胡　攀,李愛民,唐海軍

(四川文理學院數(shù)學與財經(jīng)學院，四川達州635000)

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①模糊環(huán)境下幾何平均亞式期權(quán)的保險精算定價

胡攀,李愛民,唐海軍

(四川文理學院數(shù)學與財經(jīng)學院，四川達州635000)

摘要：在標的股票價格服從幾何Liu過程的模型假設(shè)下,首先利用保險精算法給出幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的定價公式;其次,討論了定價公式關(guān)于各參數(shù)的單調(diào)性和凹凸性; 最后,用所建模型計算煤層氣開發(fā)項目的增長期權(quán)價值,為煤層氣項目的價值評估提供了一種新的思路和方法.

關(guān)鍵詞：模糊因素;保險精算法; 幾何平均亞式期權(quán)

0引言

分數(shù)布朗運動作為自適應(yīng)的高斯過程,是布朗運動的推廣,由于其可以刻畫長期相依性而在股票的價格模型中取代了布朗運動.但隨著不確定性理論的發(fā)展,人們發(fā)現(xiàn)金融市場上除了存在隨機性以外,還存在大量的模糊性.

為了處理模糊過程,1965年Zadeh用隸屬函數(shù)引入了模糊集合的概念,[1]2002年Liu通過定義可信性測度和模糊事件的自對偶性,[2]建立起了可信性理論,使之成為研究模糊理論的一個數(shù)學分支,2008年在模糊環(huán)境下提出了與布朗運動相對應(yīng)的Liu過程的概念用于描述動態(tài)模糊,Liu[3]同時建立了Liu股票價格模型.從此基于Liu股票價格模型的期權(quán)定價公式及其應(yīng)用便開始發(fā)展起來.[4-7]然而上述模型并不能解決股價在短期內(nèi)的異動對期權(quán)價值影響的問題,因此期權(quán)持有者可以通過短期內(nèi)操縱股價來牟利,從而破壞金融市場次序.

亞式期權(quán)作為一種強路徑依賴性期權(quán),標的資產(chǎn)(如股票)的期末價值采用期權(quán)持有期內(nèi)的平均值,從而可以有效避免股價的短期異動對期權(quán)價值的影響.亞式期權(quán)分為算術(shù)平均和幾何平均兩種.由于算術(shù)平均價格的精確分布并不存在,所以算術(shù)平均亞式期權(quán)的定價公式很難求得,而幾何平均價格服從對數(shù)正態(tài)分布,因而幾何平均亞式期權(quán)的定價公式比較容易求得.隨機條件下亞式期權(quán)的定價公式是在放寬B-S模型的某些假設(shè)條件下得到的,如跳-擴散模型、[8]隨機利率模型、[9]隨機波動模型等.[10]由于現(xiàn)實的金融市場中存在大量的模糊性,因而考慮模糊環(huán)境下幾何平均亞式期權(quán)的定價問題更符合實際的需要.

受上述研究的啟發(fā),本文在假設(shè)金融市場受模糊性因素影響的條件下,研究幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的定價問題.

1預(yù)備知識

1.1可信性理論

定義1[3]模糊過程Ct被稱為是Liu過程,如果它滿足(i) C0=0; (ii)Ct具有獨立平穩(wěn)增量; (iii) 任意增量Cs+t-Cs是均值為et,方差為σ2t2的正態(tài)分布模糊變量,其隸屬函數(shù)為

(1)

特別,當e=0,σ=1時稱Ct為標準Liu過程.

定義2[3]假設(shè)Ct是一個標準Liu過程,稱模糊過程Gt=exp(et+σCt)為幾何Liu過程.

