王宏志, 陶玉杰, 王貴君

(1. 通化師范學院 數學學院, 吉林 通化 134002; 2.天津師范大學 數學科學學院, 天津 300387)

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基于三角形模糊數的非線性T-S模糊系統(tǒng)的峰值點和分量半徑優(yōu)化

王宏志1, 陶玉杰1, 王貴君2*

(1. 通化師范學院 數學學院, 吉林 通化 134002; 2.天津師范大學 數學科學學院, 天津 300387)

摘要：單值模糊器是將高維空間中一個實值點映射成該空間上的一個單值模糊集,在構造非線性T-S模糊系統(tǒng)時不僅可克服輸入變量的噪聲問題,而且能減少模糊推理機設計中的計算量. 首先，基于分片線性函數和單值模糊器給出了非線性T-S模糊系統(tǒng)模型；并依據廣義三角形的重心坐標公式，對等距剖分論域中的峰值點和分量半徑等參數進行了優(yōu)化；最后，通過模擬實例對系統(tǒng)進行了驗證，得到優(yōu)化后的非線性T-S模糊系統(tǒng)確實有更好的逼近效果.

關鍵詞：分片線性函數;單值模糊器;非線性T-S模糊系統(tǒng);峰值點;分量半徑

WANG Hongzhi1, TAO Yujie1, WANG Guijun2

(1.SchoolofMathematics,TonghuaNormalUniversity,Tonghua134002,JilinProvince,China; 2.SchoolofMathematicsSciences,TianjinNormalUniversity,Tianjin300387,China)

0引言

模糊系統(tǒng)是一種基于知識或規(guī)則的系統(tǒng),其核心是由若干條IF…THEN模糊規(guī)則所組成的知識庫,其主要特性是通過多輸入單輸出映射將實值向量轉化為實值標量,并獲得這些映射的精確數學公式. 此外,模糊系統(tǒng)的主要貢獻是為從知識庫向非線性映射轉換提供一套系統(tǒng)程序,使人們可將基于知識的系統(tǒng)通過傳感器測量數據獲取某些精確數學模型,進而將其應用于自動控制、信號處理、通信工程及空間技術等新型研究領域.1985年,TAKAGI-SUGENO(T-S)[1]基于非線性系統(tǒng)的輸入輸出數據首次提出T-S模糊系統(tǒng)模型.由于該系統(tǒng)的后件線性部分具有諸多隨機調節(jié)參數,故T-S模糊系統(tǒng)比一般Mamdani模糊系統(tǒng)具有更好的逼近性能,且具有一定的靈活性和廣泛性.1998年以來,文獻[2-4]等成功將T-S模糊系統(tǒng)應用于系統(tǒng)建模和系統(tǒng)控制器設計等,并在一定范圍內獲得了T-S模糊系統(tǒng)構成逼近器的充分必要條件.這些結果為進一步探究模糊系統(tǒng)的逼近性和穩(wěn)定性提供了幫助.

2000年,文獻[5]通過剖分論域空間首次提出分片線性函數概念,并以此為橋梁證明了T-S模糊系統(tǒng)對L-可積函數具有泛逼近性；隨之文獻[6]研究了Mamdani模糊系統(tǒng)對一類p-可積函數的逼近問題.2007年,文獻[7]通過選取前件模糊集為三角形模糊數引入了非線性T-S模糊系統(tǒng)模型,并討論了該系統(tǒng)對連續(xù)函數的逼近性.近年來,文獻[8]通過調節(jié)參數將Mamdani和T-S模糊系統(tǒng)混合建立了混合模糊系統(tǒng),并基于疊加分層方法降低了混合系統(tǒng)內部的模糊規(guī)則總數,證明了分層后該系統(tǒng)仍具有逼近性能;文獻[9]證明了在引入K-積分模下廣義Mamdani模糊系統(tǒng)的泛逼近性.上述文獻雖從理論上給出了模糊系統(tǒng)逼近性的嚴格證明,但并沒有給出所涉及的分片線性函數的解析表達式,這不利于進一步研究廣義模糊系統(tǒng)的逼近性或穩(wěn)定性.

