佘媛媛　張世林

(湖北省巴東一中，444300)

○高考之窗○

聚焦圓錐曲線的熱點(diǎn)問題

佘媛媛張世林

(湖北省巴東一中，444300)

圓錐曲線的熱點(diǎn)問題往往是試卷的壓軸題之一.一般以直線與圓錐曲線、圓與圓錐曲線為載體,考查弦長、定點(diǎn)、定值、最值、范圍問題或探索性問題.能力要求高,綜合性強(qiáng)．本文就圓錐曲線的三類熱點(diǎn)問題給出常見的應(yīng)對策略，供大家參考.

一、圓錐曲線中的范圍、最值問題

圓錐曲線的最值與范圍問題的常見解法:① 幾何法:若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決;② 代數(shù)法:若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可首先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個函數(shù)的最值．

(1)求橢圓C1的方程;

(2)求?ABD的面積取最大值時直線l1的方程.

又l1⊥l2,故l2的方程為x+ky+k=0.

(4+k2)x2+8kx=0,

設(shè)?ABD的面積為S,則

評注本題從圖形的幾何性質(zhì)出發(fā)，將|AB|及|PD|表示為k的函數(shù)，方便了目標(biāo)函數(shù)的建立，輕松解決了問題.

(1)求橢圓C的方程;

(2)由題意知直線AB的斜率k存在,故可設(shè)直線AB的方程為y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y).

(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.

∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),

∵點(diǎn)P在橢圓C上,

∴16k2=t2(1+2k2).

∵16k2=t2(1+2k2),

∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為

二、圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題

定值、定點(diǎn)問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量,處理時直接推理求出定值,也可先通過特定位置猜測結(jié)論后進(jìn)行一般性證明,對于客觀題,通過特殊值法探求定點(diǎn)、定值能達(dá)到事半功倍的效果．

(1)求橢圓C的方程;

(2)如圖2，已知點(diǎn)P(2,3),Q(2,-3)在橢圓上,點(diǎn)A、B是橢圓上不同的兩個動點(diǎn),且滿足∠APQ=∠BPQ,試問直線AB的斜率是否為定值,請說明理由.

(2)當(dāng)∠APQ=∠BPQ時,PA,PB的斜率之和為0.設(shè)直線PA的斜率為k,則PB的斜率為-k,PA:y-3=k(x-2).

(3+4k2)x2+8(3-2k)kx+

4(3-2k)2-48=0,

評注定值問題就是在運(yùn)動變化中尋找不變量的問題,本題基本思想是使用參數(shù)表示AB的斜率kAB,證明kAB與參數(shù)無關(guān).在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.

(1)求橢圓E的方程;

∴a2+b2=7；

①

②

(2)在(1)的條件下,當(dāng)直線PQ的斜率k存在時,設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m.

(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則

又A(-2,0),由題意知

(x1+2)(x2+2)+4y1y2=0,

且x1x2≠-2,x1x2+2(x1+x2)+4

+4(kx1+m)(kx2+m)=(1+4k2)x1x2

+(2+4km)(x1+x2)+4m2+4=0,

即m2-km-2k2=0，

(m-2k)(m+k)=0，

∴m=2k或m=-k.

綜上,直線PQ恒過定點(diǎn)(1,0).

三、圓錐曲線中的探索性問題

探索性問題主要是存在性問題.求解時一般先假設(shè)存在,然后進(jìn)行合理的推理論證.若得到的結(jié)論符合情理則假設(shè)成立,若得到矛盾的結(jié)論則假設(shè)不成立．

例5如圖3,拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)為F,拋物線上一定點(diǎn)Q(1,2).

(1)求拋物線C的方程及準(zhǔn)線l的方程；

(2)過焦點(diǎn)F的直線(不經(jīng)過Q點(diǎn))與拋物線交于A,B兩點(diǎn),與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)M,記QA,QB,QM的斜率分別為k1,k2,k3,問是否存在常數(shù)λ,使得k1+k2=λk3成立？若存在λ,求出λ的值;若不存在,說明理由.

解(1)把Q(1,2)代入y2=2px,得2p=4,所以拋物線方程為y2=4x,準(zhǔn)線l的方程為x=-1.

把直線AB的方程y=k(x-1),代入拋物線方程y2=4x,并整理,可得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=

=2(k+1),

即存在常數(shù)λ=2,使得k1+k2=2k3成立.

評注解析幾何中的探索性問題,從類型上看,主要是存在類型的相關(guān)題型.解決問題的一般策略是先假設(shè)結(jié)論成立,然后進(jìn)行演繹推理或?qū)С雒?即可否定假設(shè)或推出合理結(jié)論,驗(yàn)證后肯定結(jié)論.對于“存在”或“不存在”的問題,直接用條件證明或采用反證法證明.解答時,不但需要熟練掌握圓錐曲線的概念、性質(zhì)、方程及不等式、判別式等知識,還要具備較強(qiáng)的審題能力、邏輯思維能力以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題的能力.