李誠，張弛 *，隋倜倜

（1.河海大學海岸災害及防護教育部重點實驗室，江蘇南京210098；2.河海大學港口海岸與近海工程學院，江蘇南京210098）

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淺化波浪層流邊界層流速分布特性的數(shù)值分析

李誠1，2，張弛1，2 *，隋倜倜1，2

（1.河海大學海岸災害及防護教育部重點實驗室，江蘇南京210098；2.河海大學港口海岸與近海工程學院，江蘇南京210098）

摘要：建立了同時考慮波致雷諾應力和時均水平壓強梯度影響的二階波浪邊界層數(shù)學模型，模型計算得到的淺化波浪層流邊界層內瞬時流速剖面、振蕩速度幅值和時均流速剖面均與水槽實驗數(shù)據(jù)吻合較好，在此基礎上探討了淺化波浪邊界層流速分布特性及其影響機制。隨著波浪的淺化變形，邊界層內時均流速剖面“底部向岸、上部離岸”的變化特征越來越明顯。這是二階對流項引起的波致雷諾應力和離岸回流引起的時均水平壓強梯度共同作用的結果，在床面附近由波致雷諾應力占主導作用并趨于引起向岸流動，在上部區(qū)域由時均水平壓強梯度占主導作用并趨于引起離岸流動。

關鍵詞：波浪淺化；底部邊界層；時均流速；數(shù)值模擬

1　引言

近岸波浪水質點的振蕩運動受到底床摩阻的影響，在床面上方形成毫米至厘米級的薄層，即波浪邊界層。波浪邊界層內存在較大的流速梯度并催生床面剪切應力，是近岸泥沙運動的重要驅動力。研究波浪邊界層內的水流分布特征和床面剪切應力變化對認識海岸泥沙運動和地形演變具有重要意義［1—3］。

眾多國內外學者采用物理實驗與數(shù)學模型的手段對波浪邊界層開展研究。Hino等［4］和Jensen等［5］在U形管中測量了波浪邊界層的流速剖面和床面剪切應力。孫亞斌等［6］采用格子Boltzmann方法對波浪層流邊界層進行模擬，探討了線性波和橢圓余弦波作用下的流速變化情況。陳杰等［7］采用一維垂線波浪邊界層模型和M ellor-Yamada紊動模式模擬了線性波作用下的邊界層流速剖面。吳永勝等［8］采用一階邊界層模型對波流共同作用下的邊界層紊流結構進行分析，探討了邊界層內的波流非線性耦合機制。上述研究針對波浪邊界層流速和床面剪切應力在一個周期內的變化規(guī)律取得了較好的進展，但大多基于流速在水平方向上均勻分布的一階假定，對邊界層內的時均流速分布未做深入分析。

實際波浪邊界層的時均流動受到以下兩個動力過程的共同影響。第一，波浪水質點運動具有水平流速梯度和垂向流速，而邊界層內的黏性運動使得底床附近水平流速與垂向流速相位差不為90°，從而產生不為零的二階波致雷諾應力，引起邊界層內向岸方向的時均水流［9］；第二，波浪傳播變形過程中會引起水體表層的向岸質量凈輸移和底層的離岸回流，引起邊界層內不為零的時均水平壓強梯度和離岸方向的時均水流［10］。Lin和H wung［11］的波浪水槽實驗表明，淺化波浪邊界層內的時均流速在底部為向岸，在上部為離岸，反映了兩個動力過程的相互作用。近年來許多學者通過數(shù)學模型對這兩者開展了針對性的研究，并探討了它們的影響機制。H olmedal和M yrhaug［12］，Kranenburg等［13］采用二階邊界層模型對線性波和二階斯托克斯波作用下的底部邊界層時均水流進行模擬，分析了波致雷諾應力對邊界層時均流速剖面的影響。Zhang等［14］在一階邊界層模型中考慮了離岸回流引起的時均水平壓強梯度項，模擬分析了時均水平壓強梯度對淺化波浪邊界層時均流速分布的影響。這些研究重點探討了波致雷諾應力或時均水平壓強梯度其中一個動力過程的影響，尚未綜合考慮兩個過程的共同作用。

