□浙江省寧波市鄞州區(qū)集士港鎮(zhèn)中學　許科挺

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營造“動感地帶”，激活學生發(fā)散性思維
——一道九年級數(shù)學競賽題的解題教學與反思

□浙江省寧波市鄞州區(qū)集士港鎮(zhèn)中學許科挺

現(xiàn)在的解題教學，大多數(shù)還是以教師講解為主，以總結(jié)概念、精講例題來完成，這樣的演繹體系存在種種弊端，如：（1）缺少調(diào)動學生情緒及進入學習角色的興奮點，不利于學生學習興趣的激發(fā)和求知欲望的發(fā)生和發(fā)展；（2）限制了部分學生的表現(xiàn)欲和成就感，不利于學生的人格發(fā)展和個性發(fā)展；（3）缺少小組合作，不利于全班團結(jié)合作能力的培養(yǎng)和智能水平的發(fā)展。那么，如何克服上述弊端呢？

教育家葉圣陶先生曾經(jīng)說過：“教材只能作為教課的依據(jù)，而教得好，使學生得益，還得靠老師的善于運用?！边@句話告訴我們，教學材料僅僅只是提供了最基本的教育資源，但并不是唯一的資源。數(shù)學教學應該是數(shù)學“思維活動”的教學，必須作為“思維過程”來進行。

下面就一道九年級競賽題的解決，在探索與實踐中讓學生發(fā)散思維，從中積累數(shù)學經(jīng)驗，感悟數(shù)學思想方法。

一、案例呈現(xiàn)（發(fā)現(xiàn)問題，由“點”到“線”）

問題：如圖1，已知五邊形ABCDE中，AB∥ED，∠A= ∠B=900，則可以將該五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分的直線有_____條，滿足條件的直線可以怎樣去確定：_____

讓學生獨立嘗試幾分鐘后，我們就可以從學生的角度開始分析——

生1：可以將該五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分的直線有1條，滿足條件的直線可以這樣去確定：如圖2，延長BC、ED交于點F，將原五邊形補成一個矩形，取該矩形的重心G，記△CDF的重心為H，直線GH即為所求。

復習基本圖形的重心，提問：你知道哪些基本圖形的重心？（學生開始討論……）

生：線段的重心是該線段的中點，三角形的重心是該三角形三條中線的交點，平行四邊形的重心是該平行四邊形兩條對角線的交點，梯形的重心是上下底中點連線與中位線的交點。

師反問：如圖3，點G是△ABC的重心，過點G的任意一條直線都能將△ABC的面積平分嗎？

（學生開始思考……過了一會兒）生2舉手回答：不一定，如圖4，過點G作MN∥BC分別交AB、AC于M、N，∵點G是△ABC的重心

∴直線MN過點G，但不能將△ABC的面積平分。

師小結(jié)：同學們，對于有些結(jié)論，我們可以用特例來檢驗一下，比較直觀。

師：同學們也可以發(fā)現(xiàn)，生1找到的直線GH是不一定能將五邊形面積平分的。

我的意圖是，給出生1的解答，讓其他學生通過熟悉的知識找到生1解答中的問題所在，便于調(diào)動學生的積極性，同時也為后面的知識應用做鋪墊。

師：同學們，我們發(fā)現(xiàn)：過三角形的重心，畫一直線未必將三角形面積平分。那么，特殊四邊形當中，是否也是如此呢？

生2馬上有了答案：過矩形、菱形、正方形、梯形的重心，畫一直線必將三角形面積平分。

老師投去了贊許的目光，其他學生也紛紛表示贊同。

師（趁熱打鐵）：接下來，同學們對于原問題的解決有沒有其他的點子呢？

生3（帶著疑問）：老師，能不能將五邊形分割成一個矩形和一個直角梯形？

如圖5，過C作AB的平行線CF，交AE于F，該五邊形分割成一個矩形和一個直角梯形。

師：你講得很好，請繼續(xù)。

生3：我先畫一條直線將直角梯形CDEF的面積平分。如圖6，①取直角梯形CDEF的中位線GH，②取中位線GH的中點P，③過中點作一條直線與直角梯形兩底邊ED、FC分別交與M、N，直線MN即為所求。

