馮　穎

(西南交通大學數學學院，成都611756)

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實變函數教學中的鋪墊教學法

馮穎

(西南交通大學數學學院，成都611756)

[摘要]討論在實變函數課程教學中進行鋪墊教學的重要性.結合教學案例，從教學引入、概念教學、定理結論教學、提出問題、拓展延伸等方面探討了鋪墊教學法在實變函數教學中的應用.

[關鍵詞]實變函數； 教學方法； 鋪墊教學

1引言

實變函數課程是本科數學類各專業(yè)的一門必修基礎課，一般安排在數學分析課程后，是一門承上啟下的課程，其主要內容是勒貝格測度論和積分理論[1,2].掌握現代的積分論知識，提高學生的抽象分析能力，培養(yǎng)學生的分析素養(yǎng)是該課程的主要教學目的.在教學實踐中，實變函數課程本身高度的理論性和抽象性使多數學生對這門課程的學習存在畏難情緒，學習效果不理想.如何調動學生的主觀能動性，激發(fā)其學習興趣與潛能，幫助學生“輕松”掌握課程的主要思想和內容是課程教學中亟待解決的問題.

筆者在教學實踐中發(fā)現，適時的、精心設計的“教學鋪墊”能有效改善教學效果，增強學生的學習信心，調動學生的學習熱情.所謂“鋪墊”指的是事物發(fā)展過程中的前期準備工作.鋪墊式教學法可以拉近學生和教學的距離，為課程的展開提供充分的準備和醞釀.教學引入性鋪墊，為新知識的學習揭開神秘的面紗，讓學生明白所學內容產生的背景.概念教學性鋪墊，承上啟下，自然過渡，使新舊知識融為一體.定理結論鋪墊，則化解難點，為學習開山辟路.問題導入性鋪墊，設疑啟發(fā)，調動學習的積極性.延伸拓展性鋪墊，擴展學生的視野，讓學生了解知識的發(fā)展和應用.

本文結合具體的教學實踐和體會，以案例的形式探討鋪墊教學法在實變函數教學中的應用.

2鋪墊教學法實踐

2.1教學引入性鋪墊，揭示數學的精神

教學引入性鋪墊，可視為每節(jié)課的“引言”和開頭語，是教師發(fā)揮主導作用的第一步.通過引入鋪墊，給學生概述課程的主要內容，介紹教學知識的來龍去脈，把學生的注意力吸引到即將進行的教學活動中，使學生在學習之初就“胸有成竹”，營造良好的學習氛圍.其中，教學內容所包含的數學思想、文化和精神需要重點介紹，這是課程展開的重要依據和線索.

就實變函數課程而言，主要的教學內容包括：集合、點集、測度論、可測函數和積分論等，涉及集合論、拓撲學、分析學等多個專業(yè)方向，內容豐富多彩.但第一堂課展現在學生面前的是完全陌生的學術領域，直接講授知識點本身過于突兀，讓學生不易接受.不吝惜一節(jié)甚至兩節(jié)課來解決課程的產生背景、研究內容、研究思路等問題則可以起到事半功倍的效果，為后續(xù)的學習開好頭.新事物的誕生是舊事物弊端的發(fā)展所致，所以黎曼積分的缺陷是重點介紹的內容.為了克服缺陷適應更廣泛的應用，年輕數學家勒貝格創(chuàng)立了新的積分——勒貝格積分.和黎曼積分劃分定義域相比，勒貝格另辟蹊徑劃分值域，其主要想法就是為了避免被劃分在同一小區(qū)間里的變量函數值差別過大，而造成以Dirichlet函數為代表的一些病態(tài)函數無法積分.而勒貝格的研究歷程也并非一帆風順，主流數學界的嘲笑譏諷沒有阻擋他前進的腳步，他的不懈堅持和刻苦鉆研，以及其他數學家、物理學家和工程師的普遍應用，使得越來越多的人接受并認可了這一理論，最終成為近代分析的開端.

