◎胡 珺

(南京市中華中學(xué)，南京 秦淮 210006)

知識(shí)與能力并駕 思想與經(jīng)驗(yàn)齊驅(qū)
——“一元二次方程的解法”教學(xué)案例與反思

◎胡 珺

(南京市中華中學(xué)，南京 秦淮 210006)

一、問(wèn)題提出

“一元二次方程的解法”是“一元二次方程”這一章的核心內(nèi)容.從教材上看，本節(jié)內(nèi)容分別研究了“直接開(kāi)平方法”“配方法”“公式法”以及“因式分解法”.

在此之前學(xué)生已經(jīng)掌握了一元一次方程、二元一次方程組、分式方程的解法，其中二元一次方程組和分式方程都是通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ㄞD(zhuǎn)化為一元一次方程求解的.如果按照教材原有的設(shè)計(jì)組織教學(xué)，學(xué)生可以按部就班地掌握這幾種解法，但這些解法中蘊(yùn)含的本質(zhì)不一定能很好地體現(xiàn)出來(lái).筆者思考：對(duì)于基礎(chǔ)比較好的班級(jí)，是否能以此為契機(jī)，通過(guò)對(duì)教材的整合，引導(dǎo)學(xué)生自己去探究，發(fā)現(xiàn)一元二次方程的解法中所蘊(yùn)含的本質(zhì)思想，并最終將所學(xué)的方程融會(huì)貫通，建立相應(yīng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)呢？

二、問(wèn)題解決

選擇適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)對(duì)一元二次方程進(jìn)行分類，讓學(xué)生對(duì)不同“類型”的方程進(jìn)行探究，將“直接開(kāi)平方法”“配方法”“因式分解法”自然地整合到一起.

(一)教學(xué)案例

1.情境創(chuàng)設(shè)

問(wèn)題1：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)哪些方程(組)？

生：學(xué)過(guò)一元一次方程、二元一次方程組還有分式方程.

追問(wèn)：那我們是如何解這些方程的？

師生活動(dòng)：學(xué)生回答并相互補(bǔ)充，教師幫助其進(jìn)行總結(jié)：二元一次方程組通過(guò)消元法轉(zhuǎn)化為一元一次方程，分式方程通過(guò)去分母轉(zhuǎn)化為一元一次方程.

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧一元一次方程、二元一次方程組、分式方程的解法，讓學(xué)生感受到二元一次方程組和分式方程都可以通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ㄞD(zhuǎn)化為一元一次方程加以解決，初步讓學(xué)生體會(huì)解方程中的核心思想——轉(zhuǎn)化思想，這時(shí)學(xué)生很容易產(chǎn)生猜想：一元二次方程也能通過(guò)這樣的方法來(lái)求解嗎？激發(fā)了學(xué)生的求知欲望.】

問(wèn)題2：什么樣的方程是一元二次方程？

生：一個(gè)方程如果可以整理為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，這個(gè)方程就叫作一元二次方程.

追問(wèn)1：為什么要強(qiáng)調(diào)“a≠0”？

追問(wèn)2：規(guī)定b，c一定不為0嗎？

追問(wèn)3：根據(jù)b，c是否取零，能對(duì)一元二次方程進(jìn)行分類嗎？請(qǐng)每一類各舉出一個(gè)具體的例子.

師生活動(dòng)：學(xué)生回答并相互補(bǔ)充，教師板書：

①b=0，c=0，如2x2=0;②b=0，c≠0，如x2-9=0;

③b≠0，c=0，如x2-4x=0;④b≠0，c≠0，如x2+8x-2=0.

【設(shè)計(jì)意圖：無(wú)論怎樣的一元二次方程，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)、整理一定可以成為以上四種形式中的一種.這樣分類以后，就給我們研究一元二次方程的解法提供了多個(gè)可以選擇的切入點(diǎn)，為后面學(xué)生的自主探究做了必要的鋪墊.】

2.探索活動(dòng)

問(wèn)題3：以上四個(gè)一元二次方程中你能解幾個(gè)？

【設(shè)計(jì)意圖：預(yù)設(shè)大部分學(xué)生能比較輕松地解①、②兩個(gè)方程，而對(duì)③、④兩個(gè)方程可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組討論、交流.教師在巡視過(guò)程中也可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題中暴露出來(lái)的問(wèn)題.】

師生活動(dòng)：

①2x2=0

解：x2=0，∴x=0.

【說(shuō)明：這里暫時(shí)不討論等根問(wèn)題.】

②x2-9=0

解：x2=9.

x=±3,即x1=3，x2=-3.

③x2-4x=0

解：x2-4x+4=4,∴(x-2)2=4,∴x-2=±2.

即x-2=2或x-2=-2,∴x1=4，x2=0.

追問(wèn)：為什么要在方程的兩邊加上4？

生：兩邊加上4以后方程的左邊就可以配成完全平方式了.

④x2+8x-2=0.

