張魯西

(天津?qū)嶒炛袑W(xué),300074)

帶限制條件的幾類極值問題

張魯西

(天津?qū)嶒炛袑W(xué),300074)

極值是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要知識點之一,在實際生活中很多“最大”“最小”和“最優(yōu)”問題都可以歸結(jié)為極值問題.而這些問題的通常都是在某些特定環(huán)境和范圍內(nèi)產(chǎn)生的,這就自然出現(xiàn)了帶限制條件的極值問題,即在條件B下,求對象A的最大或最小問題.此類問題廣泛出現(xiàn)于各種奧數(shù)競賽和高考命題,是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點之一,解決這類問題的關(guān)鍵是如何合理地將將條件B應(yīng)用于A的最大或最小問題的中．下面介紹幾類帶限制條件的極值問題的求法．

一、利用不等式求最值

運用不等式可以求極值問題,經(jīng)常運用的不等式有:

(1)Cauchy-Schwartz不等式. 設(shè)a1,…,an,b1,…bn是實數(shù),則

等式成立當且僅當存在實數(shù)k使得b1=ka1,…,bn=kan．

(2) 均值不等式. 設(shè)a1,…,an為非負實數(shù),記

則有QM≥AM≥GM,且等式成立當且僅當a1=…=an．

例1設(shè)x,y,z是正數(shù),且9x2+y2+16z2=1,求5x+2y+8z的最大值．

解利用Cauchy-Schwartz不等式及9x2+y2+16z2=1，得

(5x+2y+8z)2

≤((3x)2+y2

二、求三角函數(shù)最值

例2設(shè)α,β滿足

求函數(shù)f(β)=2cos2β+cosβ的最大值．

兩邊平方,整理得

解不等式并注意|cosβ|≤1，得

評注很多三角函數(shù)問題有幾何背景,該題的已知條件在恰當變形后巧妙轉(zhuǎn)化為解析幾何問題,運用直線和曲線相交求出cosβ的取值范圍,再利用二次函數(shù)的單調(diào)性得到最大值．

三、求與圓錐曲線相關(guān)的面積最值

在解析幾何中也常見在限制條件下求二次曲線的最大面積問題．

例3求半徑為R的半圓中與邊界相切的橢圓的最大面積．

解在平面直角坐標系中,設(shè)半圓的方程為

橢圓方程為

則該橢圓與半圓在x軸上的邊界相切,將半圓方程代入橢圓方程，得

(a2-b2)y2-2a2by+b2R2=0．

又半圓與橢圓相切,以上方程判別式為0,可得

于是橢圓的面積

利用均值不等式，得

所以所求橢圓的最大面積為