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        注重解題策略方能有效化解排列組合問題

        2016-06-03 02:47:27張子祺
        關鍵詞:分類解題數學

        張子祺

        (吉林省實驗中學高一.十二班 吉林長春 130012)

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        注重解題策略方能有效化解排列組合問題

        張子祺

        (吉林省實驗中學高一.十二班 吉林長春 130012)

        摘 要:排列組合以極概率問題是高中數學的一個重點,也是難點,對于高中學習來說,這類數學問題如果能在平時多加練習并認真掌握其要領,可以在高考中應付自如,從而在考試中得心應手。本人作為一名高中生,平時特別喜歡在數學方面進行鉆研,對于高中數學中的排列組合問題進行分析研究,以便能給高中學生在學習排列組合與概率問題等方面提供借鑒。

        關鍵詞:相互獨立事件 排列組合問題 解題策略 組合數計算 互斥事件 排列 組合 概率

        排列組合知識,廣泛應用于實際,掌握好排列組合知識,能幫助我們在生產生活中,解決許多實際應用問題。同時排列組合問題歷來就是一個老大難的問題。因此有必要對排列組合問題的解題規(guī)律和解題方法作一點歸納和總結,以期充分掌握排列組合知識。

        一、排列組合綜合問題的一般解題規(guī)律

        1.使用“分類計數原理”還是“分步計數原理”要根據我們完成某件事時采取的方式而定,可以分類來完成這件事時用“分類計數原理”,需要分步來完成這件事時就用“分步計數原理”;那么,怎樣確定是分類,還是分步驟?“分類”表現為其中任何一類均可獨立完成所給的事件,而“分步”必須把各步驟均完成才能完成所給事件,所以準確理解兩個原理強調完成一件事情的幾類辦法互不干擾,相互獨立,彼此間交集為空集,并集為全集,不論哪類辦法都能將事情單獨完成,分步計數原理強調各步驟缺一不可,需要依次完成所有步驟才能完成這件事,步與步之間互不影響,即前步用什么方法不影響后面的步驟采用的方法。

        2.排列與組合定義相近,它們的區(qū)別在于是否與順序有關。復雜的排列問題常常通過試驗、畫 “樹圖 ”、“框圖”等手段使問題直觀化,從而尋求解題途徑,由于結果的正確性難于檢驗,因此常常需要用不同的方法求解來獲得檢驗。

        3.按元素的性質進行分類,按事件發(fā)生的連續(xù)性進行分步是處理排列組合問題的基本思想方法,要注意“至少、至多”等限制詞的意義。處理排列、組合綜合問題,一般思想是先選元素(組合),后排列,按元素的性質進行“分類”和按事件的過程“分步”,始終是處理排列、組合問題的基本原理和方法,通過解題訓練要注意積累和掌握分類和分步的基本技能,保證每步獨立,達到分類標準明確,分步層次清楚,不重不漏。

        4.在解決排列組合綜合問題時,必須深刻理解排列組合的概念,能熟練地對問題進行分類,牢記排列數與組合數公式與組合數性質,容易產生的錯誤是重復和遺漏計數。

        總之,解決排列組合問題的基本規(guī)律,即:分類相加,分步相乘,排組分清,加乘明確;有序排列,無序組合;正難則反,間接排除等。

        二、排列組合問題的具體解題方法

        抓住問題的本質特征和規(guī)律,靈活運用基本原理和公式進行分析解答的同時,還要注意講究一些解題策略和方法技巧,使一些看似復雜的問題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。

        1.特殊元素(位置)的“優(yōu)先安排法”:對于特殊元素(位置)的排列組合問題,一般先考慮特殊,再考慮其他。

        例題:用0,2,3,4,5,五個數字,組成沒有重復數字的三位數,其中偶數共有多少個?

        3.相鄰問題用捆綁法:在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時,先整體考慮,將相鄰的元素“捆綁”起來,看作一“大”元素與其余元素排列,然后再考慮大元素內部各元素間順序的解題策略就是捆綁法。例如:有8本不同的書;其中數學書3本,外語書2本,其它學科書3本.若將這些書排成一列放在書架上,讓數學書排在一起,外語書也恰好排在一起的排法共有多少種?

        解題分析:把3本數學書“捆綁”在一起看成一本大書,2本外語書也“捆綁”在一起看成一本大書,與其它3本書一起看作5個元素,共有A55種排法;又3本數學書有A33種排法,2本外語書有A22種排法;根據分步計數原理共有排法A55*A33*A22=1440(種)。因此,運用捆綁法解決排列組合問題時,一定要注意“捆綁”起來的大元素內部的順序問題.

        4.不相鄰問題用“插空法”。不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰,由其它元素將它們隔開.解決此類問題可以先將其它元素排好,再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置,故稱插空法。例如:用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數字的八位數,要求1與2相鄰,2與4相鄰,5與6相鄰,而7與8不相鄰。這樣的八位數共有多少個?

        5.順序固定用“除法”。對于某幾個元素按一定的順序排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列,然后用總的排列數除于這幾個元素的全排列數。例如:6個人排隊,甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”順序排的排隊方法有多少種?

        解題分析:不考慮附加條件,排隊方法有A66種,而其中甲、乙、丙的A33種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A6

        6÷A33=120種。(或A63種)。

        對于這種解題方法,我們還可以從另外一個問題中得到解答方法,比如另外一個例題:4個男生和3個女生,高矮不相等,現在將他們排成一行,要求從左到右女生從矮到高排列,有多少種排法。此題的解法是:先在7個位置中任取4個給男生,有A74種排法,余下的3個位置給女生,只有一種排法,故有A74種排法。(也可以是A77÷A33種)。

        應該指出的是,以上介紹的各種方法是解決一般排列組合問題常用方法,并非絕對的。數學是一門非常靈活的課程,同一問題有時會有多種解法,這時,要認真思考和分析,靈活選擇最佳方法,進而能夠對數學產生興趣。

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