本文建立了二階波浪邊界層模型，同時考慮了波致雷諾應力和時均水平壓強梯度的影響。受限于實驗設備尺度，在波浪水槽內完成的紊流邊界層實驗尚不多，本文將初步采用已有的層流邊界層實驗數(shù)據(jù)來驗證數(shù)學模型。在此基礎上，探討淺化波浪邊界層內的流速分布特性及其影響機制。

2　數(shù)學模型

2.1二階波浪邊界層控制方程

二階波浪邊界層控制方程是基于雷諾平均的Navier-Stokes方程的簡化。由于邊界層厚度很薄，通常假定邊界層內的水平壓強梯度在層內均勻分布且等于上邊界自由流動區(qū)的水平壓強梯度。與一階方程相比，二階方程中考慮了水平對流項和垂向流速，能更好地描述波浪傳播變形條件下的邊界層流動特性。二階波浪層流邊界層的動量方程和連續(xù)方程可表示為：

式中，u為水平速度，w為垂向速度，p為壓強，ρ為水體密度，取1×103kg/m3，υ為水體運動黏滯系數(shù)，取1×10-6m2/s，t為時間，x為水平坐標（向岸為正），z為垂向坐標（向上為正）。式（1）左側第二項和第三項分別為二階水平對流項和垂向對流項，包含了波致雷諾應力的影響；式（1）右側第一項為水平壓強梯度項，包含了離岸回流的影響。這3項的確定是求解邊界層模型的關鍵。

2.2二階對流項的處理

針對某一特定位置，認為其局部兩側的波面形態(tài)沿程變化很小，水質點速度的空間梯度主要取決于自身的相位差，可采用下列關系式將水平流速梯度轉化為流速對時間的導數(shù)：

式中，c為波浪速度。這種處理方法將方程簡化為垂向一維，在保證計算精度的同時可有效提高計算效率［12—13，15］。式（3）在線性波理論和斯托克斯二階波理論中是適用的。

結合連續(xù)方程，垂向流速可通過下式計算：

2.3水平壓強梯度項的處理

水平壓強梯度可分解為波浪壓強梯度項和時均（水流）壓強梯度項之和：

式中，波浪線和水平線上標分別表示某一物理量X的波浪和水流分量：

波浪壓強梯度是由于波浪振蕩運動引起的，可表示為：

式中，u∞是上邊界處的波浪自由振蕩速度。

水平壓強梯度項沿水深不變，反映了離岸回流的影響。Zhang等［14］發(fā)現(xiàn)該水平壓強梯度對邊界層時均流速分布具有重要影響。這一項在模型中通過自動迭代給定，以滿足上邊界處的計算時均流速接近于實測值。

2.4邊界條件和數(shù)值格式

在床面上采用流速無滑移條件：

式中，z0為理論床面零點。

在上邊界處采用零通量條件：

采用隱式有限差分格式離散控制方程。模型網(wǎng)格采用對數(shù)增大的變網(wǎng)格步長以保證近底流速梯度很大的區(qū)域有足夠的計算精度。計算敏感性分析表明，當模型上邊界ztop超出兩倍邊界層厚度處時，對邊界層內流速計算的結果影響很小。在一個波周期內取100～500個計算步長，模型計算的初始時刻給u很小的正值。計算收斂條件為前后兩個波周期內u的最大相對誤差不超過1×10-5。試算結果表明模型可以很好地復演一階和二階斯托克斯波層流邊界層解析解。

3　計算結果及分析

Lin和H wung［11］在國立成功大學臺南水工試驗所的波浪水槽中對斜坡上淺化波浪作用下的底部邊界層進行了測量。水槽長為9.5 m、寬0.3 m、高0.7 m，底床為光滑定床。波高0.053 m、周期1.41 s的規(guī)則波正向入射于1∶15的斜坡上。在破波帶外淺化區(qū)域布置10個測量斷面，分別使用波高計和LD V測量水面高程和邊界層內流速的時間序列。實驗布置示意圖如圖1所示：

圖1　Lin和H wung實驗地形及測點布置示意圖［11］Fig.1 Sketch of wave flume and location of measurements（extracted from Lin and H wung［11］）

