王聞達(dá)

【摘 要】在全球范圍內(nèi)，金融衍生產(chǎn)品均保持著迅猛的發(fā)展，但在其發(fā)展過程中，相關(guān)的問題得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，如：期權(quán)問題、投資者消費(fèi)問題等。金融市場(chǎng)唯有確定公平的金融衍生品價(jià)格，才能夠使其獲得健康的發(fā)展。通過數(shù)學(xué)家、金融學(xué)家的共同努力，提出了期權(quán)定價(jià)模型，即：Black-Scholes模型。為了適應(yīng)金融衍生市場(chǎng)發(fā)展的需求，期權(quán)日漸豐富，雖然推動(dòng)了金融市場(chǎng)的發(fā)展，但期權(quán)定價(jià)問題仍未能得到有效的解決。因此，本文以隨機(jī)偏微分方程為研究對(duì)象，闡述了其在金融衍生品定價(jià)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】隨機(jī)偏微分方程；金融衍生產(chǎn)品；定價(jià)

一、引言

金融衍生產(chǎn)品定價(jià)直接影響著金融市場(chǎng)的發(fā)展，其定價(jià)偏誤是最為關(guān)鍵的技術(shù)性環(huán)節(jié)，雖然Black和Scholes提出了期權(quán)定價(jià)公式，但未能解決復(fù)雜的金融衍生品定價(jià)問題。面對(duì)復(fù)雜的現(xiàn)代金融衍生產(chǎn)品，為了提高了定價(jià)的準(zhǔn)確性，應(yīng)積極利用隨機(jī)偏微分方程。

二、金融衍生產(chǎn)品定價(jià)的研究概況

在金融市場(chǎng)中，期權(quán)作為金融衍生產(chǎn)品的一種，具有廣泛性、豐富性與復(fù)雜性。期權(quán)受諸多因素的影響，因此，其定價(jià)問題得到了數(shù)學(xué)家、金融學(xué)者的普遍關(guān)注。自20世紀(jì)70年代起，期權(quán)交易日漸規(guī)范，其發(fā)展速度相對(duì)較快，但對(duì)于中國金融市場(chǎng)而言，其期權(quán)交易仍處于發(fā)展初期，為了推動(dòng)期權(quán)市場(chǎng)的健康、穩(wěn)定與有序發(fā)展，相關(guān)的研究不斷增多，如：Black-Scholes模型、不完全市場(chǎng)的期權(quán)定價(jià)、帶違約風(fēng)險(xiǎn)的期權(quán)定價(jià)及不對(duì)稱信息下的市場(chǎng)交易等，在研究過程中，具體的方法有Black-Scholes期權(quán)定價(jià)方法、有限差分方法、二叉樹方法等。

隨著期權(quán)的發(fā)展，根據(jù)其權(quán)利可以分為看漲期權(quán)與看跌期權(quán)，根據(jù)其執(zhí)行時(shí)間可以分為歐式期權(quán)與美式期權(quán)。在金融市場(chǎng)日漸完善的背景下，新型期權(quán)不斷增多，如：障礙期權(quán)、回望期權(quán)及一籃子期權(quán)等，雖然期權(quán)的發(fā)展促進(jìn)了金融市場(chǎng)的繁榮，也推動(dòng)了期權(quán)定價(jià)理論的完善。但在經(jīng)濟(jì)全球化與一體化的環(huán)境下，金融市場(chǎng)的不確定因素日漸增多，為了抵御風(fēng)險(xiǎn)，需要研究金融衍生產(chǎn)品的定價(jià)問題。

三、隨機(jī)偏微分方程在金融衍生產(chǎn)品定價(jià)中的應(yīng)用

隨機(jī)偏微分方程主要是對(duì)物理學(xué)、生物學(xué)中的重要現(xiàn)象進(jìn)行準(zhǔn)確的描述，以此掌握其量化規(guī)律。它作為概率論的一部分，其逐漸成為了研究的熱點(diǎn)。如：隨機(jī)Burgers方程與Kuramoto-Sivashinsky方程，前者的研究對(duì)象為流體力學(xué)，探究了物理問題，讓人明確了對(duì)流與耗散流二者間的綜合過程；后者的研究對(duì)象為電磁場(chǎng)，闡述了物理學(xué)問題，使人掌握了電磁場(chǎng)的動(dòng)態(tài)變化過程。

