長沙市高新區(qū)明德麓谷學(xué)校小學(xué)數(shù)學(xué)組 瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

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“平行四邊形和梯形”教學(xué)研究報告

長沙市高新區(qū)明德麓谷學(xué)校小學(xué)數(shù)學(xué)組 瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

一、問題

“平行四邊形和梯形”是一節(jié)圖形概念教學(xué)課，屬于空間和圖形領(lǐng)域的內(nèi)容。由于平行四邊形、梯形是日常生活中常見的圖形，應(yīng)用也較廣泛，學(xué)生有一定的辨析平行四邊形和梯形的經(jīng)驗，也積累了關(guān)于這兩種圖形的表象，加上對平行、垂直的概念有了一定的認識，這些都為進一步認識平行四邊形和梯形打下了良好的知識基礎(chǔ)。本課的主要教學(xué)目標(biāo)是：通過對多個圖形的辨析，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形和梯形的特征，對圖形的本質(zhì)屬性進行歸納，逐步概括出它們的定義，再運用定義辨識圖形，給圖形分類；體會平行四邊形的易變形性；發(fā)現(xiàn)四邊形中各類圖形之間的聯(lián)系。學(xué)生通過這部分知識的學(xué)習(xí)，為今后學(xué)習(xí)平行四邊形、梯形的面積計算打下基礎(chǔ)。那么，如何幫助學(xué)生實現(xiàn)從生活經(jīng)驗向數(shù)學(xué)經(jīng)驗的轉(zhuǎn)化？如何引導(dǎo)學(xué)生用正確、簡潔的語言概括概念？如何將概念的形成與應(yīng)用進行順暢連接？這些都是值得我們研究的問題。

為了更好地了解學(xué)生的學(xué)情，我們隨機抽取四年級57名學(xué)生進行了學(xué)習(xí)前測，下面是前測的統(tǒng)計結(jié)果。

（1）辨認平行四邊形和梯形

圖形 問卷結(jié)果統(tǒng)計認為是平行四邊形的有57人（占100%）。認為是平行四邊形的有26人（占46%），認為是梯形的有4人（占7%）。認為是梯形的有57人（占100%）。認為是梯形的有49人（占86%），認為是平行四邊形的有2人（占3%）。認為是平行四邊形的有51人（占89%），認為是梯形的有5人（占9%）。認為是梯形的有31人（占54%），認為是平行四邊形的有3人（占5%）。認為是梯形的有7人（占7%），認為是平行四邊形的有31人（占54%）。

（2）你知道什么是平行四邊形嗎？它們有什么特點？你知道什么是梯形嗎？它們有什么特點？

閱卷內(nèi)容 閱卷結(jié)果統(tǒng)計平行四邊形表達正確，能突出“平行”的有12人（占21%）能表達但不完整的有19人（占33%）不正確的描述有18人（占32%）沒寫的有8人（占14%）梯形表達正確的有5人（占8%）能表達但不完整的有17人（占30%）不正確的描述有17人（占30%）沒寫的有18人（占32%）

（3）你知道四邊形、平行四邊形、梯形、長方形、正方形之間的關(guān)系嗎？請用語言或圖表示。

調(diào)查結(jié)果：能用集合圖準(zhǔn)確表示的有2人（占4%）；能用語言較清楚表達的有4人（占8%）；零散的表述如“都有4條邊”“都有4個角”“內(nèi)角和都為360度”“都有高”等的有26人（占46%）；沒寫的有25人（占44%）。

1.教學(xué)實踐中的問題

一方面，學(xué)生在三年級初步認識了四邊形和平行四邊形，通過周長的計算教學(xué)進一步了解了長方形和正方形的邊的特征。另一方面，本節(jié)課中，平行四邊形與梯形、四邊形的關(guān)系以及平行四邊形易變形等知識點同時出現(xiàn)，應(yīng)該如何把握知識的前聯(lián)后延？針對這些問題，我們將從教與學(xué)兩個維度加以分析，以期通過研究這些問題，更好地開展教學(xué)。

