李　萍，馬　科，念騰飛，吳　中，郭云楓

(1. 蘭州理工大學　土木工程學院，甘肅　蘭州　730050;2. 甘肅第七建設集團股份有限公司　基礎橋梁市政工程公司，甘肅　蘭州　730000)

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基于權(quán)函數(shù)法的瀝青混合料預切口小梁的斷裂理論與裂紋擴展試驗的研究

李萍1，馬科1，念騰飛1，吳中1，郭云楓2

(1. 蘭州理工大學土木工程學院，甘肅蘭州730050;2. 甘肅第七建設集團股份有限公司基礎橋梁市政工程公司，甘肅蘭州730000)

摘要：為研究瀝青面層底部裂縫的應力狀態(tài)和擴展規(guī)律，基于權(quán)函數(shù)法對含單邊裂紋的矩形板權(quán)函數(shù)進行了理論推導，基于切口小梁的試驗模型和單邊預切口小梁的三點彎曲試驗，研究Ⅰ-Ⅱ型應力強度因子、Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂判據(jù)和裂紋在瀝青混合料中的擴展變化規(guī)律。結(jié)果表明：相同的荷載作用下，切口越靠近加載點，Ⅰ型應力強度因子和最大能量釋放率越大，Ⅱ型應力強度因子和開裂角越小；切口越長，最大能量釋放率越大，小梁越容易開裂；在切口不對稱的情況下對小梁加載出現(xiàn)了Ⅰ-Ⅱ復合型開裂，且起裂荷載隨著切口偏離加載點距離的增大而增大。通過理論計算與數(shù)值模擬結(jié)果的對比，使用權(quán)函數(shù)法計算小梁Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋應力強度因子具有良好的精度。

關(guān)鍵詞：道路工程；瀝青混合料；權(quán)函數(shù)法；裂紋擴展：預切口小梁；應力強度因子

0引言

裂縫是瀝青路面突出的病害之一。目前研究裂縫問題的方法主要有斷裂力學理論、試驗以及數(shù)值模擬[1-2]，根據(jù)裂縫在路面中受力性狀的不同主要可以分為Ⅰ型和Ⅰ-Ⅱ復合型。Majidzadeh[3]最先將斷裂力學引入到路面研究中，通過運用斷裂力學對路面裂縫的模擬，Majidzadeh將瀝青路面的疲勞破壞分為3個階段：裂縫初始化階段、裂縫擴展階段和極限斷裂階段。黃曉明等人[4]以裂紋面所受的均勻拉應力為參考荷載，運用單個參考荷載的權(quán)函數(shù)模型來計算瀝青面層底裂紋的應力強度因子。Wagoner等人[5]通過SEB試驗結(jié)合數(shù)值模擬對瀝青混凝土的斷裂能和反射裂縫的擴展機理進行了研究，研究表明SEB試驗是研究裂縫擴展機理較為有效的方法?；诠鈴椥苑Ｐ驮囼?，張起森等人[6]研究了開裂后的瀝青路面結(jié)構(gòu)在交通荷載作用下裂縫附近的應力狀態(tài)及裂縫穩(wěn)定性擴展問題。目前為止，關(guān)于瀝青路面裂縫的研究主要是圍繞著Ⅰ型裂紋來開展的，對Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋擴展的研究尚不多[7-9]。

研究瀝青路面裂縫在不同擴展深度和擴展方向的受力狀態(tài)及擴展規(guī)律，對于預測路面開裂以及進行路面結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計具有重要的意義。本文基于斷裂力學和權(quán)函數(shù)理論，推導并計算了小梁構(gòu)件裂紋尖端的應力強度因子和能量釋放率，并采用帶偏置切口的小梁彎曲試驗來研究瀝青混合料的開裂與裂紋擴展規(guī)律。

1權(quán)函數(shù)法與Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂判據(jù)

1.1權(quán)函數(shù)法基本思想

斷裂力學理論要解決的關(guān)鍵問題之一是求解表征裂紋端部應力奇異性強弱的應力強度因子。對于復雜應力條件下的應力強度因子，Bueckner[10]提出了應力強度因子的權(quán)函數(shù)法,即任意荷載作用下的裂紋體，其裂紋尖端的應力強度因子可通過式(1)得到：

(1)

式中，a為裂紋長度；σ(x)為裂紋面位置對應的無裂紋時的應力分量；m(x,a)為權(quán)函數(shù)。

權(quán)函數(shù)只與裂紋體的幾何形式有關(guān)，不同裂紋體的權(quán)函數(shù)有不同的表示方法，Glinka和Shen[11]提出了一種應用較為廣泛的權(quán)函數(shù)表達式：

(2)

