何堯榮

摘 要：萬有引力定律的建立關(guān)鍵是平方反比關(guān)系的確立，教材限于學(xué)生的水平只做了近似推導(dǎo)。本文從培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)密性的目的出發(fā)，從近似法、假設(shè)法、嚴(yán)密推理法等3個不同的思維層次進(jìn)行了推導(dǎo)，不失為一種嘗試，對于重點中學(xué)的學(xué)生和那些學(xué)有余力的學(xué)生，進(jìn)行了有效的思維訓(xùn)練和拓展，對思維品質(zhì)是一種很大的提升。

關(guān)鍵詞：萬有引力；平方反比；假設(shè)

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2016）5-0036-3

萬有引力定律的建立是人類長期對行星運(yùn)動的觀察，科學(xué)記錄觀察數(shù)據(jù)（第谷的觀察數(shù)據(jù)），并通過嚴(yán)格的數(shù)據(jù)分析、綜合得到開普勒行星運(yùn)動三大定律的基礎(chǔ)上，牛頓借助運(yùn)動定律，通過嚴(yán)格推理，地、月檢驗而得。借助萬有引力發(fā)現(xiàn)的這個載體，挖掘其中的思維、思想，是對學(xué)生思維嚴(yán)密性培養(yǎng)的好素材。本文擬從3個高度不同的思維層面，還原物理學(xué)家在萬有引力大小與距離平方成反比關(guān)系發(fā)現(xiàn)的思維過程，以期對學(xué)生思維品質(zhì)的提升起到一定的促進(jìn)作用。

開普勒在第谷幾十年對行星觀察數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，通過科學(xué)的方法總結(jié)得到了行星運(yùn)動三大定律：

第一定律：所有行星繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。

第二定律：對于任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。

如圖1所示，Δt內(nèi)行星和太陽的連線所掃過的面積ΔS=r·rΔθ=r2Δθ。

1 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書物理必修2中的近似推理[1]

假設(shè)行星繞太陽的運(yùn)動是圓周運(yùn)動，根據(jù)開普勒行星運(yùn)動第一、第二定律，行星以太陽為圓心做勻速圓周運(yùn)動，太陽對行星的引力就等于行星做勻速圓周運(yùn)動的向心力。

這種推理一般學(xué)生都能理解和接受，但總有一種近似的感覺，似乎萬有引力定律是個近似定律。

2 假設(shè)推理

根據(jù)開普勒行星運(yùn)動第一定律，行星繞太陽做橢圓軌道運(yùn)動，任何曲線運(yùn)動都是變速運(yùn)動，受力都不平衡，因而行星繞太陽運(yùn)動時受力一定不平衡，必會受到周圍天體對它的力的作用，在太陽系中可忽略其他行星的作用，認(rèn)為其所受合力就是太陽對它的引力作用。并且，物體做曲線運(yùn)動時在短時間內(nèi)都可看成是在一小段圓弧上的圓周運(yùn)動。假設(shè)行星所受太陽對它的引力與距離的n次方成正比，即設(shè)：F=krn。

行星運(yùn)動到近日點和遠(yuǎn)日點時，由開普勒行星運(yùn)動第二定律得：速度分別為最大值和最小值。因而，只有向心加速度，沒有切向加速度，由向心力公式及牛頓第二定律得：

萬有引力定律的建立是人類長期對行星運(yùn)動的觀察，科學(xué)記錄觀察數(shù)據(jù)（第谷的觀察數(shù)據(jù)），并通過嚴(yán)格的數(shù)據(jù)分析、綜合得到開普勒行星運(yùn)動三大定律的基礎(chǔ)上，牛頓借助運(yùn)動定律，通過嚴(yán)格推理，地、月檢驗而得。借助萬有引力發(fā)現(xiàn)的這個載體，挖掘其中的思維、思想，是對學(xué)生思維嚴(yán)密性培養(yǎng)的好素材。本文擬從3個高度不同的思維層面，還原物理學(xué)家在萬有引力大小與距離平方成反比關(guān)系發(fā)現(xiàn)的思維過程，以期對學(xué)生思維品質(zhì)的提升起到一定的促進(jìn)作用。

開普勒在第谷幾十年對行星觀察數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，通過科學(xué)的方法總結(jié)得到了行星運(yùn)動三大定律：

第一定律：所有行星繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。

第二定律：對于任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。

如圖1所示，Δt內(nèi)行星和太陽的連線所掃過的面積ΔS=r·rΔθ=r2Δθ。

在開普勒行星運(yùn)動三大定律的基礎(chǔ)上，萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)過程中，分別經(jīng)歷了近似推理，假設(shè)推理和嚴(yán)格的數(shù)理推理及地、月檢驗等過程，體現(xiàn)了物理學(xué)的研究方法，對學(xué)生是一個不可多得的教學(xué)素材。

1 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書物理必修2中的近似推理[1]

假設(shè)行星繞太陽的運(yùn)動是圓周運(yùn)動，根據(jù)開普勒行星運(yùn)動第一、第二定律，行星以太陽為圓心做勻速圓周運(yùn)動，太陽對行星的引力就等于行星做勻速圓周運(yùn)動的向心力。

