高三數(shù)學(xué)綜合測(cè)試

一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)

1.已知集合A={x|-1

2.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足iz=1+i(i為虛數(shù)單位)，則z=______.

3.命題“?x∈R,x2+x+1=0”的否定是______.

5.下面是一個(gè)算法的偽代碼.如果輸出的y值是20，則輸入的x值是______.

6.在區(qū)間[-1,2]內(nèi)隨機(jī)選取一個(gè)實(shí)數(shù)，則該數(shù)為正數(shù)的概率是______.

7.在三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，則三棱錐P-ABC的體積為_(kāi)_____.

8.已知tanα=2且α為銳角，則cosα=______.

9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果直線(xiàn)l將圓x2+y2-4x-2y=0平分，且不經(jīng)過(guò)第四象限，那么l的斜率的取值范圍是______.

12.設(shè)函數(shù)

若關(guān)于x的方程f2(x)-af(x)=0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

二、解答題(本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

(1)求ω的值；

(2)當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最值.

16.(本小題滿(mǎn)分14分)在三棱錐P-SBC中，A，D分別為邊SB，SC的中點(diǎn)，且AB=3，BC=8，CD=5.PA⊥BC.

(1)求證：平面PSB⊥平面ABCD；

(2)若平面PAD∩平面PBC=l,求證：l∥BC.

17.(本小題滿(mǎn)分14分)某工廠生產(chǎn)某種黑色水筆，每百支水筆的成本為30元，并且每百支水筆的加工費(fèi)為m元(其中m為常數(shù)，且3≤m≤6).設(shè)該工廠黑色水筆的出廠價(jià)為x元/百支(35≤x≤40)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，日銷(xiāo)售量與ex成反比例，當(dāng)每百支水筆的出廠價(jià)為40元時(shí)，日銷(xiāo)售量為10萬(wàn)支.

(1)當(dāng)每百支水筆的日售價(jià)為多少元時(shí)，該工廠的利潤(rùn)y最大，并求y的最大值；

(2)已知工廠日利潤(rùn)達(dá)到1 000元才能保證工廠的盈利.若該工廠在出廠價(jià)規(guī)定的范圍內(nèi)，總能盈利，則每百支水筆的加工費(fèi)m最多為多少元？(精確到0.1元)

(1)求證：線(xiàn)段AB的長(zhǎng)是一定值；

(2)若點(diǎn)N是點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，一過(guò)原點(diǎn)O且與直線(xiàn)AB平行的直線(xiàn)與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)(如圖)，求四邊形MPNQ面積的最大值，并求出此時(shí)直線(xiàn)MN的斜率.

19.(本小題滿(mǎn)分16分)數(shù)列{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和記為An,數(shù)列{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和記為Bn.若a1=b1≠0，且存在不小于3的正整數(shù)k,m,使ak=bm.

(1)若a1=1,d=2,q=3,m=4,求Ak;

(2)若a1=1,d=2,試比較A2k與B2m的大小，并說(shuō)明理由；

(3)若q=2,是否存在整數(shù)m,k,使Ak=86Bm,若存在，求出m,k的值；若不存在，說(shuō)明理由.

20.(本小題滿(mǎn)分16分)已知函數(shù)

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)的最小值是0，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)試問(wèn)過(guò)點(diǎn)P(0，2)可作多少條直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=f(x)相切？并說(shuō)明理由.

參考答案

一、填空題

1.{0，1}；2.1-i;

二、解答題

15.(1)f(x)=(a+b)·(a-b)

=a2-b2

=-cos(ωx+2φ).

16.(1)∵A,D分別為邊SB，SC的中點(diǎn)，且BC=8，∴AD∥BC，且AD=4.

∵AB=SA=3,CD=SD=5,

∴SA2+AD2=SD2,

∴∠SAD=90°，即SA⊥AD，

∴BC⊥SB.

∵PA⊥BC,PA∩SB=A,PA、SB?平面PSB，

∴BC⊥平面PSB.

∵BC?平面ABCD，

∴平面PSB⊥平面ABCD.

(2)∵AD∥BC,AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD.

∵BC?平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l,

∴l(xiāng)∥BC.

令y′=0,得x=31+m.

①當(dāng)3≤m<4時(shí)，34≤31+m<35,

∴當(dāng)35≤x≤40時(shí)，y′≤0.

∴當(dāng)x=35時(shí)，y取最大值，最大值為1 000(5-m)e5.

②當(dāng)4≤m≤6時(shí)，35≤31+m≤37,函數(shù)y在[35,31+m]上單調(diào)遞增，在[31+m,40]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=31+m時(shí)，y取最大值1 000e9-m.

∴當(dāng)3≤m<4，x=35時(shí)，日利潤(rùn)最大值為1 000(5-m)e5元，

當(dāng)4≤m≤6，x=31+m時(shí)，日利潤(rùn)最大值為1 000e9-m元.

則h(x)在[35,40]上單調(diào)增，則

∴每百支水筆的加工費(fèi)m最多約為4.9元，

答：每百支水筆的加工費(fèi)m最多約為4.9元.

∴AB=3為定值.

(2)設(shè)P(x1,y1),∵AB∥PQ,

點(diǎn)M到直線(xiàn)PQ：2y0x+x0y=0的距離

∴S四邊形MPNQ=2S?MPQ

令t=3y20+1,t≥1,則

19.(1)ak=b4=33=27,即

2k-1=27,k=14,A14=196.

(2)依題意，A2k=4k2,且

qm-1=2k-1,顯然q>1.

所以當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>f(1)>0,即B2m-A2k>0，所以A2k

(3)依題意，ak=bm=a1·2m-1.

由Ak=86Bm,得

因?yàn)?9=512,故m-1≤9,且516=4×129=4×3×43,且2m-1+1為奇數(shù)，

故m-1=7,m=8且k=340.

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞);

②a≥1，f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，∴f(x)min=f(1)=1≠0，無(wú)解；

(3)當(dāng)a≤0時(shí)，有1條切線(xiàn)；當(dāng)a>0時(shí)，有2條切線(xiàn).

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)是(x0,f(x0)),依題意，

故函數(shù)F(x)在(0,+∞)上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即是曲線(xiàn)切線(xiàn)的條數(shù).

故F(x)在(1,+e)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

即當(dāng)a<0時(shí)，F(xiàn)(x)在(0,+∞)上恰有一個(gè)零點(diǎn).

故F(x)在(0,+∞)上至多有兩個(gè)零點(diǎn)，且F(1)=2-2-a=-a<0.

又函數(shù)y=lnx在(1,+∞)單調(diào)遞增，且值域是(0,+∞),

-2-a

若a∈[2,+∞)，構(gòu)建函數(shù)

φ(x)在[2,+∞)為增函數(shù)，

=a2+2a+3+(a2+2a+5)

>a2+2a+3,

∴當(dāng)a>0時(shí)，F(xiàn)(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，a≤0時(shí)，有1條切線(xiàn)；a>0時(shí)，有2條切線(xiàn).