(2)

期望值為

(3)

引理2[11]對任意t>0,It的正態(tài)隸屬函數(shù)為

(4)

引理3[12](可信性反演定理) 假設(shè)ξ是隸屬函數(shù)為μ的模糊變量,對于任意實數(shù)集合B,ξ的可信性測度

(5)

定義4[13]假設(shè)ξ是一個模糊變量,則ξ的期望值為

(6)

1.2Liu股價模型

假設(shè)模糊金融市場中僅存在兩種證券:一種為債券,t時刻的價格記為Bt;另一種為股票,t時刻的價格記為Xt.文獻[3]給出了股票價格的一般模型

(7)

1.3保險精算法

1998年,Bladt和Rydberg首次提出將期權(quán)定價轉(zhuǎn)化為公平保費的保險精算計算問題.[14]2005年Norbet Schmitz用反例驗證了在風險資產(chǎn)的收益率大于無風險利率的情況下,[15]若風險資產(chǎn)和無風險資產(chǎn)都按無風險利率折現(xiàn),則市場存在明顯的套利機會,進而提出了為期權(quán)定價時,風險資產(chǎn)按期望收益率折現(xiàn),無風險資產(chǎn)應(yīng)按無風險利率折現(xiàn)的改進的保險精算法.

2幾何平均亞式期權(quán)定價公式

(8)

證明：

(9)

當u≥0時,由可信性反演定理可知

(10)

(11)

綜合(10)(11)兩式有

(12)

將(12)式代入(9)式即得結(jié)論.

(13)

證明:本定理的證明類似于定理2的證明.這里從略.

定理4幾何平均亞式看漲期權(quán)的價格C=C(X0,K,e,σ,r)具有如下性質(zhì)：

① C是X0的單調(diào)增加凸函數(shù);

② C是K的單調(diào)減少凸函數(shù);

③ C是e的單調(diào)減函數(shù);

④ C是σ與r的單調(diào)增函數(shù).

證明：① 本性質(zhì)表明在其余參數(shù)不變的條件下,幾何平均亞式看漲期權(quán)的價格C=C(X0,K,e,σ,r)是股票初始價格X0的單調(diào)增函數(shù)和凸函數(shù).根據(jù)公式(7)有

于是,

同理可得幾何平均亞式看漲期權(quán)的價格C是無風險利率r的增函數(shù).

定理5幾何平均亞式看跌期權(quán)的價格P=P(X0,K,e,σ,r)具有如下性質(zhì)：

① P是X0的單調(diào)減少凸函數(shù);

② P是K的單調(diào)增加凸函數(shù);

③ P是e的單調(diào)增函數(shù);

④ P是σ與r的單調(diào)減函數(shù).

證明：本定理的證明類似于定理4的證明過程,這里略.

3實例應(yīng)用

煤層氣俗稱瓦斯,是一種非常規(guī)的天然氣,其主要成分是甲烷.煤層氣項目作為風險類項目之一,其投資開發(fā)是一項投資高、不可逆、極為復(fù)雜和大型的系統(tǒng)工程,現(xiàn)有的煤層氣項目的價值評估主要采用的是折現(xiàn)值法(DFC法)、實物期權(quán)法和增長期權(quán)法.已有研究表明折現(xiàn)值法已很難準確評估風險類項目的價值;由于實物期權(quán)法所用數(shù)據(jù)信息的確定性,使得項目價值計算結(jié)果過于剛性化;[16-17]而增長期權(quán)法主要是將煤層氣項目的價值看做項目本身價值加后續(xù)投資的增長期權(quán)的價值,增長期權(quán)主要采用的是基于B-S公式的價值評估方法.[18]煤層氣主要賦存在煤層中,其開采往往伴隨著煤炭資源的開發(fā)和能源利用,因此有關(guān)煤炭資源的開采就可看成是一個基于煤層氣項目的增長期權(quán).由于在某些時段內(nèi)煤炭價格波動較為明顯,如果直接采用B-S公式評估后續(xù)項目增長期權(quán)價值,可能會讓煤層氣開發(fā)企業(yè)做出錯誤決策并給其帶來巨大損失和不良后果.于是在項目開發(fā)期內(nèi)采用煤炭價格的幾何均值來估算增長期權(quán)的價值更具有現(xiàn)實意義.

