□浙江省寧波市鄞州區(qū)集士港鎮(zhèn)中學 許科挺
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營造“動感地帶”,激活學生發(fā)散性思維
——一道九年級數(shù)學競賽題的解題教學與反思
□浙江省寧波市鄞州區(qū)集士港鎮(zhèn)中學許科挺
現(xiàn)在的解題教學,大多數(shù)還是以教師講解為主,以總結(jié)概念、精講例題來完成,這樣的演繹體系存在種種弊端,如:(1)缺少調(diào)動學生情緒及進入學習角色的興奮點,不利于學生學習興趣的激發(fā)和求知欲望的發(fā)生和發(fā)展;(2)限制了部分學生的表現(xiàn)欲和成就感,不利于學生的人格發(fā)展和個性發(fā)展;(3)缺少小組合作,不利于全班團結(jié)合作能力的培養(yǎng)和智能水平的發(fā)展。那么,如何克服上述弊端呢?
教育家葉圣陶先生曾經(jīng)說過:“教材只能作為教課的依據(jù),而教得好,使學生得益,還得靠老師的善于運用?!边@句話告訴我們,教學材料僅僅只是提供了最基本的教育資源,但并不是唯一的資源。數(shù)學教學應該是數(shù)學“思維活動”的教學,必須作為“思維過程”來進行。
下面就一道九年級競賽題的解決,在探索與實踐中讓學生發(fā)散思維,從中積累數(shù)學經(jīng)驗,感悟數(shù)學思想方法。
問題:如圖1,已知五邊形ABCDE中,AB∥ED,∠A= ∠B=900,則可以將該五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分的直線有_____條,滿足條件的直線可以怎樣去確定:_____
讓學生獨立嘗試幾分鐘后,我們就可以從學生的角度開始分析——
生1:可以將該五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分的直線有1條,滿足條件的直線可以這樣去確定:如圖2,延長BC、ED交于點F,將原五邊形補成一個矩形,取該矩形的重心G,記△CDF的重心為H,直線GH即為所求。
復習基本圖形的重心,提問:你知道哪些基本圖形的重心?(學生開始討論……)
生:線段的重心是該線段的中點,三角形的重心是該三角形三條中線的交點,平行四邊形的重心是該平行四邊形兩條對角線的交點,梯形的重心是上下底中點連線與中位線的交點。
師反問:如圖3,點G是△ABC的重心,過點G的任意一條直線都能將△ABC的面積平分嗎?
(學生開始思考……過了一會兒)生2舉手回答:不一定,如圖4,過點G作MN∥BC分別交AB、AC于M、N,∵點G是△ABC的重心
∴直線MN過點G,但不能將△ABC的面積平分。
師小結(jié):同學們,對于有些結(jié)論,我們可以用特例來檢驗一下,比較直觀。
師:同學們也可以發(fā)現(xiàn),生1找到的直線GH是不一定能將五邊形面積平分的。
我的意圖是,給出生1的解答,讓其他學生通過熟悉的知識找到生1解答中的問題所在,便于調(diào)動學生的積極性,同時也為后面的知識應用做鋪墊。
師:同學們,我們發(fā)現(xiàn):過三角形的重心,畫一直線未必將三角形面積平分。那么,特殊四邊形當中,是否也是如此呢?
生2馬上有了答案:過矩形、菱形、正方形、梯形的重心,畫一直線必將三角形面積平分。
老師投去了贊許的目光,其他學生也紛紛表示贊同。
師(趁熱打鐵):接下來,同學們對于原問題的解決有沒有其他的點子呢?
生3(帶著疑問):老師,能不能將五邊形分割成一個矩形和一個直角梯形?
如圖5,過C作AB的平行線CF,交AE于F,該五邊形分割成一個矩形和一個直角梯形。
師:你講得很好,請繼續(xù)。
生3:我先畫一條直線將直角梯形CDEF的面積平分。如圖6,①取直角梯形CDEF的中位線GH,②取中位線GH的中點P,③過中點作一條直線與直角梯形兩底邊ED、FC分別交與M、N,直線MN即為所求。
師(追問):將直角梯形CDEF面積平分的直線有_____條呢?