文獻[10]首次在超平面下給出分片線性函數的解析表達式,并討論了其對L-可積函數的逼近性.文獻[11]基于分片線性函數重新構造了非齊次線性T-S模糊系統(tǒng),并證明了規(guī)則后件線性部分所有參數選取非零常數時該系統(tǒng)對分片線性函數仍具有逼近性.文獻[12]在Kp-積分模意義下研究了廣義Mamdani模糊系統(tǒng)的逼近性和實現(xiàn)過程.2015年,文獻[13]基于三角形模糊數和單值模糊器建立了非線性T-S模糊系統(tǒng)模型,并探究了該系統(tǒng)對一類p-可積函數的逼近性.本文在文獻[10-13]基礎上，通過優(yōu)化峰值點和分量半徑等參數來提高非線性T-S模糊系統(tǒng)的逼近性能,并通過模擬實例驗證優(yōu)化后的非線性T-S模糊系統(tǒng)的逼近效果.

1預備知識

自文獻[5]提出分片線性函數概念以來，其應用范圍日益凸顯.本節(jié)首先給出分片線性函數、單值模糊器和高維三角形模糊數的定義.

定義1[5]設n元連續(xù)函數S:Rn→R,若滿足如下條件:

①存在a>0,使S在廣義正方體Δ(a)之外恒為0;

②存在若干n維多面體Δj?Δ(a),j=1,2,

(1)

?x=(x1,x2,…,xn)∈Δj,j=1,2,…,Ns,

則稱S為Rn上的分片線性函數,其中λij,βj均為可調節(jié)參數.

事實上,分片線性函數S不僅是一元分段線性函數在多元情況下的推廣,而且是研究模糊系統(tǒng)逼近性理論的重要工具和手段.此外,它的一些優(yōu)良性質(例如:緊集上取非零值,單邊偏導數存在且有界,一致連續(xù)性等)也為進一步研究模糊系統(tǒng)的逼近性提供了便利.然而,文獻[5]沒能給出調節(jié)參數λij、βj和S的表達式,從而限制了分片線性函數S的廣泛應用.

定理1[10-13]設f是給定緊集U?Rn上的Lebesgue可積函數,則存在a>0或廣義正方體[-a,a]n?U,在[-a,a]n上分片線性函數S可使其按任意精度逼近f,其中，

S(x)=

(2)

其中線性部分系數行列式|Dj1|,|Dj2|,…,|Djn|,和|Dj|的含義參見文獻[10-11].

2非線性T-S模糊系統(tǒng)

首先,基于文獻[7,13]和上述三角形模糊數,給出模糊規(guī)則:

(3)

調控參數α∈(0,+∞).

文獻[13]曾取非線性T-S模糊系統(tǒng)的系數為

對第j個區(qū)域Δji而言，可將系統(tǒng)(3)簡化為

(4)

實際上,文獻[13]僅證明了非線性T-S模糊系統(tǒng)(4)對所給分片線性函數乃至可積函數具有逼近性,并沒有涉及逼近精度問題.

3參數優(yōu)化

本節(jié)將對系統(tǒng)(3)的峰值點x*和分量半徑σi重新進行選擇和優(yōu)化,使非線性T-S模糊系統(tǒng)Tm達到較好的逼近效果.

從圖1和2容易看出，頂點分量坐標滿足:

圖1　n=2時PLF的局部平面示意圖Fig.1　The local plane figure of PLF when n=2

圖2　n=2時平面上剖分三角形Δji示意圖Fig.2　Figure of subdivision triangle when n=2

故有

因而,無論調節(jié)參數θ1與θ2怎樣變化,恒有

類似地,峰值點和動點的第2個分量也滿足:

故無論哪種情況都有

這意味著可優(yōu)先選取分量參數σi為

此時,若選取該系統(tǒng)所有調節(jié)參數為

(5)