式中Mi(i=1,2,3)是幾何參數(shù)，其值僅取決于裂紋體的幾何形式。

如果已知3個特殊的參考應力分量σri(i=1,2,3)下的參考應力強度因子Kri(i=1,2,3)， 把σri，Kri和式(2)代入到式(1)，就可以建立關(guān)于Mi的3個方程，從而可以計算出Mi。

1.2帶單邊裂紋的矩形板的權(quán)函數(shù)

為了對比切口小梁試驗研究，本文選取了帶邊緣裂紋的矩形板來進行理論計算。Fett[2]證明了在邊緣裂紋體的裂紋末端(x=0)，裂紋面的曲率為0，進而推導出：

(3)

式(3)可以作為求解Mi的附加條件，這樣就只需要尋求兩個參考應力強度因子解。對于Ⅰ型裂紋，選取圖1所示的兩種參考荷載。

(4)

式中W為小梁試件的高度。

圖1　參考荷載Fig.1　Reference load

對應的參考應力強度因子解分別為：

(5)

式中Fi(i=1,2)為參考應力強度因子的幾何修正系數(shù)，通過應力強度因子手冊[12]查得：

(6)

將式(2)、(4)、(5)代入式(1)，式(2)代入式(3)，就可以得到關(guān)于Mi(i=1,2,3)的3個方程：

(7)

進而推導出：

(8)

最后，將式(8)代入式(2)就得到Ⅰ型裂紋的權(quán)函數(shù)表達式。

同樣，Ⅱ型裂紋也可以運用上述方式來計算其權(quán)函數(shù)，但尋找特殊參考荷載作用下的應力強度因子的解析解比較困難。本文運用了Fett[14]推薦的Ⅱ型裂紋另一種形式的權(quán)函數(shù)mⅡ(x,a)：

(9)

式中，權(quán)函數(shù)系數(shù)Aνμ通過邊界配置法計算得到，具體詳見文獻[13]。

1.3計算算例

本文以切口小梁的試驗模型為例來進行應力強度因子的計算，見圖2。小梁試件長250 mm，高W和寬B均為50 mm,跨徑S為200 mm；切口長度a分別為10，15，20，25 mm和30 mm。切口與荷載作用線的距離L分別為0，10，20，30 mm和40 mm。梁跨中間作用集中荷載P=500 N。

圖2　單邊切口小梁Fig.2　Single-edge notched beam

在沒有切口的情況下，梁上任一點的應力為：

(10)

所得數(shù)據(jù)均以均數(shù)±標準差表示，采用SPSS 24.0軟件進行統(tǒng)計學分析，組間比較采用單因素方差分析，兩兩比較采用LSD-t法，P＜0.05為差異有統(tǒng)計學意義。

(11)

通過預制不同位置的切口，可以模擬不同狀態(tài)的Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋。對應的應力強度因子可分為Ⅰ型和Ⅱ型兩種，分別用KⅠ和KⅡ表示。將式(10)結(jié)合對應的權(quán)函數(shù)代入到式(1)，則有：

(12)

(13)

經(jīng)過計算，得到了不同切口長和不同切口位置的應力強度因子。為了方便比較，以切口長與梁高比ρ=a/W以及切口相對位置γ=2L/S作為變量來進行分析。Ⅰ型和Ⅱ型應力強度因子隨ρ的變化關(guān)系見圖3和圖4?？梢钥闯?，兩種應力強度因子都隨著切口長度的增大而增大。其中，KⅠ呈現(xiàn)出非線性增長的變化規(guī)律，增長速率逐漸增大；KⅡ則在切口偏置位移非零時接近線性增長。當ρ從0.2變化到0.4(即切口長度從10 mm增長到20 mm)，KⅠ增長了68.7%，KⅡ則增長了138.9%，這說明切口長度對切口尖端的應力場有顯著的影響。同一切口的KⅠ均顯著大于KⅡ，表明張開型斷裂模式在復合型裂紋擴展中起著關(guān)鍵的作用。KⅠ和KⅡ隨γ的變化關(guān)系如圖5和圖6所示?？梢钥闯觯谙嗤锌陂L度的條件下，KⅠ隨著切口偏離加載點距離的增大而減小，且與γ呈線性變化關(guān)系；KⅡ則隨γ呈現(xiàn)出非線性增長的規(guī)律，且增長速率逐漸減小直至趨近為0，表明切口偏離荷載位置越遠，滑移型斷裂模式表現(xiàn)得越明顯。當γ≥0.3(L≥30 mm)時，切口與荷載距離的增長對KⅡ的影響趨于穩(wěn)定。

圖4　KⅡ隨ρ的變化關(guān)系Fig.4　KⅡ vs. ρ

圖5　KⅠ隨γ的變化關(guān)系Fig.5　KⅠ vs. γ

圖6　KⅡ隨γ的變化關(guān)系Fig.6　KⅡ vs. γ

1.4Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂判據(jù)