教之困

（1）平行四邊形、梯形的知識點多而散，如何整合各個知識點，使知識成體系呈現(xiàn)？

（2）關(guān)于平行四邊形的概念教學(xué)，是教師做好預(yù)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注邊的位置關(guān)系，逐步概括得出概念？還是給學(xué)生充分的時間獨立探究，在對圖形的測量和比較等活動中逐步探索出圖形的本質(zhì)特征，最后概括出概念？哪種方式能使學(xué)生對概念掌握得更深刻？

（3）對于梯形的認識，有些學(xué)生雖了解了梯形的特征，但總認為同梯子一樣的才是梯形，不能接受一些特殊形狀的梯形。如何解決學(xué)生生活經(jīng)驗帶來的負遷移問題？

（4）點子圖對認識平行四邊形和梯形的特征有什么作用？如何發(fā)揮它對學(xué)習(xí)概念的促進作用，又不束縛學(xué)生的思維呢？

（5）我們的教學(xué)有三個層次：教知識、教方法、教思想。在平行四邊形和梯形的認識教學(xué)中，我們除了教給學(xué)生有關(guān)概念和應(yīng)用外，還可以教給學(xué)生哪些數(shù)學(xué)思想與方法呢？

學(xué)之難

通過觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)前測結(jié)果、訪談對此內(nèi)容有執(zhí)教經(jīng)歷的教師、查閱教學(xué)后學(xué)生的練習(xí)檢測等，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對平行四邊形和梯形的學(xué)習(xí)困惑主要有如下表現(xiàn)——

（1）平行四邊形、梯形的概念的建立較單薄、孤立，不能從運動變化等多角度構(gòu)建四邊形的知識網(wǎng)絡(luò)。

（2）對圖形的特征有所理解，但語言表達不是特別準(zhǔn)確，容易受概念的非本質(zhì)屬性的干擾。

（3）學(xué)生由于沒有經(jīng)歷概念的獲得過程，或者過程體驗不深刻，運用知識解決問題的靈活性不強。

2.對問題的分析

（1）改編整合，關(guān)注知識的體系。將教材中原來分開教學(xué)的平行四邊形和梯形的概念進行整合，讓學(xué)生對平行四邊形和梯形以及一般的四邊形有成體系的認識，有利于加深對圖形之間關(guān)系的理解。

（2）“讓學(xué)生經(jīng)歷知識獲取或知識形成的過程”是當(dāng)前數(shù)學(xué)改革提倡的理念。本節(jié)課的教學(xué)，要給學(xué)生充分的時間進行探究、交流，在辨析中發(fā)現(xiàn)圖形的特征，體驗概念的形成過程，將實際操作活動和動畫演示相結(jié)合，在變與不變的探究過程中體會平行四邊形的本質(zhì)屬性。

（3）對有點像平行四邊形的“特殊”樣子的梯形，在課堂上，教師給予學(xué)生充分的時間，運用學(xué)到的概念去辨識，不僅可以做到學(xué)以致用，還能在學(xué)生腦海里留下深刻的印象。

（4）點子圖在本課的最大作用是幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形邊和角的特點，把點、線、面聯(lián)系起來，也利于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。所以本課教學(xué)中可以把握時機，恰到好處地運用點子圖。

（5）學(xué)生沒有經(jīng)歷概念的獲得過程，或者過程體驗不夠深刻，對概念的認識還是停留在表層的文字?jǐn)⑹錾?，概念的本質(zhì)屬性并沒有掌握，也會直接影響概念的運用。和學(xué)生一起嘗試用準(zhǔn)確簡潔的語言歸納概念，帶學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，對學(xué)生以后學(xué)習(xí)概念的方式方法有指導(dǎo)作用。

二、實踐

（一）學(xué)生了解抽象概念的方法，體會概念抽象的過程。

片段目標(biāo)：從對圖形的辨析中發(fā)現(xiàn)兩種圖形的特征，抽象出平行四邊形和梯形的概念，實現(xiàn)生活經(jīng)驗向數(shù)學(xué)經(jīng)驗轉(zhuǎn)化。

1.認識平行四邊形

師：（課件出示生活中的各種圖形）你在圖中發(fā)現(xiàn)了什么圖形？

生1：四邊形、平行四邊形、梯形等。

師：這節(jié)課我們重點研究四邊形中的平行四邊形。（板書課題，課件出示8個圖形）仔細觀察，你能從這些圖形中找出平行四邊形嗎？學(xué)生在練習(xí)紙上進行圖形的探究活動，并匯報。生2：1、2、3、5是平行四邊形。（師將圖形貼到平行四邊形的下面）