選用P4、P8、P10三個斷面的實測數(shù)據(jù)對模型進行驗證，水深分別為0.157 m、0.11 m和0.085 m。計算區(qū)域上邊界高度為ztop= 0.005 m，采用上邊界處的實測波浪自由振蕩速度作為模型輸入條件。垂向布置200個網(wǎng)格，一個周期內計算500個時間步長。

波浪雷諾數(shù)Re是衡量邊界層流態(tài)的重要指標。根據(jù)Lin和H wung［11］對實驗數(shù)據(jù)的處理方法，波浪雷諾數(shù)取為為自由流速向岸方向幅值，T為波浪周期。結果表明3個斷面處的波浪雷諾數(shù)介于1.57×104和4.11×104之間，多數(shù)時刻邊界層處于層流狀態(tài)，這與實驗觀察到的現(xiàn)象一致。

3.1流速剖面驗證

圖2　P4、P8、P10處波面變化過程Fig.2 Temporal variations of the water surface elevation measured at P4，P8 and P10

圖2給出了P4、P8、P10處一個周期的波面變化。圖3給出了P4、P8、P10處的上邊界自由流速時間序列和各個相位的瞬時流速剖面計算結果。圖中實線為本文同時考慮時均水平壓強梯度和波致雷諾應力影響的二階邊界層模型計算結果，點劃線為參考Kranenburg等［13］不考慮時均水平壓強梯度影響的二階邊界層模型計算結果，虛線為Zhang等［14］不考慮波致雷諾應力影響的一階邊界層模型計算結果。如圖2所示，從P4到P10隨著水深的減小，波浪淺化使得波峰變得陡峭而波谷變得平坦，峰谷不對稱程度增強。圖3中的上邊界自由流速變化也呈現(xiàn)相同的趨勢，加速階段（相位A—C）歷時縮短，減速階段（相位C—G）歷時增加。計算結果表明，不考慮波致雷諾應力的一階邊界層模型雖能較好模擬流速剖面上端離岸方向傾斜的趨勢，但近底流速的計算誤差較大。這一趨勢從P4到P10逐漸明顯，這是因為波浪淺化引起波高增大和離岸回流變強。不考慮時均水平壓強梯度影響的二階邊界層模型沒有考慮離岸回流影響，雖然計算得到流速剖面在床面附近與實測數(shù)據(jù)較為接近，但不能復演流速剖面上端離岸方向傾斜的趨勢。本文模型改進了計算精度，主要體現(xiàn)在近底流速外突的位置和幅值以及流速剖面上部離岸傾斜趨勢的捕捉，特別在向岸加速階段（相位A—C）。

圖3　P4、P8、P10處瞬時流速剖面計算值（實線：本文模型，點劃線：不考慮時均水平壓強梯度影響，虛線：不考慮波致雷諾應力影響，實測值：實心點）Fig.3 Comparison ofinstantaneous velocity profiles at P4，P8 and P10 between experimental data（dots）and simulated results neglecting the mean horizontal pressure gradient（dash dot lines），neglecting wave Reynolds stress（dash lines），and considering both（solid lines）

圖4給出了實測與計算的波浪振蕩速度幅值對比。模型較好地復演了波浪淺化過程中逐漸增大的波峰和波谷速度不對稱性。從P4到P10波峰變得更加陡峭而波谷變得更加平坦，使得向岸方向振蕩速度幅值大于離岸方向。二階邊界層模型的計算結果比起一階模型略有改進，但總體上差別不大。

圖5給出了時均流速剖面的對比。從圖中可以看出，各點的實測時均流速都呈現(xiàn)出底部向岸上部離岸的變化特征。從P4到P10受到波浪淺化變形的影響，近底向岸流速和上部離岸流速都有緩慢增大的趨勢，垂向流速梯度逐漸增大。不考慮波致雷諾應力影響的一階邊界層模型低估了近底流速和高估了上部流速。不考慮時均水平壓強梯度影響的二階邊界層模型得到的流速剖面在整個區(qū)域內均為向岸方向，流速量值偏大且無法復演上部離岸的變化特征。同時考慮波致雷諾應力和時均水平壓強梯度對準確模擬邊界層流速分布特征有重要影響，特別是近底向岸最大時均流速的位置和量值和實驗數(shù)據(jù)吻合很好。