這表明：太陽對不同行星的引力，與行星的質(zhì)量成正比，與行星和太陽間距離的二次方成反比。

這種推理一般學(xué)生都能理解和接受，但總有一種近似的感覺，似乎萬有引力定律是個近似定律。

2 假設(shè)推理

根據(jù)開普勒行星運(yùn)動第一定律，行星繞太陽做橢圓軌道運(yùn)動，任何曲線運(yùn)動都是變速運(yùn)動，受力都不平衡，因而行星繞太陽運(yùn)動時受力一定不平衡，必會受到周圍天體對它的力的作用，在太陽系中可忽略其他行星的作用，認(rèn)為其所受合力就是太陽對它的引力作用。并且，物體做曲線運(yùn)動時在短時間內(nèi)都可看成是在一小段圓弧上的圓周運(yùn)動。假設(shè)行星所受太陽對它的引力與距離的n次方成正比，即設(shè)：F=krn。

行星運(yùn)動到近日點和遠(yuǎn)日點時，由開普勒行星運(yùn)動第二定律得：速度分別為最大值和最小值。因而，只有向心加速度，沒有切向加速度，由向心力公式及牛頓第二定律得：

這種推理巧妙地利用假設(shè)法，抓住特殊位置進(jìn)行推理，曲線運(yùn)動在短時間內(nèi)可以看作圓弧運(yùn)動，進(jìn)行了思維拓展，開闊學(xué)生的思維，享受到了思維大餐，但還是有一種小聰明和近似的感覺。

3 極坐標(biāo)法進(jìn)行嚴(yán)格推理

如圖2所示，取太陽所在位置為極點，軌道長軸方向為極軸方向，則行星的位置可用位矢r=r er表示[2]。

萬有引力定律的建立是人類長期對行星運(yùn)動的觀察，科學(xué)記錄觀察數(shù)據(jù)（第谷的觀察數(shù)據(jù)），并通過嚴(yán)格的數(shù)據(jù)分析、綜合得到開普勒行星運(yùn)動三大定律的基礎(chǔ)上，牛頓借助運(yùn)動定律，通過嚴(yán)格推理，地、月檢驗而得。借助萬有引力發(fā)現(xiàn)的這個載體，挖掘其中的思維、思想，是對學(xué)生思維嚴(yán)密性培養(yǎng)的好素材。本文擬從3個高度不同的思維層面，還原物理學(xué)家在萬有引力大小與距離平方成反比關(guān)系發(fā)現(xiàn)的思維過程，以期對學(xué)生思維品質(zhì)的提升起到一定的促進(jìn)作用。

開普勒在第谷幾十年對行星觀察數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，通過科學(xué)的方法總結(jié)得到了行星運(yùn)動三大定律：

第一定律：所有行星繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。

第二定律：對于任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。

如圖1所示，Δt內(nèi)行星和太陽的連線所掃過的面積ΔS=r·rΔθ=r2Δθ。

2 假設(shè)推理

根據(jù)開普勒行星運(yùn)動第一定律，行星繞太陽做橢圓軌道運(yùn)動，任何曲線運(yùn)動都是變速運(yùn)動，受力都不平衡，因而行星繞太陽運(yùn)動時受力一定不平衡，必會受到周圍天體對它的力的作用，在太陽系中可忽略其他行星的作用，認(rèn)為其所受合力就是太陽對它的引力作用。并且，物體做曲線運(yùn)動時在短時間內(nèi)都可看成是在一小段圓弧上的圓周運(yùn)動。假設(shè)行星所受太陽對它的引力與距離的n次方成正比，即設(shè)：F=krn。

行星運(yùn)動到近日點和遠(yuǎn)日點時，由開普勒行星運(yùn)動第二定律得：速度分別為最大值和最小值。因而，只有向心加速度，沒有切向加速度，由向心力公式及牛頓第二定律得：

這種推理巧妙地利用假設(shè)法，抓住特殊位置進(jìn)行推理，曲線運(yùn)動在短時間內(nèi)可以看作圓弧運(yùn)動，進(jìn)行了思維拓展，開闊學(xué)生的思維，享受到了思維大餐，但還是有一種小聰明和近似的感覺。

3 極坐標(biāo)法進(jìn)行嚴(yán)格推理

如圖2所示，取太陽所在位置為極點，軌道長軸方向為極軸方向，則行星的位置可用位矢r=r er表示[2]。

由開普勒行星運(yùn)動第三定律=k得：

即F=-4π2ker，太陽對行星作用力的大小與行星到太陽的距離成反比，方向沿兩者連線指向太陽的方向，太陽對行星的作用力是吸引力。

通過嚴(yán)密的數(shù)理推理得到了引力的距離平方反比規(guī)律，學(xué)生雖然感覺數(shù)學(xué)上有點難，但基于對推理嚴(yán)密性的追求，還是能夠接受的，再通過牛頓的地、月檢驗后，徹底接受了萬有引力定律，并且還享受到了嚴(yán)密的邏輯推理過程，在震撼之余思維品質(zhì)得到了提升，對學(xué)生的今后所從事的工作將會起到良好的促進(jìn)作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 物理2[M].北京：人民教育出版社，2010：37.

[2]周衍柏.理論力學(xué)教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1986：14.（欄目編輯 羅琬華）