又如，在集合論的開篇，介紹康托爾是如何一步一步建立無窮的王國，從一一對應開始定義集合的“個數”，并用來比較無窮集合元素的“多少”，到他發(fā)現無理數比有理數“多”，超越數“多”于代數數，用“實無窮”大膽向“潛無窮”挑戰(zhàn).盡管在當時的數學界引起了軒然大波，眾多大數學家都不認可，但康托爾最終創(chuàng)立了“集合論”，為近代數學的發(fā)展做出了不可估量的貢獻.講清這些數學文化和數學史不僅可以開闊學生的視野，提高學生的數學素養(yǎng)，也可以幫助學生系統(tǒng)理解課程的理論體系，引導學生用正確的觀點來看待新生事物，讓他們充分體會到實變函數理論發(fā)展的必要性，從而有信心、有興趣學習這門課程.

2.2概念教學性鋪墊，注重承上啟下

概念教學是數學類課程教學的一個重點和難點，也是基礎知識教學的核心內容.正確理解和掌握概念是運用數學解決問題的先決條件，而概念不清則是學生學習的一大障礙.在概念教學時，注重創(chuàng)設情景，提前滲透，通過溫故、類比舊知，使新知順勢而發(fā)，承上啟下自然銜接.

在實變函數課程中，幾乎每一章節(jié)都有新概念、新定義，對初學者來說是一個難題.例如依測度收斂是實函教學中的一個難點，這種收斂方式與逐點收斂、幾乎處處收斂或一致收斂有很大的區(qū)別.僅僅從定義本身來介紹概念，符號、術語會讓學生難以接受，轉而考慮用熟悉的一致收斂的概念來進行鋪墊教學.

此時

對比兩個定義，學生能容易理解依測度收斂的概念，包括定義中很重要的兩個量“σ”，“ε”的含義，并且無需證明就清楚一致收斂與依測度收斂之間的關系，為后文要重點討論的依測度收斂與幾乎處處收斂的關系做好鋪墊.

在講解集合列的上下極限時，可以先復習數列的上下極限進行類比學習.對于n維歐式空間中的拓撲概念，如：鄰域、開集、閉集、聚點、孤立點等則可借助數學分析中學過的平面有關點集的概念進行推廣，讓學生感覺到新知識親切、自然.對于Borel集的概念，定義時若采用從開集出發(fā)，取余集，取至多可數交、并后所得到集合的方式，雖然直接但不夠深刻.對此先進行有關σ-代數的鋪墊，這樣學生在學習Borel集的概念時更加容易理解Borel集合和可測集之間的關系.又如在講解可測函數的定義時要結合已經熟悉的連續(xù)函數的概念對比學習，為后續(xù)討論這兩類函數之間的關系奠定基礎，也使學生更好地理解概念的內涵與外延.

2.3定理結論性鋪墊，化解知識難點

建構主義學習理論認為，教學的難點來源于認知的沖突，即正在學習的內容和學生已有的認知水平之間存在較大的落差.特別是定理和結論的證明中包含了較多的知識點，綜合性強，技巧性高，因此在教學中需要提前“搭臺階”，在知識的銜接點上加以引導，在證明思路上加以點撥，幫助學生由淺入深、由點到面、由具體到抽象逐步接受新知.將新課內容進行難度分解，提前鋪墊相關的知識點和方法技巧，可以降低新課教學的難度，提高課堂教學質量.

實變函數論以集合分析法為主要的研究手段，函數性質的刻畫往往通過點集來說明，大量的定理證明，如：可測函數性質，葉果洛夫定理，里斯定理，勒貝格定理等都需要應用集合的關系式.因此及時鋪墊利用集合運算來表示函數列極限過程的方法和技巧能有效分解學習難度.又如在探討有無最大基數集合的問題時，先由有限集合的元素個數小于其冪集所包含的元素個數引導學生發(fā)現結論—沒有最大基數的集合，再介紹著名的理發(fā)師悖論，通過類比使學生能夠容易理解證明的思路.

“數的進制”不是實變函數課程專有的教學內容，但在證明集合論中有關集合基數問題時，如康托爾三分集的基數等問題發(fā)揮了重要作用.而學生僅僅熟悉整數的二進制轉換，對小數的轉換涉及等比級數收斂的知識，多數同學不太了解，因此在這部分教學時先補充介紹小數的轉換，為后面的證明掃清障礙.此外，還可以延伸介紹和數的進制密切相關的計數方式，告訴學生“半斤八兩”的由來，人類喜歡十進制和我們有十個手指有關，如果螃蟹能進化為高級智能動物，那螃蟹的世界多半就是八進制……這些鋪墊既拓展學生的視野，也為枯燥的理論教學增加樂趣，融洽了課堂氣氛.