解：x2+8x=2,x2+8x+16=2+16,

追問(wèn)1：請(qǐng)比較上面①、②兩個(gè)方程，它們有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？

師生活動(dòng)：區(qū)別在于①中b=0，c=0；②中b=0，c≠0，但兩個(gè)方程通過(guò)等式的基本性質(zhì)都可以轉(zhuǎn)化為x2=m的形式，然后兩邊直接開(kāi)平方.

追問(wèn)2：如果一個(gè)方程可以轉(zhuǎn)化為x2=m的形式，m取任何實(shí)數(shù)，這個(gè)方程都有實(shí)數(shù)解嗎？

生：只有m≥0時(shí)，方程才有解.

追問(wèn)3：請(qǐng)比較上面③、④兩個(gè)方程，它們有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？

師生活動(dòng)：區(qū)別在于③中，b≠0，c=0；④中b≠0，c≠0，但通過(guò)在方程的左、右兩邊加上一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)可以把方程左邊化為一個(gè)完全平方式，最終將兩個(gè)方程都轉(zhuǎn)化為(x+k)2=m的形式.

追問(wèn)4：加上的這個(gè)數(shù)是怎么確定下來(lái)的呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生分組進(jìn)行討論，互相補(bǔ)充并總結(jié)，根據(jù)完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2可以推出所加上的數(shù)應(yīng)該是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

追問(wèn)：再請(qǐng)同學(xué)回頭思考一下x2-4x=0這個(gè)方程還有其他的解法嗎？

生：移項(xiàng)得x2=4x，兩邊約去x，得x=4.

追問(wèn)：這種解法正確嗎？為什么比前面的方法少了一個(gè)解呢？

師生活動(dòng)：讓學(xué)生討論后進(jìn)行分析，該解法錯(cuò)誤的原因是等式的兩邊約掉x的時(shí)候，沒(méi)有討論x是否為0，所以漏解了，如果對(duì)x是否為0進(jìn)行分類討論，也不失為一種解法.

生：對(duì)x2-4x=0的左邊進(jìn)行因式分解，得到x(x-4)=0，∴x=0或x-4=0,即x1=0，x2=4.

【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)一題多解和多題一解.】

3.歸納總結(jié)

師生活動(dòng)：共同回顧以上幾種一元二次方程的解法，總結(jié)這些方法的名稱及步驟，教師板書.

①直接開(kāi)平方法、②配方法、③因式分解法.

總結(jié)：這些方法都可以將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)解決，和前面所學(xué)的二元一次方程組以及分式方程的思想方法都是相通的.可以綜合起來(lái)形成相應(yīng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

4.思維拓展

問(wèn)題4：解方程x3-x=0.

【設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)最近發(fā)展區(qū)原則，再次刺激學(xué)生的認(rèn)知，感受到方程解法的核心思想——轉(zhuǎn)化思想，學(xué)會(huì)思考如何將不熟悉的方程通過(guò)合適的方法轉(zhuǎn)化為熟悉的方程.】

(二)設(shè)計(jì)說(shuō)明

該教學(xué)設(shè)計(jì)以“轉(zhuǎn)化思想”為靈魂，貫穿始終，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)方程(組)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行回顧、歸納、總結(jié)，使之結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化；通過(guò)對(duì)不同類型方程解法的關(guān)鍵步驟之間的比較，感悟在解方程(組)過(guò)程中所滲透的數(shù)學(xué)思想，建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)；引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用歸納總結(jié)出的思想方法解決新的問(wèn)題，鍛煉分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

由于課時(shí)的限制，對(duì)于配方法的研究還不夠深入，特別對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不為1的情況，包括對(duì)公式法的研究也沒(méi)有進(jìn)行.這些內(nèi)容將在下一課時(shí)完成.

三、問(wèn)題反思

通過(guò)這次實(shí)踐，筆者深深體會(huì)到教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)不必拘泥于課本，在不偏離教學(xué)本質(zhì)的前提下，針對(duì)學(xué)生的實(shí)際情況，可以對(duì)教材的基本素材進(jìn)行合理的調(diào)整，使之更契合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和教學(xué)情境.

本節(jié)內(nèi)容中，原本需要3課時(shí)的“直接開(kāi)平方法”“配方法”“因式分解法”用一節(jié)課的時(shí)間就完成了，雖然內(nèi)容較多，但精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題串使難點(diǎn)得以突破.在課堂教學(xué)中，并沒(méi)有因?yàn)椤敖夥匠獭笔遣僮骷寄軉?wèn)題而采取例題、模仿、訓(xùn)練的教學(xué)模式，堅(jiān)持思維領(lǐng)先，探索前進(jìn)的原則，將研究一元二次方程解法的過(guò)程設(shè)計(jì)為讓學(xué)生“先實(shí)踐，再深化認(rèn)識(shí)”的過(guò)程，這樣把探求解法的過(guò)程交給學(xué)生，在實(shí)踐中提高了獨(dú)立操作的能力，在歸納總結(jié)中加深對(duì)方程的理解和認(rèn)識(shí)，這樣既提升學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的信心，也提高了學(xué)生解方程的技能，體現(xiàn)了以提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為核心的數(shù)學(xué)教育理念.