周宦銀 沈庭云 文其林 李麗蓉 謝艷輝 曹劍鋒

防化學院 北京 102205

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RLC串聯電路諧振頻率測量方法的比較研究

周宦銀 沈庭云 文其林 李麗蓉 謝艷輝 曹劍鋒

防化學院 北京 102205

摘 要：RLC串聯電路的諧振頻率一般采用最大電流或最大電壓法進行測量，但是，該測量方法精度較低，尤其在電路品質因數較低的情況下，這種方法很難準確測出諧振頻率值。本文根據諧振電路的特點，經過多年的教學實踐，總結了多種實用的諧振頻率測量方法，并對諧振頻率的測量方法進行了比較研究。得出了不同的測量方法測量精度不同；電路參數不同，選用合理的測量方法，可大大提高測量精度的結論。

關鍵詞：RLC串聯電路；諧振頻率；測量方法；精度；比較

RLC串聯諧振電路是電工學中的典型的電路之一，能很好地加深學生對交流電路的理解，并在實際中得到了較為廣泛的應用［1］。在測量電路的諧振頻率時，一般都采用諧振時電路中電流最大，電阻兩端電壓最大的方法進行測量［2，3］。文獻［4］提出了8種測量RLC串聯電路諧振頻率的方法，這些方法理論上都成立，但是實際測量時有些問題，存在的主要問題有：（1）用萬用表測交流電壓、電流不夠準確，萬用表一般只適用于測工頻附近頻率的交流電壓、電流；（2）忽略電感等的自身電阻影響；（3）忽略了示波器的探筆負極共地的問題，采用此方法可能導致完全錯誤的結果甚至燒壞電路或儀器［5］；（4）文獻沒有對不同方法進行比較，測量方法不同測量精度不同，尤其是對電路參數不同時哪種方法精度高，何時適用何種方法沒有進行分析研究。其他文獻［6，7］也未就諧振頻率的精確測量進行深入分析研究。

由于測量儀表采樣等原因，無論在實物實驗、還是仿真實驗時都可以看到，交流電壓的讀數常有1%左右的波動，如：測量1 V左右的交流電壓，讀數往往在0.99 V～1.01V之間波動，難以準確測量。由于電阻上的交流電壓測量不準確，對應的電源頻率測量就不準確，某些時候測量誤差可能很大。同時，由于RLC串聯電路幅頻特性曲線在諧振頻率點時取最大值，此時特性曲線對頻率的導數為零，在該頻率點電阻電壓變化隨頻率變化最不敏感，即頻率較大變化時，電阻電壓變化小，因此諧振頻率難以準確測量，對品質因數低的電路，測量誤差更大。用什么方法可提高諧振頻率的測量精度呢？根據電路參數不同，選用不同的測量方法可以提高諧振頻率的測量精度。下面通過理論分析和EWB仿真實驗輔助分析的方法［8］，對RLC串聯電路的諧振頻率測量方法進行比較研究。

1 RLC串聯電路諧振頻率的測量方法比較

根據RLC串聯電路的特性，可以利用諧振時電路的特點確定電路什么時候處于諧振狀態(tài)，測出諧振頻率［9］。

1.1 最大電流、電壓法

該方法是最傳統(tǒng)、使用最多的方法。由串聯諧振電路的特點可知，電路發(fā)生諧振時，電容的容抗和電感的感抗抵消，電抗為零，電路總阻抗最小，電路呈電阻性，在電源幅度一定的情況下，電路中的電流最大，電阻兩端的電壓也最大。因此可以通過測量電阻兩端電壓最大的方法測量電路的諧振頻率，測量原理圖如圖1所示。電路參數選用天煌教儀實驗箱參數值，C=2 200 pF，L=30 mH，R=2.2 KΩ。

理論分析可知，電路的諧振頻率：

電路的品質因數：

圖1 利用最大電流、電壓法測諧振

實驗時電壓讀數值總是在約1%的范圍內波動，如圖1電路中，仿真時電壓表讀數出現大于1 V情況，不能準確地讀到最大值。由于上述電路品質因數低，電路選頻性能差，在諧振頻率兩側的較大范圍內，難以觀測到電阻電壓變化，此時很難準確地找到諧振頻率點。

