王聞達(dá)
【摘 要】在全球范圍內(nèi),金融衍生產(chǎn)品均保持著迅猛的發(fā)展,但在其發(fā)展過(guò)程中,相關(guān)的問(wèn)題得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注,如:期權(quán)問(wèn)題、投資者消費(fèi)問(wèn)題等。金融市場(chǎng)唯有確定公平的金融衍生品價(jià)格,才能夠使其獲得健康的發(fā)展。通過(guò)數(shù)學(xué)家、金融學(xué)家的共同努力,提出了期權(quán)定價(jià)模型,即:Black-Scholes模型。為了適應(yīng)金融衍生市場(chǎng)發(fā)展的需求,期權(quán)日漸豐富,雖然推動(dòng)了金融市場(chǎng)的發(fā)展,但期權(quán)定價(jià)問(wèn)題仍未能得到有效的解決。因此,本文以隨機(jī)偏微分方程為研究對(duì)象,闡述了其在金融衍生品定價(jià)中的應(yīng)用。
【關(guān)鍵詞】隨機(jī)偏微分方程;金融衍生產(chǎn)品;定價(jià)
一、引言
金融衍生產(chǎn)品定價(jià)直接影響著金融市場(chǎng)的發(fā)展,其定價(jià)偏誤是最為關(guān)鍵的技術(shù)性環(huán)節(jié),雖然Black和Scholes提出了期權(quán)定價(jià)公式,但未能解決復(fù)雜的金融衍生品定價(jià)問(wèn)題。面對(duì)復(fù)雜的現(xiàn)代金融衍生產(chǎn)品,為了提高了定價(jià)的準(zhǔn)確性,應(yīng)積極利用隨機(jī)偏微分方程。
二、金融衍生產(chǎn)品定價(jià)的研究概況
在金融市場(chǎng)中,期權(quán)作為金融衍生產(chǎn)品的一種,具有廣泛性、豐富性與復(fù)雜性。期權(quán)受諸多因素的影響,因此,其定價(jià)問(wèn)題得到了數(shù)學(xué)家、金融學(xué)者的普遍關(guān)注。自20世紀(jì)70年代起,期權(quán)交易日漸規(guī)范,其發(fā)展速度相對(duì)較快,但對(duì)于中國(guó)金融市場(chǎng)而言,其期權(quán)交易仍處于發(fā)展初期,為了推動(dòng)期權(quán)市場(chǎng)的健康、穩(wěn)定與有序發(fā)展,相關(guān)的研究不斷增多,如:Black-Scholes模型、不完全市場(chǎng)的期權(quán)定價(jià)、帶違約風(fēng)險(xiǎn)的期權(quán)定價(jià)及不對(duì)稱(chēng)信息下的市場(chǎng)交易等,在研究過(guò)程中,具體的方法有Black-Scholes期權(quán)定價(jià)方法、有限差分方法、二叉樹(shù)方法等。
隨著期權(quán)的發(fā)展,根據(jù)其權(quán)利可以分為看漲期權(quán)與看跌期權(quán),根據(jù)其執(zhí)行時(shí)間可以分為歐式期權(quán)與美式期權(quán)。在金融市場(chǎng)日漸完善的背景下,新型期權(quán)不斷增多,如:障礙期權(quán)、回望期權(quán)及一籃子期權(quán)等,雖然期權(quán)的發(fā)展促進(jìn)了金融市場(chǎng)的繁榮,也推動(dòng)了期權(quán)定價(jià)理論的完善。但在經(jīng)濟(jì)全球化與一體化的環(huán)境下,金融市場(chǎng)的不確定因素日漸增多,為了抵御風(fēng)險(xiǎn),需要研究金融衍生產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題。
三、隨機(jī)偏微分方程在金融衍生產(chǎn)品定價(jià)中的應(yīng)用
隨機(jī)偏微分方程主要是對(duì)物理學(xué)、生物學(xué)中的重要現(xiàn)象進(jìn)行準(zhǔn)確的描述,以此掌握其量化規(guī)律。它作為概率論的一部分,其逐漸成為了研究的熱點(diǎn)。如:隨機(jī)Burgers方程與Kuramoto-Sivashinsky方程,前者的研究對(duì)象為流體力學(xué),探究了物理問(wèn)題,讓人明確了對(duì)流與耗散流二者間的綜合過(guò)程;后者的研究對(duì)象為電磁場(chǎng),闡述了物理學(xué)問(wèn)題,使人掌握了電磁場(chǎng)的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。
