林文賢

(韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東 潮州 521041)

一類具阻尼項的三階非線性中立型泛函微分方程的振動性*

林文賢

(韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東 潮州 521041)

作為機(jī)械、電子振蕩的數(shù)學(xué)模型——泛函微分方程的振動性研究在理論和實際中都有著重要意義。研究一類具連續(xù)分布滯量和阻尼項的三階非線性中立型泛函微分方程的振動性,利用廣義Riccati變換、H函數(shù)和積分平均技巧, 建立了保證該類方程的所有解振動或收斂于零的若干新的充分條件, 推廣和改進(jìn)了最近文獻(xiàn)的結(jié)果。

三階中立型方程；阻尼項；分布時滯；振動性

近年來，三階泛函微分方程的振動性受到許多學(xué)者的關(guān)注，最近的成果參看文獻(xiàn)[1-7]，但是，具有分布式中立項和阻尼項的三階微分方程的振動性尚未見到有關(guān)研究結(jié)果。 本文將考慮一類具有分布式中立項和阻尼項的三階非線性泛函微分方程

(1)

本文總假設(shè)下列條件成立：

(H1)r(t)∈C1([t0,∞),(0,∞)),

m(t)∈C([t0,∞),[0,∞)),r′(t)≥0，

定義函數(shù)

(2)

稱方程(1)的解是指函數(shù)x(t)∈C1[Tx,∞),Tx≥t0,使得r(t)y″(t)∈C1[Tx,∞)且在[Tx,∞)上滿足方程(1)。本文只考慮方程(1)滿足性質(zhì)sup{|x(t)|:t≥T}>0對一切T≥Tx成立的解。方程(1)的一個解稱為振動, 如果它在[Tx,∞)上有任意大的零點。否則, 稱它為非振動。

文獻(xiàn)[8]給出了方程(1)當(dāng)m(t)=0時的特殊情形的一切解振動或者收斂于零的充分條件，本文的目的是利用廣義Riccati變換和積分平均技巧建立使得方程(1)的一切解振動或收斂于零的充分條件，推廣和包含文獻(xiàn)[8]的結(jié)果。

1 若干引理

引理1 設(shè)x(t)是方程(1) 的最終正解, 則由式(2)定義的y(t)只能有下列兩種類型:

(Ⅰ)y(t)>0,y′(t)>0,y″(t)>0;

(Ⅱ)y(t)>0,y′(t)<0,y″(t)>0。

證明 設(shè)x(t)是方程(1)上的最終正解,于是存在t1>t0，使得當(dāng)t≥t1時，有y(t)>x(t)>0,且

則

在[t2,t)上對上式積分，有

上式中，令t→∞，利用假設(shè)條件(H1)，有y′(t)→-∞，因此，y′(t)最終為負(fù)。但是，由y′(t)和y″(t)最終為負(fù)，可知y(t)最終為負(fù)，此與y(t)>0的假設(shè)矛盾，故有y″(t)>0。因此，y(t)只能有(Ⅰ)和(Ⅱ)兩種類型，引理1證畢。

引理2 設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解，相應(yīng)的y(t)具有(Ⅱ)型性質(zhì)。如果

(3)

(4)

注意到假設(shè)條件(H4)和y(t)是 (Ⅱ)型, 得到

(5)

從t到∞對式(5)積分產(chǎn)生

利用y[σ(s,d)]≥l,有

又由z′(t)≥0, 可得

(6)

從t2到∞對式(6)積分，有

引理3[9]設(shè)u(t)>0,u′(t)>0,u″(t)≤0,t≥t0,g(t)∈C([t0,∞)，[0,∞))，則對任一α∈(0,1)存在Tα≥t0，使得

引理4[10]設(shè)u(t)>0,u′(t)>0,u″(t)>0,u?(t)≤0,t≥Tα，則存在β∈(0,1)和Tβ≥Tα, 使得u(t)≥βtu′(t),t≥Tβ。