生3:噢(好像突然有了靈感),可以將直角梯形CDEF面積平分的直線有無數(shù)條(非常高興的)。
師:那么可以將該五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分的直線有_____條,滿足條件的直線可以怎這樣去確定呢?
生3(有點請教老師的意思):可以將該五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分的直線……(停頓了一下)好像只有1條,滿足條件的直線可以這樣去確定:如圖7,過C作AB的平行線CF,該五邊形分割成一個矩形和一個直角梯形,記矩形的重心為K,取直角梯形中位線GH,線段GH中點為J,直線JK即為所求。
師:生4好像有話要說,請(加了語氣)。
生4迫不及待地說:可以將該五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分的直線有無數(shù)條,滿足條件的直線可以這樣去確定:如圖8,過C作AB的平行線CF,該五邊形分割成一個矩形和一個直角梯形,記矩形的重心為K,取直角梯形中位線GH,線段GH中點為J,直線JK即為所求直線之一。設直線JK 與DE、AB分別交于M、N,取線段MN中點O,過點O且與DE,AB分別相交的直線均可將五邊形面積平分。
筆者驚嘆于生4的完美解答。我的想法是,沒有預設,就沒有教學;沒有生成,就沒有精彩!在解決問題中,我們既要讓學生學會,更要讓學生會學、樂學,一些解題的方法與策略需要教師在平時的教學中逐步滲透。一位好的教師會不斷探索與實踐,博采眾長,獨辟蹊徑,運用全新的數(shù)學觀念、創(chuàng)造性的思維方式、風趣幽默的教學語言,讓學生在盡情領(lǐng)略數(shù)學“大自然”的美妙風光、親身經(jīng)歷探求數(shù)學寶藏的發(fā)現(xiàn)活動中,思維能力悄然快速地提高。
而后,筆者讓生5自行歸納解決本題過程中用到的知識點,重點強調(diào)了“等積變形”在此題的運用。
心理學研究表明:學生對處于自己“最近發(fā)展區(qū)”的知識最感興趣,對掌握主動權(quán)的學習最有積極性。于是在解決問題后,筆者將學生分成四大組,以組為單位讓學生自行查閱資料,找到了相關(guān)的幾道題。筆者摘錄了其中三道題目。
⒈如圖9所示,五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖,經(jīng)過多年開墾荒地,現(xiàn)已變成如圖10所示的形狀,但承包土地與開墾荒地的分界小路(圖10中折線CDE)還保留著。張大爺想過點E修一條直路,直路修好后,要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多,右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多。請你用有關(guān)的幾何知識,按張大爺?shù)囊笤O計出修路方案(不計分界小路和直路的占地面積),要求說明方案設計理由,并畫出相應的圖形。
解:如圖11,連結(jié)EC,過點D作DF∥EC交CM與點F,連結(jié)EF,線段EF即為所求直路。理由:∵DF∥EC∴S△EDC=S△EFC∴SAEDCB=SAEFCB
即直路修好后,要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多,那么右邊的土地面積與開墾的荒地面積也一樣多。
⒉如圖12,四邊形ABCD中,∠B=900,,∠BCD=450,,AB=4,BC=5,,則△ACD的面積為。
解:如圖13,過點D作DE⊥BC于E,連結(jié)AE,
⒊如圖14,n個正方形并排放在一起,其邊長(從左到右)依次分別為a1,a2,…,an,則△ABC的面積為。
解:如圖15,連結(jié)AD,CD,則AD∥BC,
師總結(jié):同學們,我們不缺少思維訓練,但是數(shù)學知識“內(nèi)化”才是同學們思維升華的關(guān)鍵、學習的根本。那么,如何做到這一點呢?我們就以上三題可將數(shù)學知識模塊化,對于諸如此類面積問題的解決可歸結(jié)為四種方法:
初中數(shù)學的學習,總是伴隨著一系列思維活動進行的。如果解題思路和方法能夠獨具一格,富有創(chuàng)造性,則能大大提高學生學習數(shù)學的效率,收到事半功倍的效果。