現假定電壓測量誤差為1%，理論分析可知，當f0=19.59 kHz時，電路諧振，UR=1 V；當電源頻率為f1=18.785 kHz時，XC=3 851.1Ω，XL=3 540.9Ω，X=310.2 Ω，此時UR=0.99 V；當電源頻率為f2=20.431 kHz時，XC=3 540.8 Ω，XL=3 851.1 Ω，X=310.3 Ω，此時UR=0.99 V。也就是說，當交流電源的頻率f在18.785 kHz到20.431 kHz之間變化時，頻率變化范圍為1.65 kHz，UR的值在1 V的1%范圍變化，在這樣很寬的頻率范圍內，電阻電壓變化隨頻率變化不明顯，很難用交流毫伏表或示波器準確判斷在什么頻率時電阻兩端電壓最大，因此利用這種方法難于準確測出諧振頻率點。

電路參數對RLC電路的諧振特性常常有影響［10］。若將電阻R值改為100Ω，其他參數不變，此時諧振頻率不變，品質因數提高到37，同樣以1%為界，當頻率變化在19.553 kHz至19.628 kHz范圍內時，電阻兩端的電壓值在最大電壓的1%誤差范圍內，因此可更準確地找出諧振頻率在19.553 kHz至19.628 kHz范圍內，此時測量諧振頻率點的精度可以提高。若考慮電感的電阻值，電路諧振時，電阻R兩端電壓也是最大，最大電流、電壓法同樣適用。

因此，用傳統(tǒng)的測量電阻兩端電壓最大的方法測量諧振頻率精度不高，尤其是當電路品質因數較低時，用最大電流、電壓法測量諧振頻率誤差較大，不宜采用該方法進行測量。該方法一般適用于品質因數高的電路。

1.2 電容、電感總電壓最小法

當電路發(fā)生串聯諧振時，電阻兩端電壓最大，則電容、電感兩端總電壓ULC最小。利用測量電容、電感兩端總電壓最小的方法可以測出電路的諧振頻率。電容、電感總電壓最小法電路原理圖如圖2所示。

圖2 利用電容、電感總電壓最小法測諧振

由于電容、電感兩端總電壓ULC較小，因此可減小電壓表量程來測量總電壓，當總電壓最小時，所對應的交流電源的頻率即為諧振頻率。

圖3 電容電感總電壓法電路的幅頻特性

用EWB波特表對該方法進行輔助分析，電路圖和幅頻特性如圖3所示，可以看出，在諧振頻率附近，幅頻特性曲線斜率大，電容電感總電壓變化對頻率變化非常敏感，即細微的頻率變化，將引起電壓幅度明顯變化。因此該方法測量諧振頻率非常準確。

考慮電感的電阻值時，電路諧振時，電阻R兩端電壓最大，電感和電阻兩端電壓同樣是最小，因此，考慮電感的電阻值時，電容、電感總電壓最小法同樣適用。理論分析可知，電阻越大，電感電阻越小，測量精度越高。

因此，該方法測量精度高，非常適用于電阻R較大，電感電阻較小的電路的測量。

1.3 電阻電壓與電源電壓同相法

當電路發(fā)生串聯諧振時，電路阻抗呈現純電阻性，此時電流與電源電壓同相，電阻兩端電壓與電源電壓也同相。因此，可以用雙蹤示波器比較電源電壓和電阻兩端電壓相位的方法來判斷電路諧振，當兩者同相時，電路諧振，此時對應的頻率為諧振頻率。電阻電壓與電源電壓相位比較法電路如圖4所示。

圖4 利用電阻電壓與電源電壓同相法測諧振

改變交流電源的頻率，將示波器上的雙蹤波形通過橫向展寬、縱向展高，觀察雙蹤波形是否相交于橫軸（即同相），如圖5所示。

圖5 電阻電壓與電源電壓相位比較

當兩波形相交于橫軸時，說明兩電壓同相，此時電路處于諧振狀態(tài)，對應的交流電源的頻率即為諧振頻率。由于示波器波形可以展寬、展高，可放大觀察兩路信號相交處的局部特征，準確讀出相位差異，因此該方法能很準確地測出諧振頻率。同時，由RLC相頻特性可知，在諧振頻率時，相頻特性曲線的斜率最大，即相位變化對頻率變化最敏感，細微的頻率變化將引起相位差明顯變化。因此，該方法測量諧振頻率精度高。電路品質因數越高，通頻帶越窄，電源頻率在f0附近較窄的范圍內變化時，電阻電壓和電源電壓的相位之差就會出現較大的變化，相位差對頻率變化越敏感，測量越準確。