下面利用積分平均技巧，給出方程(1)的新的振動結(jié)果。為此引進(jìn)如下一類函數(shù)X。令

函數(shù)H∈C1(D,R)稱為屬于X類, 記作H∈X, 如果

(i)H(t,t)=0,t≥t0;

H(t,s)>0,(t,s)∈D0;

2 主要結(jié)果

定理 1 設(shè)式(3)成立，且存在函數(shù)H∈X和ρ∈C1([t0,∞),(0,∞)),使得

(7)

其中

(8)

和

(9)

這里的α和β分別由引理3和引理4定義, 則方程(1)的每一解x(t)振動, 或者當(dāng)t→∞時x(t)→0。

證明 設(shè)方程(1)存在非振動解x(t), 不失一般性, 設(shè)x(t)最終為正(當(dāng)x(t)最終為負(fù)時可以類似地證明), 故當(dāng)t≥t1時有x(t)>0,且x[τ(t,μ)]>0,(t,μ)∈[t1,∞)×[a,b],x[σ(t,ξ)]>0,(t,ξ)∈[t1,∞)×[c,d]。函數(shù)y(t)由式(2)定義。由引理1,y(t)可能為(Ⅰ)型或(Ⅱ)型。

首先, 設(shè)y(t)為(Ⅰ)型，有

(10)

利用假設(shè)條件(H5) 和 (H6),有

(11)

其中

(12)

令

(13)

則由式(11)得

(14)

在引理3中，令u(t)=y′(t),g(t)=σ(t,c)，則有u(t)>0,u′(t)>0，由式(5)有

由(H1)中的條件r′(t)≥0和m(t)≥0推出u″(t)=y?(t)≤0,于是

(15)

在引理 4中,令u(t)=y(t), 有

(16)

聯(lián)合式(14)- (16), 得到

(17)

其中Q(t)由式(8)定義。記

(18)

當(dāng)t≥t2≥Tβ,有

(19)

其中h1(t,s)由式(9)定義。因此

顯然，上式與條件 (7)矛盾。

定理2 設(shè)除條件(7)外定理1的其他條件都滿足，又設(shè)對每一T>t2，有

(20)

和

(21)

如果存在φ∈C([t0,∞),R),使得

(22)

其中φ+(s)=max{φ(s),0}, 且

(23)

則方程(1)的每一解x(t)振動, 或者當(dāng)t→∞時x(t)→0。

證明 同定理1的證明一樣，對于y(t)為(I)型的情況有式(19)成立，則對每一T>t2，有

利用式(23)，得到

因此

(24)

定義

定理3 設(shè)除式(20)外定理2的其他條件都滿足，且

則方程(1)的每一解x(t)振動, 或者當(dāng)t→∞時x(t)→0。

證明 證明過程類似定理2，故省略。

注1 若取H(t,s)=(t-s)n, 則定理的Philos型條件簡化為Kamenev型條件。H的其他選擇如下：

其中n>1,θ∈C([T,∞),R+),滿足

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Oscillations of certain third order nonlinear neutral functional differential equations with damping

LINWenxian

(College of Mathematics and Statistics, Hanshan Normal University, Chaozhou 521041, China)

The research on oscillation for general mechanical and electronic vibration mathematical models，which are usually functional differential equations, has important implications in both theory and practice. The oscillation of third-order nonlinear neutral functional differential equations with continuous distributed delay and damping terms is studied. By using the generalized Riccati transformation, H-function and integral averaging technique, some new sufficient conditions which insure that any solution of such equation oscillates or converges to zero are established. The corresponding known results are extended and improved.

third-order neutral equations; damping terms; distributed delay; oscillation

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.06.007

2016-04-21

廣東省高等教育教學(xué)改革資助項目(GDJG20142396);廣東省高等學(xué)校特色創(chuàng)新資助項目(2014GXJK125);廣東省自然科學(xué)基金資助項目(S2013010013372)

林文賢(1966年生)，男；研究方向：泛函微分方程理論及其應(yīng)用；E-mail:linwx66@163.com

O

A

0529-6579(2016)06-0052-05