圖4　P4、P8、P10處波浪振蕩速度幅值計算值（實線：本文模型，點劃線：不考慮時均水平壓強梯度影響，虛線：不考慮波致雷諾應力影響，實測值：實心點）Fig.4 Comparison of wave velocity amplitude profiles at P4，P8，P10 between experimental data（dots）and simulated results neglecting the mean horizontal pressure gradient（dash dot lines），neglecting wave Reynolds stress（dash lines），and considering both（solid lines）

圖6給出了P4、P8、P10的時均水平壓強梯度迭代過程。從P4到P10時均水平壓強梯度分別收斂于9.8×10-4Pa/m，1.8×10-3Pa/m，2.0×10-3Pa/m，迭代次數(shù)約為7步。由圖可知波浪淺化變形引起波高增大和底部回流增強，相應的時均水平壓強梯度也逐漸增大。

模型驗證時在3個點處均采用同一個計算區(qū)域上邊界ztop= 0.005 m。針對波浪邊界層數(shù)值模擬而言，當模型上邊界高于邊界層厚度時（即上邊界位于自由流速區(qū)），對計算結果的影響很小。圖4所示，3個點處的波浪振蕩速度幅值在z＞0.004 m時變化很小，可認為邊界層厚度均在0.004 m附近。因此，本文統(tǒng)一選取ztop= 0.005 m對計算結果影響不大。圖7給出了不同上邊界高度設置下（ztop分別為0.005 m、0.006 m、0.008 m、0.01 m）計算得到的P10點時均流速剖面，計算結果沒有發(fā)生顯著變化。

3.2影響機制分析

為了進一步探究不同動力過程對邊界層時均流速剖面的影響機制，對式（1）進行周期平均和沿水深積分可得到：

式中，等式左邊反映了邊界層內任意高度的時均剪切應力，這一項控制著時均流速的垂向分布，等式右邊第一項表示由波致雷諾應力引起的由邊界層外向邊界層內的時均動量傳遞，等式右邊第二項表示時均水平壓強梯度的貢獻，其中δ表示上邊界高程。

圖5　P4、P8、P10處時均流速計算值（實線：本文模型，點劃線：不考慮時均水平壓強梯度影響，虛線：不考慮波致雷諾應力影響，實測值：實心點）Fig.5 Comparison of mean velocity profiles at P4，P8，P10 between experimental data（dots）and simulated results neglecting the mean horizontal pressure gradient（dash dot lines），neglecting wave Reynolds stress（dash lines），and considering both（solid lines）

圖6　時均水平壓強梯度的迭代過程Fig.6 Iterative process of the mean horizontal pressure gradient

圖7　不同模型上邊界高度設置下的P10點時均流速剖面計算結果對比Fig.7 Comparison of the calculated mean velocity profiles at P10 with different upper boundary elevations

圖8給出了3個斷面處各影響項的垂向分布情況。從圖8a中可以看出，時均剪切應力在底部為正值，在上部區(qū)域變?yōu)樨撝?，接近上邊界附近趨近于零。圖8b中的波致雷諾應力影響項的分布特征與圖8a比較接近，底部為正值，但隨著高度的增加則趨近于零。圖8c中時均水平壓強梯度影響項沿垂向均為負值，且隨著波浪淺化變形，因波高增加和離岸回流增強而逐漸增大。總體而言，靠近床面處，時均剪切應力主要受波致雷諾應力的影響，表現(xiàn)為正值，趨向于引起向岸流動；在邊界層上部區(qū)域，波致雷諾應力影響逐漸減小，時均水平壓強梯度占主導作用，時均剪切應力表現(xiàn)為負值，趨于引起離岸流動。

圖8　邊界層時均流速影響機制Fig.8 Effects of various terms on the mean velocity distribution

圖9　周期平均床面剪切應力計算結果的對比Fig.9 Comparison of calculated period-averaged bed shear stress