復合型裂紋擴展要解決兩個基本問題：開裂角和斷裂判據(jù)，即研究裂紋什么條件下沿什么方向開始擴展。本文運用最大能量釋放率準則來研究Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂判據(jù)。Hussain等人[15]提出了Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋沿θ方向的能量釋放率G(θ)表達式：

(14)

根據(jù)最大能量釋放率準則，裂紋沿G(θ)取最大值方向擴展，故開裂角θ0滿足：

(15)

(16)

記λ=KⅡ/KⅠ，開裂角θ0由式(15)確定，即：

(17)

把θ0和式(14)代入到式(16)可得Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂判據(jù)：

(18)

圖7　θ0隨ρ的變化關(guān)系Fig.7　θ0 vs. ρ

圖8　θ0隨γ的變化關(guān)系Fig.8　θ0 vs. γ

仍以圖2所示的預切口小梁為例，假設小梁的彈性模量為E=1 500 MPa，其他條件不變。式中應力強度因子由上文權(quán)函數(shù)計算得到。在平面應力情況下，應用上述公式計算的開裂角θ0和對應的最大能量釋放率G(θ0)見圖7～圖10。可以看到，當γ=0(切口位于集中荷載正下方)時，開裂角θ0=0，表明當切口位于梁跨正中間并對稱加載時，小梁會沿原裂紋方向開裂，表現(xiàn)為純Ⅰ型開裂模式。切口偏離荷載位置時，θ0隨著ρ的增大呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢。當ρ增大到0.4時，θ0最大，說明此時Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋擴展模式在小梁中表現(xiàn)得最為明顯。最大能量釋放率G(θ0)隨著ρ的增大而增大，增長速率也逐漸增加。可見，切口越長，就越容易使G(θ0)達到材料的斷裂韌性GⅠc，小梁就越容易開裂。當切口長度一定時，θ0隨切口相對位置γ的增大而增大，增長速率逐漸減小，G(θ0)則隨著γ增大而逐漸減小。這表明同樣的荷載作用下，γ越大越不容易開裂；換言之，切口偏離荷載位置越遠，要使小梁開裂的荷載越大。

圖隨ρ的變化關(guān)系Fig.s. ρ

圖隨γ的變化關(guān)系Fig.s. γ

1.5數(shù)值模擬對比

為了驗證上文理論計算的準確性，本文采用ABAQUS內(nèi)置的擴展有限元(XFEM)對預切口小梁進行了模擬計算，并將數(shù)值模擬計算的結(jié)果與理論計算的結(jié)果進行對比分析。采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格技術(shù)將模型劃分成25 200個C3D8R六面體單元，共計28 224 個節(jié)點，對預制切口左右各30 mm范圍內(nèi)的網(wǎng)格進行加密,如圖11所示。

圖11　切口小梁模型的網(wǎng)格劃分Fig.11　Mesh for notched beam model

取ρ=0.2(即a=10 mm)時不同切口位置的計算結(jié)果進行對比(其他條件同理論計算的條件一致)。應力強度因子和最大能量釋放率的對比結(jié)果見表1?？梢钥闯銮锌谄x荷載的情況下，理論計算的KⅠ和G(θ0)相比數(shù)值模擬的結(jié)果偏小，KⅡ則偏大，但總體上比較接近。這說明本文推導的權(quán)函數(shù)在計算小梁斷裂問題上具有一定的可靠度。

表1　理論計算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果的對比

2單邊預切口梁的試驗研究

2.1試驗概況

本文采用AC-13的瀝青混凝土切口小梁進行三點彎曲試驗。小梁試件是通過尺寸為300 mm×300 mm×50 mm的標準板試件切割而成，具體操作采用了《公路工程瀝青及瀝青混合料試驗規(guī)程》(JTG—E20—2011)中的方法。小梁的切口通過金剛石鋸片切割機制作，由于鋸片自身厚度的影響和其他試驗條件的限制，預制的裂紋并非尖銳的“V”形，而是呈相對粗糙的“U”形，如圖12所示。成型的切口小梁試件的尺寸以及切口位置同理論計算的模型一致，見圖2，切口深度則采用了10，20，30 mm這3種。

圖12　切口小梁試件Fig.12　Single-edge notched beam specimens

試驗加載設備為長沙亞星瀝青混合料彎拉試驗系統(tǒng)，全部試驗過程在20 ℃溫度下進行，加載速率為50 mm/min。試驗操作具體方法見《公路工程瀝青及瀝青混合料試驗規(guī)程》(JTG—E20—2011)中瀝青混合料彎曲試驗(T 0715—2011)。