因此，該方法測量精度高，品質因數越高，該測量方法越準確。

1.4 相同電阻電壓時的高低頻率法

RLC串聯電路諧振時，調低電源的頻率，使電路失諧，當電阻電壓下降為諧振時最大電壓的0.707倍，此時測出的頻率為下限頻率fL；當調高電源的頻率，同樣使電阻電壓下降為諧振時最大電壓的0.707倍，此時測出的頻率為上限頻率fH，理論分析可以知道， f0和fL，fH有如下關系［11］：

因此可以通過測量fL和fH計算出f0。由RLC串聯電路幅頻特性可知（如圖6所示），幅頻特性曲線在fL和fH處斜率都較大，說明較小的頻率變化就會觀察到更大的電阻幅度變化。因此，可更準確地測出某一幅度所對應的頻率。即fL和fH比f0有更高的測量精度。

圖6 RLC串聯電路幅頻特性

對電路進行理論分析，當f=fL=14.605 kHz時，電阻電壓下降為最大電壓的0.707倍。交流電源頻率變信號化范圍為14.585 kHz～14.626 kHz時，電壓在0.707倍附近變化1%，所以可以在14.585 kHz～14.626 kHz范圍附件找到下限頻率fL。同理可以在26.240 kHz～26.335 kHz范圍附件找到上限頻率fH。由于fL和fH比f0有更高的測量精度，所以通過測量fL和fH間接測量f0可獲得更高的測精度。

事實上，通過理論推導，只要保證信號源輸出的電壓一定，將信號源的頻率分別調高和調低，使電阻元件兩端電壓為一個相同的電壓值（可以不是最大電壓的0.707倍），記錄此時的信號源的高低頻率f1和f2，在這兩個頻率時電阻電壓UR1和UR2大小相同，則電容電感總電壓ULC1和ULC2也相同，總電抗也相同，因此有：

上式可變換為：

可以看出，諧振頻率f0與f1和f2成等比關系。因此可通過測量電阻兩端電壓相同時的高低兩個頻率計算諧振頻率。在上下限頻率附近，測量最準確。

上述方法與最大電流、電壓法相比，能更準確地測出下限頻率fL和上限頻率fH，從而更準確地計算出f0，精度可提高10倍左右。電路品質因數越高，電阻電壓對頻率變化越敏感，測出下限頻率fL和上限頻率fH就越準確，因此諧振頻率測量越準確。

2 結束語

從以上分析可知，若串聯諧振頻率的測量方法不同，測量精度就不同。傳統(tǒng)的最大電流、最大電壓法測量諧振頻率精度較低，對品質因數較低的電路，尤其不宜采用該方法。一般而言，由于1.2和1.3節(jié)所述方法都是用測量最小值得到諧振頻率，即分別測量最小總電壓和最小相位差，此時可以通過減小量程檔來更準確觀測，所以用1.2節(jié)和1.3節(jié)的方法測量精度更高，同時也比較方便，能更快速、更準確找到諧振頻率。但對電阻很小、電感等效電阻較大的電路，1.2節(jié)的方法不宜采用。用1.4節(jié)所述方法測量精度居中，但要求進行計算，測量也更復雜。綜上所述，對不同參數的電路，可以選擇不同的測量方法，選擇合理的測量方法，可大大提高測量精度。同時，在教學中，要求學生嘗試用不同方法進行測量和比較，可培養(yǎng)學生勤于思考、勇于創(chuàng)新、精益求精、追求卓越的意識，能收到更好的教學效果。

參考文獻

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Study on Measurement of Resonant Frequency of RLC Series Circuit Via Comparison

Zhou Huanyin， Shen Tingyun， Wen Qilin， Li Lirong， Xie Yanhui， Cao Jianfeng
College of Chemical Defense， Beijing， 102205， China

Abstract:Resonant frequency of RLC series circuit is usually measured by means of max current or max voltage. But the precision is usually low by this means. Especially for low quality factor circuits， resonant frequency can't be measured precisely. In this paper， after years of practice testing， some useful methods of measuring resonant frequency ware put forward， and these methods were compared and analyzed according to RLC series circuit's characters. The following conclusions were drawn. Different methods will lead different precision. Rational measurement method should be chosen for circuits of different component parameter. With this way， resonant frequency can be measured much more precisely.

Key words:RLC series circuit； resonant frequency； measuring methods； precision； comparison

收稿日期：2015-11-07

作者簡介：周宦銀，碩士，講師。沈庭云，碩士，教授，系主任。

基金項目：2110工程建設教學改革項目支持。