圖9給出了周期平均床面剪切應力的計算結果比較。從P4到P10，隨著水深變淺和波浪淺化變形，近底時均流速增大，周期平均床面剪切應力均為正值且逐漸增大。波致雷諾應力會增強近底時均向岸水流，趨向于增大床面剪切應力，而時均水平壓強梯度反映了底部回流的影響，趨向于減小床面剪切應力。

4　結論

本文建立了二階波浪邊界層數(shù)學模型，在模型中通過二階對流項和時均水平壓強梯度項考慮了波致雷諾應力和離岸回流的影響。采用淺化波浪層流邊界層的水槽實驗數(shù)據(jù)對模型進行驗證，瞬時流速剖面、振蕩速度幅值和時均流速剖面的計算結果均與實測數(shù)據(jù)吻合良好，同時考慮波致雷諾應力和時均水平壓強梯度對準確模擬邊界層流速分布特征有重要影響。流速分布特性及其影響機制分析表明，隨著波浪的淺化變形，邊界層內瞬時流速剖面離岸傾斜的趨勢更加明顯，波浪振蕩速度幅值的不對稱性逐漸增大，時均流速剖面“底部向岸、上部離岸”的變化特征越來越明顯，垂向流速梯度逐漸增大。時均流速分布主要受波致雷諾應力和時均水平壓強梯度的影響，在床面附近由波致雷諾應力占主導作用并趨于引起向岸流動，在上部區(qū)域由時均水平壓強梯度占主導作用并趨于引起離岸流動。本文研究結果為將來進一步深入研究波浪傳播變形條件下的紊流邊界層動力過程提供了基礎。

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李誠，張弛，隋倜倜.淺化波浪層流邊界層流速分布特性的數(shù)值分析［J］.海洋學報，2016，38（5）：141-149，doi：10.3969/j.issn.0253-4193.2016.05.013

Li Cheng，Zhang Chi，Sui Titi.Numericalinvestigation on velocity distribution in the shoaling laminar wave bottom boundary layer［J］.Haiyang Xuebao，2016，38（5）：141-149，doi：10.3969/j.issn.0253-4193.2016.05.013

Numericalinvestigation on velocity distribution in the shoaling laminar wave bottom boundary layer

Li Cheng1，2，Zhang Chi1，2，Sui Titi1，2
（1.Key Laboratory of Coastal Disaster and Defence，Ministryof Education，Hohai University，Nanjing 210098，China；2.Collegeof Harbour，Coastaland Offshore Engineering，Hohai University，Nanjing 210098，China）

Abstract：An improved second-order nu merical modelfor wave bottom boundary layeris developed，which includes both effects of wave Reynolds stress and mean horizontal pressure gradient.The simulated instantaneous velocity profiles，oscillatory velocity amplitudes and mean velocity profiles in the laminar boundary layer beneath shoaling waves are in good agreements with the experimental data.Effects of various dynamic processes on the mean velocity distribution are discussed.Results revealthatthe mean velocity is directed onshore and offshorein thelower and upper regions of the bottom boundary layer，respectively，and this pattern becomes increasing obvious as wave shoals over a sloping bed.The near-bed onshore mean velocity is dominated by wave Reynolds stress related to the second-order advective terms，while the offshore mean velocity in the upper region is mostly due to the mean horizontal pressure gradient related to the undertow current.

Key words：wave shoaling；bottom boundary layer；mean velocity；nu merical simulation

*通信作者：張弛（1985—），男，福建省莆田市人，副教授，從事海岸泥沙運動與地貌形態(tài)動力學研究。E-mail：zhangchi＠hhu.edu.cn

作者簡介：李誠（1989—），男，四川省樂山市人，從事海岸動力學研究。E-mail：lichenghsbc＠163.com

基金項目：國家自然科學基金項目（51209082）；交通運輸部應用基礎研究計劃項目（2014329224330）；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃（＃C XL X11_0450）。

收稿日期：2015-05-10；

修訂日期：2015-07-21。

中圖分類號：T V139.2

文獻標志碼：A

文章編號：0253-4193（2016）05-0141-09