生3：我覺得3號圖形不像平行四邊形。（一部分同學(xué)表示同意）

師：既然大家對3號圖形有爭議，那我們先放一邊，來看看別的圖形。1、2、5號這3個圖形大家認為都是平行四邊形，你能說說這些平行四邊形都有什么特點嗎？

生4：上下兩條邊相等，左右兩條邊相等。生5：我能講得簡潔些，對邊相等。師：你們怎么發(fā)現(xiàn)的？生6：我們用尺子量了。生7：我們學(xué)了平行線，這些平行四邊形的對邊互相平行。

生8：對角也相等，我用量角器測量了。（板書：對邊平行、相等，對角相等）

師：為了方便觀察，我們可以借助點子圖。（出示點子圖）仔細觀察這3個圖，的確具備這些特點。誰來說說到底什么樣的四邊形是平行四邊形？

生9：對邊平行而且相等的四邊形是平行四邊形。生10：還有對角也要相等。

師：我們看看書上怎么說的，是不是和我們說的一樣？（生讀書上結(jié)語）為什么書上只是說“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”，而沒有說到邊的長短和角度？

生11：我們發(fā)現(xiàn)只要兩組對邊都平行，對邊就一定會相等。

生12：我畫了個圖，發(fā)現(xiàn)如果有一組對邊不平行，就會有對邊不相等。要是不平行，那角也不相等了。

師：是的，其實我們在總結(jié)什么是平行四邊形時，只要說清楚最重要的特點，其他特征就都符合了。（板書：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）

2.認識梯形

師：找出了平行四邊形，你還能發(fā)現(xiàn)什么圖形？

生13：我發(fā)現(xiàn)4號和6號圖是梯形。（師板書，并將兩個圖貼到梯形下面）

師：梯形又有什么特點？

生14：看點子圖，我發(fā)現(xiàn)梯形有一組對邊平行，另一組對邊不平行。（師板書梯形特征）

師：誰能說說什么樣的四邊形是梯形？

生15：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形。

師：有沒有更簡潔的說法？

生16：只有一組對邊平行的四邊形是梯形。（板書）

師：那3號圖形到底是什么圖形？

生17：我發(fā)現(xiàn)3號圖形的確不是平行四邊形。它有一組對邊平行，另一組對邊不平行，不符合平行四邊形的特點，難道它是梯形？

生18：它不是梯形，梯形有兩條邊應(yīng)該往外面打開的，上小下大。

生19：但是它符合梯形的特點，我覺得就是梯形呀！

師：孩子們，其實兩條邊向外打開的梯形，像梯子的形狀，是比較常見的梯形；而像3號這樣的圖形也叫梯形，也具備梯形的特點，只是它們不常見。

設(shè)計意圖：利用圖形的辨析發(fā)現(xiàn)圖形的特征，加深對圖形的認識。然后嘗試概括平行四邊形的概念，體會概念的抽象過程。

（二）實際操作和動畫演示相結(jié)合，在變與不變的探究過程中體會圖形的本質(zhì)屬性。

片段目標(biāo)：探究平行四邊形容易變形的特性，了解長方形和正方形是特殊的平行四邊形，體會平行四邊形易變性在生活中的應(yīng)用。

教師出示4長4短共8根小棒，讓學(xué)生拼成一個平行四邊形。學(xué)生動手拼，并拉一拉。

師：還是平行四邊形嗎？（再拉一拉）還是嗎？（拉成長方形）這時還是平行四邊形嗎？

生20：還是平行四邊形。

生21：和平常見到的平行四邊形有點不同，是長方形了。

師：變成長方形后，什么變了？什么沒變？

生22（演示）：面積變了，邊的長短沒變，周長沒變。

師：對邊還平行嗎？（借助課件演示）在格子圖中，平行四邊形拉成長方形，能看出兩組對邊還是分別平行，對邊平行的關(guān)系沒變。所以長方形、正方形也是平行四邊形。現(xiàn)在你們想想，為什么電動門和推拉門要做成平行四邊形？（平行四邊形容易變形）

