰，又作為底；同時(shí)作為底．四種情形我們都已探究過，所以我們今天這節(jié)課“三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的條件”的探究已經(jīng)結(jié)束……

圖形能分割的條件其中一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍,其中2倍是銳角其中一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍直角三角形分割線的位置過第三個(gè)角的頂點(diǎn)過3倍角的頂點(diǎn)過直角頂點(diǎn)分割線出現(xiàn)時(shí)的身份均作為腰,分割線的兩個(gè)端點(diǎn)分別為頂角頂點(diǎn)既作為腰,又作為底均作為腰,分割線的某一端點(diǎn)同時(shí)作為頂角頂點(diǎn)

活動(dòng)意圖通過展示上一環(huán)節(jié)出現(xiàn)的能分割成兩個(gè)等腰三角形的三個(gè)三角形，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，回憶“分割”操作的過程，利用操作過程中的經(jīng)驗(yàn)和感悟，提出“猜想”，并證明、歸納得到結(jié)論1和結(jié)論2；通過提問“能分割成兩個(gè)等腰三角形的三個(gè)三角形，它們的分割線在兩個(gè)等腰三角形中，分別作為什么身份出現(xiàn)？”引導(dǎo)學(xué)生觀察、對(duì)比和思考，發(fā)現(xiàn)還有另外兩種情況(情況一：分割線是兩個(gè)等腰三角形的底；情況二：分割線同時(shí)作為兩個(gè)等腰三角形的腰，分割線的某一端點(diǎn)同時(shí)作為兩個(gè)等腰三角形頂角頂點(diǎn))，并進(jìn)行分析、證明，獲得結(jié)論3．從通過“嘗試分割”收獲操作感悟來(lái)探究條件，到“假設(shè)能分割，分割線可能具有的身份”來(lái)探究條件，方式發(fā)生了改變，難度增加，但卻讓學(xué)生清楚，我們已經(jīng)探究出全部情形.另外這樣設(shè)計(jì)有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力，有助于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的嚴(yán)密性和完善性．

2點(diǎn)評(píng)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的主要標(biāo)志.幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的結(jié)果.“綜合與實(shí)踐”是積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要載體.本節(jié)課的教學(xué)圍繞“三角形能分割成兩個(gè)等腰三角形的條件探究”這一問題核心，開展了一系列數(shù)學(xué)活動(dòng).在整個(gè)探究過程中，真正體現(xiàn)出實(shí)踐活動(dòng)為手段，具體問題為載體，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為目的的教學(xué)特點(diǎn)與形式．在學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)方面，這節(jié)課具體體現(xiàn)了以下幾點(diǎn)：

2.1在“操作”與“思考 ”中，積累活動(dòng)操作的經(jīng)驗(yàn)

經(jīng)驗(yàn)離不開活動(dòng)，數(shù)學(xué)活動(dòng)是經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生的源泉，因此離開了數(shù)學(xué)活動(dòng)，就根本不會(huì)形成有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，只有親身經(jīng)歷體驗(yàn)了才能形成經(jīng)驗(yàn)．本節(jié)課，學(xué)生首先通過觀察頂角為36°的“黃金三角形”的分割情形，初步體會(huì)分割，接著讓學(xué)生從簡(jiǎn)單而易操作的頂角為108°的“黃金三角形”進(jìn)行實(shí)踐(動(dòng)手畫)、觀察分析(動(dòng)眼看)、計(jì)算(動(dòng)筆算)、思考(動(dòng)腦想)，得到將三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的一般程序和方法，再嘗試分割第二個(gè)三角形(三個(gè)內(nèi)角分別為40°、60°和80°)，進(jìn)一步鞏固和加深前面的操作經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)．這一系列具體操作和思考活動(dòng)，讓學(xué)生會(huì)借助數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，積累了根據(jù)特例概括一般規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步提升了抽象、概括、判斷等思維能力．

2.2在“反思”中，積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)

我國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家曹才翰先生曾經(jīng)提過“培養(yǎng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思的習(xí)慣，提高學(xué)生的思維自我評(píng)價(jià)水平，這是提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的行之有效的方法”.本節(jié)課要解決的問題是探究三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的條件，問題的解決是基于學(xué)生有兩點(diǎn)生成：第一，會(huì)利用上一環(huán)節(jié)嘗試“分割”的操作過程中所積累的經(jīng)驗(yàn)和感悟，進(jìn)行歸納反思，猜想出三角形能分割成兩個(gè)等腰三角形的可能具有的條件(結(jié)論1，結(jié)論2)；第二，對(duì)于“直角三角形能分割成兩個(gè)等腰三角形”(結(jié)論3)的探究，在沒有具體實(shí)例嘗試“分割”的經(jīng)歷的情況下，通過對(duì)比分割線出現(xiàn)時(shí)的身份不同，反思發(fā)現(xiàn)還可能有的情形，即“分割線均作為腰，它的其中一端點(diǎn)同時(shí)作為兩個(gè)等腰三角形頂角頂點(diǎn)”．在上述問題解決的過程中，學(xué)生不斷地進(jìn)行歸納、對(duì)比、概括等活動(dòng)，并據(jù)此提出猜想，證明猜想，并對(duì)猜想作必要的修改完善.這種對(duì)剛剛經(jīng)歷的活動(dòng)過程(條件、步驟、方法等)的反思，有助于讓學(xué)生積累解決問題的經(jīng)驗(yàn).

2.3在“做數(shù)學(xué)”中，積累問題探究的經(jīng)驗(yàn)

建構(gòu)主義指出：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非是一個(gè)被動(dòng)的接受過程，而是一個(gè)主動(dòng)的建構(gòu)過程.也就是說數(shù)學(xué)知識(shí)必須基于個(gè)人對(duì)經(jīng)驗(yàn)的操作、交流，通過反思來(lái)主動(dòng)建構(gòu).教師應(yīng)努力給學(xué)生搭建“自主學(xué)習(xí)”的平臺(tái)，從而有效地讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，啟發(fā)學(xué)生積極思維，引導(dǎo)學(xué)生自己探索、發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).根據(jù)本節(jié)課所探究的問題的特點(diǎn)，教師合理設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷了“做數(shù)學(xué)”式的探究數(shù)學(xué)問題的過程：提出問題(探究三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的條件)→分析問題(感受“分割”，嘗試“分割”)→解決問題(提出猜想，并予以證明，歸納結(jié)論).在探究過程中，學(xué)生可以體會(huì)：?jiǎn)栴}解決與什么元素有直接關(guān)聯(lián)，問題解決的關(guān)鍵是什么，問題解決的方法有哪些等等.顯然學(xué)生在以“做數(shù)學(xué)”的形式進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，不僅高效地解決了問題，同時(shí)還積累問題探究的經(jīng)驗(yàn).

(收稿日期：2016-03-15)