某企業(yè)獲得某地區(qū)煤層氣和煤炭項目的雙料開采權(quán),為了保障煤炭開采安全,該公司決定先進行煤層氣開采,待煤層氣開采結(jié)束后便進行煤炭資源開采.該地區(qū)擁有15億m3煤層氣,預(yù)計年產(chǎn)量3億m3,可持續(xù)開采T=5年,煤層氣當前立即投資開發(fā)的成本K=9億元,煤層氣項目年凈現(xiàn)金流約為1.7億元,財務(wù)基準收益率i=8%;煤炭開發(fā)項目總價值的現(xiàn)值為10億元,后續(xù)投資成本為5億元,無風險利率r=3.25%,煤炭項目的價值波動率σ=0.25,預(yù)期收益率e=12%.

3.1傳統(tǒng)凈現(xiàn)金流分析法

根據(jù)DCF計算方法,該煤層氣項目的現(xiàn)值和凈現(xiàn)值分別為

因為NPV<0,所以該煤層氣項目應(yīng)該不予投資.3.2利用B-S的看漲期權(quán)計算增長期權(quán)的方法

如果在項目持續(xù)期內(nèi)煤炭價格相對平穩(wěn),則利用B-S公式計算增長期權(quán)的價值OP=8.2975億元(模型參見文獻[18]),則煤層氣項目的價值P=NPV+OP=8.2975-2.2124=6.0851億元.此時煤層氣項目的價值P>0,所以該項目可進行投資.

3.3基于幾何平均亞式看漲期權(quán)計算增長期權(quán)的方法

如果在項目持續(xù)期內(nèi)煤炭價格波動頻繁,則可利用模糊環(huán)境下幾何平均亞式看漲期權(quán)的定價公式計算該煤層氣項目的增長期權(quán)的價值OC=6.0380e-010,煤層氣項目的價值P=NPV+OC=-2.2124 + 6.0380e-010億元.顯然P<0,即該項目不應(yīng)該進行投資.

按照折現(xiàn)值法和模糊幾何平均亞式期權(quán)定價模型計算煤層氣項目的價值均為負,說明應(yīng)持續(xù)等待或放棄投資,而基于B-S公式的價值評估方法得到的項目價值為正,可以立即開發(fā).

4小結(jié)

在充分考慮了模糊性因素的影響后,給出了模糊環(huán)境下幾何平均亞式期權(quán)的價值計算公式,增強了期權(quán)定價的科學性和合理性.將所建模型用于煤層氣項目的價值評估,并將計算結(jié)果與用DCF法和B-S模型計算的結(jié)果作比較,提出可根據(jù)煤層氣項目后續(xù)投資項目資產(chǎn)價格變化的具體情況選擇不同的模型評估煤層氣項目的價值.

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[責任編輯范藻]

The Actuarial Pricing of Geometric Average Asian Options under Fuzzy Environment

HU Pan,LI Aimin,TANG Haijun

(Mathematics and Finance-Economics School of Sichuan University of Arts and Sciences,Dazhou Sichuan 635000,China)

Abstract:In the process of the underlying stock price follows geometric Liu model assumptions,the geometric average Asian call and put options pricing formula are given by using of actuarial method; Secondly,the monotonicity and convex-concave of the parameters in the model are discussed; Finally,the growth option value of CBM development project is calculated by using the model,it provides a new thought and method for the value of CBM project assessment.

Key words:fuzzy factors; actuarial pricing method; the geometric average Asian options

收稿日期：2015-11-18

基金項目:①四川省教育廳2016年度一般項目“基于模糊理論的煤炭項目價值評估與投資決策分析”(16ZB0354)；四川文理學院2014年度面上項目“模糊環(huán)境下煤層氣項目的價值評估與最佳投資決策研究” (2014Z009Y)

作者簡介：胡攀(1983—),男,四川雅安人.講師,碩士,主要從事金融數(shù)學與灰色系統(tǒng)理論研究.

中圖分類號：F830.9

文獻標志碼：A

文章編號：1674-5248(2016)02-0007-05