設(shè)計意圖：學(xué)生圍繞平行四邊形變形中的“變”探究：什么變了？什么沒變？邊的長度沒變，周長沒變；角的度數(shù)變了，面積變了，為學(xué)習(xí)平行四邊形的面積計算做鋪墊。

（三）在認識圖形的本質(zhì)屬性并建立概念后，用概念辨識圖形，經(jīng)歷概念學(xué)習(xí)的完整過程。

片段目標(biāo)：利用圖形的平移重疊，幫助學(xué)生從運動變化的角度鞏固所學(xué)的知識。

師：我們認識了很多圖形，其實圖形也會變魔術(shù)哦！你信嗎？睜大眼睛仔細看。（課件演示兩張長方形紙慢慢向中間平移，交叉后出現(xiàn)重疊部分）你能看出中間的重疊部分是什么圖形嗎？再將一個長方形旋轉(zhuǎn)一下，這時重疊部分又是什么圖形？將一個長方形換成三角形，這時的重疊部分又變成什么圖形了？再將三角形旋轉(zhuǎn)一下呢？

生24：用兩個長方形交叉擺放，重疊部分是平行四邊形；用三角形和平行四邊形交叉放，重疊部分是梯形。

生25：我來補充：因為長方形對邊平行，所以中間重疊部分的對邊也平行，就是平行四邊形；三角形兩條邊不平行，所以中間重疊部分只有一組對邊平行，是梯形。

設(shè)計意圖：利用圖形“變魔術(shù)”將學(xué)生的注意力聚焦到兩個圖形的平移運動上。學(xué)生用所學(xué)的圖形的概念或特征辨別圖形，學(xué)會運用知識解決問題。

三、討論

這次的教學(xué)研究，我們針對教與學(xué)中的困惑進行了嘗試，有以下一些思考。

1.將兩種圖形放到一起對比和辨別，有助于概念體系的形成。平行四邊形和梯形的概念都是從對邊的位置關(guān)系中歸納得出的：一般四邊形沒有一組對邊平行，梯形恰有一組對邊平行，平行四邊形有兩組對邊平行。將平行四邊形和梯形的認識放到一起，學(xué)生能更好地理解它們之間以及它們和一般四邊形之間的關(guān)系。

2.學(xué)生經(jīng)歷概念的抽象過程，有利于培養(yǎng)抽象思維能力和歸納概括能力。學(xué)生在抽象出圖形概念的過程中，需要大量的表象做支撐；在教學(xué)圖形的概念時，需要借助有趣的活動，讓學(xué)生在辨析中逐步感受圖形的特點，進而認識圖形的本質(zhì)屬性，再嘗試概括概念。這一教學(xué)過程中，應(yīng)該重本質(zhì)，輕形式。

3.本課有了完整的概念學(xué)習(xí)的路徑：在辨析中探究圖形特征——歸納概括，形成概念——運用概念，再辨識圖形。學(xué)生學(xué)習(xí)概念后，能運用概念解決問題，才是真正理解了概念，所以在學(xué)生抽象出概念后，應(yīng)該有一個運用概念解決問題的過程。

4.后續(xù)的思考

在教學(xué)中，對四邊形、平行四邊形、梯形、長方形和正方形之間的關(guān)系，教師總是習(xí)慣于直接告訴學(xué)生，“長方形和正方形是特殊的平行四邊形，正方形是特殊的長方形”。我們在思考，是否可以從各個圖形的特征入手，將圖形邊和角的特征列舉出來，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形之間的關(guān)系？特征越多，條件越多，這個圖形就越特殊；特征越少，條件越少，這類圖形就越一般，從而更深切地體會概念的內(nèi)涵與外延。

平行四邊形和梯形其實有很多聯(lián)系，和長方形、正方形的聯(lián)系也很緊密。在后面的面積計算的學(xué)習(xí)中，平行四邊形的面積是轉(zhuǎn)化成長方形來計算的；三角形和梯形的面積公式，是由2個完全相同的圖形拼成平行四邊形，通過計算平行四邊形的面積得到的。因此，在本章節(jié)的后續(xù)學(xué)習(xí)中是否可以加一節(jié)課，讓學(xué)生借助畫圖后剪拼或七巧板拼擺等活動體會這幾類圖形的關(guān)系和互變方法，為后續(xù)的面積計算學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)？

（執(zhí)筆：賀慧華、周誠）