師（追問）：將直角梯形CDEF面積平分的直線有_____條呢？

生3：噢（好像突然有了靈感），可以將直角梯形CDEF面積平分的直線有無數(shù)條（非常高興的）。

師：那么可以將該五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分的直線有_____條，滿足條件的直線可以怎這樣去確定呢？

生3（有點請教老師的意思）：可以將該五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分的直線……（停頓了一下）好像只有1條，滿足條件的直線可以這樣去確定：如圖7，過C作AB的平行線CF，該五邊形分割成一個矩形和一個直角梯形，記矩形的重心為K，取直角梯形中位線GH，線段GH中點為J，直線JK即為所求。

師：生4好像有話要說，請（加了語氣）。

生4迫不及待地說：可以將該五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分的直線有無數(shù)條，滿足條件的直線可以這樣去確定：如圖8，過C作AB的平行線CF，該五邊形分割成一個矩形和一個直角梯形，記矩形的重心為K，取直角梯形中位線GH，線段GH中點為J，直線JK即為所求直線之一。設直線JK 與DE、AB分別交于M、N，取線段MN中點O，過點O且與DE，AB分別相交的直線均可將五邊形面積平分。

筆者驚嘆于生4的完美解答。我的想法是，沒有預設，就沒有教學；沒有生成，就沒有精彩！在解決問題中，我們既要讓學生學會，更要讓學生會學、樂學，一些解題的方法與策略需要教師在平時的教學中逐步滲透。一位好的教師會不斷探索與實踐，博采眾長，獨辟蹊徑，運用全新的數(shù)學觀念、創(chuàng)造性的思維方式、風趣幽默的教學語言，讓學生在盡情領(lǐng)略數(shù)學“大自然”的美妙風光、親身經(jīng)歷探求數(shù)學寶藏的發(fā)現(xiàn)活動中，思維能力悄然快速地提高。

而后，筆者讓生5自行歸納解決本題過程中用到的知識點，重點強調(diào)了“等積變形”在此題的運用。

二、問題延伸（基于學生“最近發(fā)展區(qū)”的問題解決，由“線”牽動“面”）

心理學研究表明：學生對處于自己“最近發(fā)展區(qū)”的知識最感興趣，對掌握主動權(quán)的學習最有積極性。于是在解決問題后，筆者將學生分成四大組，以組為單位讓學生自行查閱資料，找到了相關(guān)的幾道題。筆者摘錄了其中三道題目。

⒈如圖9所示，五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成如圖10所示的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路（圖10中折線CDE）還保留著。張大爺想過點E修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多。請你用有關(guān)的幾何知識，按張大爺?shù)囊笤O計出修路方案（不計分界小路和直路的占地面積），要求說明方案設計理由，并畫出相應的圖形。

解：如圖11，連結(jié)EC，過點D作DF∥EC交CM與點F，連結(jié)EF，線段EF即為所求直路。理由：∵DF∥EC∴S△EDC=S△EFC∴SAEDCB=SAEFCB

即直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，那么右邊的土地面積與開墾的荒地面積也一樣多。

⒉如圖12，四邊形ABCD中，∠B=900，，∠BCD=450，，AB=4，BC=5，，則△ACD的面積為。

解：如圖13，過點D作DE⊥BC于E，連結(jié)AE，

⒊如圖14，n個正方形并排放在一起，其邊長（從左到右）依次分別為a1，a2，…，an，則△ABC的面積為。

解：如圖15，連結(jié)AD，CD，則AD∥BC，

師總結(jié)：同學們，我們不缺少思維訓練，但是數(shù)學知識“內(nèi)化”才是同學們思維升華的關(guān)鍵、學習的根本。那么，如何做到這一點呢？我們就以上三題可將數(shù)學知識模塊化，對于諸如此類面積問題的解決可歸結(jié)為四種方法：

三、反思

初中數(shù)學的學習，總是伴隨著一系列思維活動進行的。如果解題思路和方法能夠獨具一格，富有創(chuàng)造性，則能大大提高學生學習數(shù)學的效率，收到事半功倍的效果。