在偏微分方程應(yīng)用日漸廣泛的情況下，它在金融問題方面的重要性日漸顯著，特別是面對(duì)期權(quán)定價(jià)問題，國外學(xué)者Black和Scholes以歐式期權(quán)定價(jià)問題為研究對(duì)象，提出了Black-Scholes模型，進(jìn)而有效解決了期權(quán)定價(jià)問題。例如：以某投資者對(duì)為研究對(duì)象，建立一個(gè)由期權(quán)與原生資產(chǎn)構(gòu)成的無風(fēng)險(xiǎn)交易組合，以此獲得相應(yīng)的期權(quán)價(jià)格表達(dá)式。隨著相關(guān)研究的日漸深入，期權(quán)原生資產(chǎn)價(jià)格的特征愈加顯著，即：隨機(jī)波動(dòng)率或者重尾。

目前，歐式期權(quán)定價(jià)應(yīng)用著眾多的模型，主要有隨機(jī)波動(dòng)率模型、跳擴(kuò)散模型與Levy過程模型等。例如：以同一投資者為研究對(duì)象，采用不同模型分析，通過比較可知，Levy過程模型中涉及的金融市場(chǎng)為不完全市場(chǎng)，因此，不存在完全對(duì)沖策略，而Black-Scholes模型的市場(chǎng)為完全市場(chǎng)，因此，存在完全對(duì)沖策略。面對(duì)不完全市場(chǎng)，對(duì)沖策略應(yīng)具有合理性，在此基礎(chǔ)上，才能夠減少投資風(fēng)險(xiǎn)，通過方差最優(yōu)研究可知，亞式期權(quán)與目標(biāo)波動(dòng)率期權(quán)是最為有效的對(duì)沖策略。

當(dāng)前，金融衍生產(chǎn)品交易較為頻繁，特別是在場(chǎng)外市場(chǎng)，金融機(jī)構(gòu)與企業(yè)所進(jìn)行了期權(quán)交易，由于缺少保證金制度，導(dǎo)致期權(quán)持有人需要承擔(dān)交易對(duì)手違約所帶來的損失。在此情況下，為了減少風(fēng)險(xiǎn)損失，需要對(duì)具有對(duì)有風(fēng)險(xiǎn)的期權(quán)實(shí)施定價(jià)，通常情況下，利用跳擴(kuò)散過程以此掌握原生資產(chǎn)與交易對(duì)手的資產(chǎn)過程，此時(shí)為系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)借助經(jīng)典的結(jié)構(gòu)化方法，以此了解交易對(duì)手的信用違約，此時(shí)為特性風(fēng)險(xiǎn)。在隨機(jī)偏微分方程的支持下，將獲得具有對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)的期權(quán)價(jià)格，再次價(jià)格表達(dá)式下，便可以明確不同跳部分所帶來的影響。

四、總結(jié)

綜上所述，在全球范圍內(nèi)，金融衍生產(chǎn)品相對(duì)較多，其交易量相對(duì)較大，為了控制交易風(fēng)險(xiǎn)，金融衍生產(chǎn)品定價(jià)的相關(guān)問題得到了各國學(xué)者的廣泛關(guān)注。隨著Black-Scholes模型的提出，相關(guān)的模型不斷涌現(xiàn)，但金融衍生產(chǎn)品定價(jià)仍缺少準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性，為了解決此問題，本文闡述了隨機(jī)偏微分方程的運(yùn)用，通過不同模型的運(yùn)用，充分發(fā)揮了隨機(jī)偏微分方程的作用，為我國金融市場(chǎng)的健康與穩(wěn)定發(fā)展提供了可靠的保障。相信，隨著隨機(jī)偏微分方程研究的日漸深入，其應(yīng)用效果將更加顯著，我國金融衍生品定價(jià)將更加精準(zhǔn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王興春.幾類隨機(jī)偏微分方程及金融衍生產(chǎn)品定價(jià)[D].南開大學(xué)，2014.

[2]黃文禮.基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型的金融衍生品定價(jià)[D].浙江大學(xué)，2011.

[3]賈兆麗.波動(dòng)率衍生品定價(jià)及相關(guān)問題研究[D].中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2014.