在偏微分方程應(yīng)用日漸廣泛的情況下,它在金融問(wèn)題方面的重要性日漸顯著,特別是面對(duì)期權(quán)定價(jià)問(wèn)題,國(guó)外學(xué)者Black和Scholes以歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題為研究對(duì)象,提出了Black-Scholes模型,進(jìn)而有效解決了期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。例如:以某投資者對(duì)為研究對(duì)象,建立一個(gè)由期權(quán)與原生資產(chǎn)構(gòu)成的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)交易組合,以此獲得相應(yīng)的期權(quán)價(jià)格表達(dá)式。隨著相關(guān)研究的日漸深入,期權(quán)原生資產(chǎn)價(jià)格的特征愈加顯著,即:隨機(jī)波動(dòng)率或者重尾。
目前,歐式期權(quán)定價(jià)應(yīng)用著眾多的模型,主要有隨機(jī)波動(dòng)率模型、跳擴(kuò)散模型與Levy過(guò)程模型等。例如:以同一投資者為研究對(duì)象,采用不同模型分析,通過(guò)比較可知,Levy過(guò)程模型中涉及的金融市場(chǎng)為不完全市場(chǎng),因此,不存在完全對(duì)沖策略,而B(niǎo)lack-Scholes模型的市場(chǎng)為完全市場(chǎng),因此,存在完全對(duì)沖策略。面對(duì)不完全市場(chǎng),對(duì)沖策略應(yīng)具有合理性,在此基礎(chǔ)上,才能夠減少投資風(fēng)險(xiǎn),通過(guò)方差最優(yōu)研究可知,亞式期權(quán)與目標(biāo)波動(dòng)率期權(quán)是最為有效的對(duì)沖策略。
當(dāng)前,金融衍生產(chǎn)品交易較為頻繁,特別是在場(chǎng)外市場(chǎng),金融機(jī)構(gòu)與企業(yè)所進(jìn)行了期權(quán)交易,由于缺少保證金制度,導(dǎo)致期權(quán)持有人需要承擔(dān)交易對(duì)手違約所帶來(lái)的損失。在此情況下,為了減少風(fēng)險(xiǎn)損失,需要對(duì)具有對(duì)有風(fēng)險(xiǎn)的期權(quán)實(shí)施定價(jià),通常情況下,利用跳擴(kuò)散過(guò)程以此掌握原生資產(chǎn)與交易對(duì)手的資產(chǎn)過(guò)程,此時(shí)為系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn),同時(shí)借助經(jīng)典的結(jié)構(gòu)化方法,以此了解交易對(duì)手的信用違約,此時(shí)為特性風(fēng)險(xiǎn)。在隨機(jī)偏微分方程的支持下,將獲得具有對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)的期權(quán)價(jià)格,再次價(jià)格表達(dá)式下,便可以明確不同跳部分所帶來(lái)的影響。
四、總結(jié)
綜上所述,在全球范圍內(nèi),金融衍生產(chǎn)品相對(duì)較多,其交易量相對(duì)較大,為了控制交易風(fēng)險(xiǎn),金融衍生產(chǎn)品定價(jià)的相關(guān)問(wèn)題得到了各國(guó)學(xué)者的廣泛關(guān)注。隨著B(niǎo)lack-Scholes模型的提出,相關(guān)的模型不斷涌現(xiàn),但金融衍生產(chǎn)品定價(jià)仍缺少準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性,為了解決此問(wèn)題,本文闡述了隨機(jī)偏微分方程的運(yùn)用,通過(guò)不同模型的運(yùn)用,充分發(fā)揮了隨機(jī)偏微分方程的作用,為我國(guó)金融市場(chǎng)的健康與穩(wěn)定發(fā)展提供了可靠的保障。相信,隨著隨機(jī)偏微分方程研究的日漸深入,其應(yīng)用效果將更加顯著,我國(guó)金融衍生品定價(jià)將更加精準(zhǔn)。
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