李紅平

【摘要】探索性問題是一種開放性和發(fā)散性的題型，因此，求解這類問題要結(jié)合已知條件，進(jìn)行觀察、分析、比較和概括，必須敢于探索，大膽猜想，得出結(jié)論之后再依常規(guī)方法進(jìn)行論證，在探索方法的過程中，有時還需要研究簡化形式但保持本質(zhì)特征的情形，運(yùn)用類比、聯(lián)想、猜測來探路，解題過程創(chuàng)新成分較高，因此，同學(xué)們要通過這種題型的訓(xùn)練培養(yǎng)自己良好的思維品質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力.

【關(guān)鍵詞】探究；問題；解法；策略

波利亞說：“解題的成功要靠正確的解題思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘”.說明解題過程就是不斷地將未知轉(zhuǎn)化為已知的過程，在思維中構(gòu)造出一種相關(guān)的數(shù)學(xué)對象，一種新的數(shù)學(xué)形式.在教學(xué)過程中如何培養(yǎng)學(xué)生探索、猜想的思想和方法，是值得每一位數(shù)學(xué)教師探求的教學(xué)問題.

通過網(wǎng)絡(luò)資源了解，數(shù)學(xué)探究是新課程改革竭力倡導(dǎo)的一種研究性學(xué)習(xí)方式，近年來，高考明顯加大了對學(xué)生直覺猜想、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比等重要的科學(xué)發(fā)展和科學(xué)研究方法的考查力度，由歸納得到猜想，由類比發(fā)現(xiàn)新知等試題都有較高的能力要求，具有一定的難度，通過抽象函數(shù)、高等數(shù)學(xué)背景、研究性問題等為命題的素材，考查學(xué)生的閱讀理解能力、抽象思維能力和代數(shù)推理能力以及歸納猜想、類比發(fā)現(xiàn)等創(chuàng)新能力和進(jìn)一步考查學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，以提高試題的區(qū)分度.

探究性問題常常需要由給定的題設(shè)條件去探索相應(yīng)的結(jié)論，或探索滿足某些條件的對象是否存在，問題增加了許多可變的因素，思維指向不明顯，解題時往往難于下手.近年來，探索性問題在高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，主要分為兩類：一類是猜想型，即結(jié)論未給出，解題時需要首先探索結(jié)論，然后再加以證明，另一類是判斷型，即判定符合某種條件的數(shù)學(xué)對象是否存在或其結(jié)論是否成立.

這種題型對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的能力提出了較高的要求，從而也有利于考查學(xué)生的探索、分析、歸納、判斷、討論與證明等各方面的能力，使學(xué)生經(jīng)歷一個發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的全過程，因此，在備考和教學(xué)中要加以重視.

一、猜想型探究問題

分析 本題屬于猜想型探究問題，考查了等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的概念、等比中項(xiàng)、數(shù)學(xué)歸納等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法

評注 正確解答本題除了掌握相關(guān)的基礎(chǔ)知識外，還需要具備一定的觀察、分析、歸納、猜想等能力，（Ⅰ）問難度不大，符合考綱中能根據(jù)遞推關(guān)系寫出數(shù)列前幾項(xiàng)的要求；（Ⅱ）問要先通過歸納、猜想得到an和bn的表達(dá)式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，對于這類問題，關(guān)鍵在于歸納和猜想，如果猜想的結(jié)論正確，一般證明也較易解決，如果猜想結(jié)論不正確，當(dāng)然也就證不出來了.

二、判斷型探究問題

例2 （2010年安徽卷，19題）已知橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A2，3，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e=12.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）求∠F1AF2 的角平分線所在直線l的方程；

（Ⅲ）在橢圓E上是否存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點(diǎn)？若存在，

請找出，若不存在，說明理由.

評注 本題考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡單幾何性質(zhì)、直線的點(diǎn)斜式方程與一般方程、點(diǎn)到直線的距離公式、點(diǎn)關(guān)于直線的對稱等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想，綜合運(yùn)算能力，探究意識與創(chuàng)新意識.

本題的（Ⅲ）問屬于判斷型探究問題，即題目沒有給出明確的結(jié)論，但給出了結(jié)論的可能范圍，對存在性問題，常以“存在”、“不存在”、“是否存在”等形式出現(xiàn)，“存在”就是有適合某種條件或符合某種性質(zhì)的對象，對于這類問題無論用什么方法只要找出一個，就說明存在，問題就算解決了；“不存在”就是無論用什么方法都找不出一個適合某已知條件或符合某種性質(zhì)的對象，這類問題一般需要推理證明，經(jīng)常用反證法；“是否存在”結(jié)論有兩種可能，存在與不存在，若存在，則需找出來；若不存在，則需說明理由.解決這類探索性問題，常假設(shè)結(jié)論的某一方面成立，進(jìn)行計算和推理，若推出矛盾，則否定先前假設(shè)，若推出合理的結(jié)論，則說明假設(shè)正確.

探索性問題的形式很多，但高考中出現(xiàn)最多的是探索結(jié)論型（猜想型）和探索存在型（判斷型）這兩類，其中以探索存在型問題居多.

解題策略 對于猜想型，其解題思路一般由條件出發(fā)，由特殊到一般，經(jīng)過試驗(yàn)，猜想出結(jié)論，然后進(jìn)行證明，對于判斷型，其解題思路一般是假設(shè)結(jié)論的某一方面成立，進(jìn)行推理，若推出矛盾，即否定先前假設(shè)；若推出合理的結(jié)論，說明假設(shè)正確.