2.2試驗結(jié)果分析

試驗獲得了不同切口位置和不同切口長度的小梁在裂紋出現(xiàn)時的最大荷載PB(也稱“起裂荷載”)。PB隨切口相對位置γ的變化關(guān)系如圖13所示?？梢钥闯觯谙嗤锌陂L度條件下，切口距離荷載作用位置越遠，起裂荷載PB越大，這與權(quán)函數(shù)法推導的結(jié)論一致。另外，從圖上也可以看出同一位置的切口，ρ越大(即切口越長)，PB越小，表明小梁越容易產(chǎn)生裂紋。當ρ=0.6(即a=30 mm)時，瀝青混合料小梁在很小的外部荷載作用下就會發(fā)生斷裂。

圖13　PB隨γ的變化關(guān)系Fig.13　PB vs. γ

對裂紋擴展的觀察發(fā)現(xiàn)，裂紋會先經(jīng)歷一段穩(wěn)定的發(fā)展過程，當裂紋擴展到一定程度時便會迅速貫穿小梁而發(fā)生斷裂。如圖14所示，切口尖端的裂紋是朝著荷載作用位置的方向開裂的，且切口偏移量越大，開裂角越大，表現(xiàn)為Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋的擴展行為。同時可以看到，裂紋擴展路徑存在不同程度的轉(zhuǎn)折，這主要是由于瀝青混合料并非均質(zhì)材料，集料顆粒的存在影響了裂紋在瀝青混合料中的擴展形式。裂紋擴展到一定長度后，應力重分布使小梁切口的受力狀態(tài)逐漸接近Ⅰ型裂紋的受力狀態(tài)，因而出現(xiàn)了裂紋向豎直方向轉(zhuǎn)折的現(xiàn)象。

圖14　切口小梁的裂紋擴展Fig.14　Crack propagation of notched beam

3結(jié)論

本文通過斷裂力學理論和三點彎曲試驗對小梁切口尖端的應力強度因子和裂紋擴展規(guī)律進行了研究。研究結(jié)果有助于認識瀝青混合料的裂紋產(chǎn)生和擴展機理，對后期相應計算程序的編制以及瀝青路面開裂的預測有著一定理論和工程價值。本文主要結(jié)論如下：

(1)相同荷載作用下，切口越長，其尖端的應力強度因子和最大能量釋放率越大，小梁越容易開裂；當切口長與梁高比達到0.4時，Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋擴展模式表現(xiàn)得最為明顯。

(2)相同荷載作用下，切口偏離加載點越遠，Ⅰ型應力強度因子和最大能量釋放率越小，開裂角和Ⅱ型應力強度因子越大；Ⅰ型斷裂模式在復合型裂紋擴展中起著關(guān)鍵作用。

(3)當切口偏離加載位置時，小梁表現(xiàn)出Ⅰ-Ⅱ復合型開裂；起裂荷載隨著切口偏離距離的增大而增大；裂紋向上擴展過程中逐漸接近Ⅰ型裂紋形式。

(4)本文推導的權(quán)函數(shù)在計算切口小梁的應力強度因子上具有良好的精度。

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Study on Fracture Theory and Crack Propagation Test of Asphalt Mixture Pre-notched Beam Based on Weight Function Method

LI Ping1, MA Ke1, NIAN Teng-fei1, WU Zhong1, GUO Yun-feng2

(1. School of Civil Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou Gansu 730050, China;2. Foundation, Bridge &Municipal Engineering Corporation, Gansu Provincial 7th Construction Group Co., Ltd.,Lanzhou Gansu 730000, China)

Abstract：In order to research the stress state and the crack propagation of asphalt surface course bottom， the weight function of rectangular plate with single edge crack is derived based on weight function method, the I-II mixed mode stress intensity factor, mixed mode fracture criterion and propagation law of crack in asphalt mixture are studied based on the test model of pre-notched beam and three-point bending test of single-edge notched beam. The result shows that (1) under the same load, with the notch closes to the loading point, stress-intensity factor and the maximum energy release rate of mode I increase while the stress-intensity factor and the fracture angle of mode II decrease; (2) the longer the notch, the greater the maximum energy release rate and the easier the beam to be cracked; (3) the mixed-mode cracking appears in the case of asymmetric notch, and the initial cracking load increases with the increase of notch offset distance. Comparing the theoretical and simulation results, it has a good precision to calculate the crack stress intensity factor of the beam by weight function method.

Key words：road engineering; asphalt mixture; weight function method; crack propagation; pre-notched beam; stress intensity factor

收稿日期：2015-01-20

基金項目：國家自然科學基金項目(51108222)；甘肅省科技支撐項目(1504GKCA031)

作者簡介：李萍(1972-)，女，江蘇靖江人，博士，教授.(liping@lut.cn)

doi:10.3969/j.issn.1002-0268.2016.05.004

中圖分類號：U416.217

文獻標識碼：A

文章編號：1002-0268(2016)05-0021-07