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        透過表面看實質(zhì):新定義型問題

        2016-06-13 23:43:26李帥領(lǐng)
        初中生世界·九年級 2016年8期
        關(guān)鍵詞:行列式增函數(shù)反比例

        李帥領(lǐng)

        “新定義”型問題是指在問題情境中定義一些沒有學(xué)過的新概念、新運算、新符號,需要大家結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的知識進行理解,根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型. 近年來中考數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)“新定義”型問題,同學(xué)們在復(fù)習(xí)中應(yīng)該重視培養(yǎng)閱讀理解新知識并應(yīng)用新知識解決問題的能力.

        例1 (2015·慶陽)定義運算max{a,b},當(dāng)a≥b時,max{a,b}=a;當(dāng)a

        (1) max,3=_______;

        (2) 已知y1=和y2=k2x+b在同一坐標(biāo)系中的圖像如圖1所示,若max

        ,k2x+b=,結(jié)合圖像,直接寫出x的取值范圍;

        (3) 用分類討論的方法,求max{2x+1,x-2}的值.

        【思路突破】(1) 比較與3的大小;

        (2) 根據(jù)題意可以得出≥k2x+b;

        (3) 分2x+1≥x-2和2x+1

        【解答】(1) max,3=3.

        (2) x的取值范圍為-3≤x<0或x≥2.

        (3) ①當(dāng)2x+1≥x-2,即x≥-3時,max{2x+1,x-2}=2x+1;

        ②當(dāng)2x+1

        【解后反思】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題的應(yīng)用,分類討論思想等.

        例2 (2015·永州)定義[x]為不超過x的最大整數(shù),如[3.6]=3,[0.6]=0,[-3.6]=-4. 對于任意實數(shù)x,下列式子中錯誤的是( ).

        A. [x]=x(x為整數(shù))

        B. 0≤x-[x]<1

        C. [x+y]≤[x]+[y]

        D. [n+x]=n+[x](n為整數(shù))

        【思路突破】“定義[x]為不超過x的最大整數(shù)”可解釋為小于或等于x的最大整數(shù).

        【解答】當(dāng)x是整數(shù)時,A成立;x為任意數(shù)時,B成立.

        C不成立. 例如,[(-5.4)+(-3.2)]=[-8.6]=-9,[-5.4]+[-3.2]=-6+(-4)=-10,

        ∵-9>-10,

        ∴[-5.4-3.2]>[-5.4]+[-3.2].

        D項也是成立的.

        故選:C.

        【解后反思】閱讀并理解[x]的含義:不超過即小于或等于是解決本題的關(guān)鍵.

        例3 (2015·天水)定義運算:a?茚b=a(1-b). 下面給出了關(guān)于這種運算的幾種結(jié)論:①2?茚(-2)=6,②a?茚b=b?茚a,③若a+b=0,則(a?茚a)+(b?茚b)=2ab,④若a?茚b=0,則a=0或b=1,其中結(jié)論正確的序號是( ).

        A. ①④ B. ①③

        C. ②③④ D. ①③④

        【思路突破】根據(jù)題意得:

        2?茚(-2)=2×[1-(-2)]=6,選項①正確;

        a?茚b=a(1-b)=a-ab,b?茚a=b(1-a)=b-ab,不一定相等,選項②錯誤;

        (a?茚a)+(b?茚b)=a(1-a)+b(1-b)=a+b-a2-b2=a+b-(a+b)2+2ab=2ab,選項③正確;

        若a?茚b=a(1-b)=0,則a=0或b=1,選項④正確,故選D.

        【解后反思】此題考查了整式的混合運算,以及有理數(shù)的混合運算,熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

        例4 (2015·崇左)4個數(shù)a,b,c,d排列成a bc d,我們稱之為二階行列式. 規(guī)定它的運算法則為:a bc d=ad-bc. 若x+3 x-3x-3 x+3=12,則x=_______.

        【思路突破】根據(jù)所給的二階行列式的概念,把行列式x+3 x-3x-3 x+3=12轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程,算出方程的解得到答案.

        解:行列式x+3 x-3x-3 x+3=12可以化為方程(x+3)2-(x-3)2=12,解得,x=1.

        【解后反思】對于新定義的題,首先要看懂運算的法則,把新定義問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的數(shù)學(xué)問題來解決. 本題新定義的實質(zhì)是將四個整式交叉相乘再求差化簡,最后轉(zhuǎn)化為解方程確定結(jié)果.

        例5 (2015·臨沂)定義:給定關(guān)于x的函數(shù)y,對于該函數(shù)圖像上的任意兩點(x1,y1),(x2,y2),當(dāng)x1

        ①y=2x;②y=-x+1;③y=x2(x>0);④y=

        -.

        【思路突破】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)k>0時,y隨x增大而增大;由二次函數(shù)的性質(zhì)可知y=ax2的圖像過原點,當(dāng)a>0時開口向上,對稱軸為y軸,當(dāng)x>0時,y隨x的增大而增大;反比例函數(shù)的圖像是雙曲線,當(dāng)k<0時,在每一個象限內(nèi),y隨x的增大而增大.應(yīng)用這些性質(zhì)便可輕易地解決問題.

        【解答】y=2x,k>0,所以①是增函數(shù).

        y=-x+1,k=-1<0,所以②不是增函數(shù).

        y=x2,當(dāng)x>0時,是增函數(shù),所以③是增函數(shù).

        y=-,當(dāng)x1=1時,y1=-1,當(dāng)x2=-1時,y2=1,x1>x2,y1

        【解后反思】本題考查的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì),掌握各種函數(shù)的性質(zhì)以及條件是解決問題的關(guān)鍵.

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