此外像勒貝格積分的建立，先從最簡單的非負簡單函數的勒貝格積分開始，再過渡到非負可測函數的勒貝格積分，最后才是一般可測函數的勒貝格積分，由特殊到一般，循序漸進，逐層鋪墊、擴充，易于被學生所接受.魯津定理的證明推導也采用類似的思路，化繁為簡，化難為易.

2.4問題導入性鋪墊，啟發(fā)學生思考

問題導入性鋪墊是指提前設置與教學內容密切相關的問題做鋪墊，開展啟發(fā)式教學.設計恰當的問題能調動學生的積極性，激發(fā)學生的學習熱情，也有利于培養(yǎng)學生發(fā)現問題、獨立思考、解決問題的能力.

實變函數教學中第一個難點是關于集合“對等和基數”的學習.在研究集合元素的“個數”問題時，先提問學生如何比較有限集合所包含元素的多少？是一個一個的數嗎？如果數量過大，如無窮集合數不過來怎么解決？以教室里的同學和課桌為例，啟發(fā)大家用“一一對等”的方法，簡單明了.但對于一般的集合，特別是無窮集合還需要嚴格定義集合對等的概念，因此“一一對應”的問題值得深入研究.一一對應使得很多看似差別很大的集合卻包含相同多的元素，而一一對應的建立又是一件饒有興趣的工作.在此介紹著名的希爾伯特旅店問題，啟發(fā)學生對無窮排列問題的思考，為新課的教學埋好伏筆.

2.5延伸拓展性鋪墊，擴展學生視野

作為教學的一個重要部分，課堂教學拓展是對已有學習知識的擴充和發(fā)展.拓展可以是知識點本身的延續(xù)，也可以是知識的應用.在教學中鋪墊一些新知和應用，引導學生查閱資料，開展小研討，撰寫科研小論文，培養(yǎng)學生的探究意識和興趣，開闊學生的視野，激發(fā)其學習的興趣.

在學習了集合論后，學生對集合中元素的“個數”問題有了飛躍性的認識，在完成沒有最大基數集合的證明后，提出問題：在連續(xù)基數和可數基數之間還有沒有其它基數，即希爾伯特23個問題中的第一個——連續(xù)統(tǒng)假設.盡管問題的解答已遠遠超出課本學習的要求，但鋪墊此問題的提出背景、研究歷史和成果，鼓勵學生查找資料，有助于學生了解集合論知識的深化與發(fā)展.又如在介紹康托爾三分集后，補充科赫雪花曲線、謝爾賓斯基地毯、英國海岸線等分形幾何學的經典例子，讓學生了解、欣賞分形幾何的美，啟發(fā)構造類似的例子，感悟數學的魅力，提高學生的現代數學素養(yǎng).

3結論

在實變函數課程的教學中，鋪墊是一種常用的教學方式.鋪墊不能代替嚴格的論述、推導和講解，但有效的鋪墊可以承上啟下，降低教學難度，豐富教學內容.鋪墊的方式方法并不拘泥于某一種形式，對課程教學有幫助、易于被學生接受的鋪墊都有益于教學活動的開展.何時、何地，采用何種方式進行鋪墊還值得進一步思考與探討.

[參考文獻]

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The Method of Foreshadowing in the Teaching of Real Variable Function

FENGYing

(School of Mathematics, Southwest Jiaotong University, Chengdu 611756, China)

Abstract:The method of foreshadowing is an important way in the teaching of real variable function. With the teaching cases, the application of the method of foreshadowing is discussed from the aspects of the teaching introduction, concept, theorem, question and the extension.

Key words:real variable function; teaching method; teaching foreshadowing

[收稿日期]2015-07-30；[修改日期] 2016-03-21

[基金項目]四川省2013-2016年高等教育人才培養(yǎng)質量和教學改革項目：大學數學課程體系與結構優(yōu)化研究;西安交通大學本科教改項目(1504074)

[作者簡介]馮穎(1979-),女，博士，講師，從事Banach格與正算子理論研究.Email: fengying@home.swjtu.edu.cn

[中圖分類號]O174.1

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2016)02-0064-04