則n=2時,非線性T-S模糊系統(tǒng)(3)可簡化為

(6)

同理,對n維輸入變量,若選取調節(jié)參數為

(7)

則非線性T-S模糊系統(tǒng)(3)可簡化為

(8)

至此,獲得了一般情況下非線性T-S模糊系統(tǒng)的解析式(式(8)).實際上,式(7)也可理解為參數優(yōu)化的目標函數,這里不僅包括峰值點和分量半徑等優(yōu)化參數,而且還包含系統(tǒng)非線性部分的優(yōu)化參數.這些參數在系統(tǒng)的逼近過程中均扮演重要角色.

4模擬實例

在低維空間(n=2)中進行模擬仿真,按式(6)給出如下實例:

設n=2,a=1,α=1,剖分數m=10,交互數c0=2,Δ(1)=[-1,1]×[-1,1].取二元函數為

按優(yōu)化公式(5)或(7)選取優(yōu)化分量半徑

為直觀起見,只對第1象限中單位正方形[0,1]×[0,1]實施等距剖分.故可將該正方形等分成10×10=100個邊長為1/10的小正方形,再將每個小正方形沿對角線平分，可得200個小等腰直角三角形,按順序將其記為Δji(j=1,2,…10;i=1,2,…,20),如圖3所示.

圖3　[0,1]×[0,1]上等距網格剖分圖Fig.3　Subdivision figure of isometric grids in [0,1]×[0,1]

(9)

類似地,若在y軸閉區(qū)間[-1,1]上令

(10)

(11)

其中|Dj1|和|Dj2|如式(2)所示,其值隨動點(x1,x2)的位置而變化[10].

f(0.15,0.08)≈0.158 004 374 8,

S(0.15,0.08)≈0.157 083 285 1.

計算(頂點處f與S等值).

又因樣本點(0.15,0.08)落在圖3所示區(qū)域的Δ1,4內,故對應3個頂點坐標分別為

(0.1,0),(0.1,0.1),(0.2,0.1).

此時,按公式(5)可獲得峰值點坐標x*和分量半徑σi，分別為

再由文獻[10]及式(2)，獲得二元分片線性函數S的系數行列式，分別為

將樣本點(0.15,0.08)代入式(11)得

T10(0.15,0.08)=0.157 687 053 9.

進而得到誤差值為

|f(0.15,0.08)-S(0.15,0.08)|=

0.000 921 089 7,

|f(0.15,0.08)-T10(0.15,0.08)|=

0.000 317 320 9.

現(xiàn)在,在論域[0,1]×[0,1]內隨機選取4個樣本點

(0.04,0.06)∈Δ1,2,(0.05,0.12)∈Δ2,1,

(0.15,0.08)∈Δ1,4,(0.12,0.18)∈Δ2,4.

按公式(5)依次計算得對應峰值點,分別為

下面,隨機選取上述4個樣本點進行誤差度量，通過多次平均值對比來分析系統(tǒng)的逼近效果.此外,本文優(yōu)化選取的峰值點和分量半徑更具一般性和系統(tǒng)性,其逼近精度隨參數的優(yōu)化而提高.表1為文獻[13]和本文方法的輸出值和誤差值.

表1m=10時樣本的輸出值及誤差

Table 1　Output values of the sample point and its serrors when m=10

5結論

為提高非線性T-S模糊系統(tǒng)的逼近性能,在等距剖分論域中對峰值點和分量半徑重新進行優(yōu)化選擇,得到基于分片線性函數的非線性T-S模糊系統(tǒng)模型.結果表明,優(yōu)化后的非線性T-S模糊系統(tǒng)具有更好的逼近精度.為進一步研究廣義模糊系統(tǒng)的逼近性提供了新的方法和思路.當然,影響模糊系統(tǒng)逼近能力的調節(jié)參數或直接因素可能還有許多,有些影響甚至是潛在或間接的,有待進一步探究.

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Optimizations of peak points and branch radius of nonlinear T-S fuzzy system based on triangular fuzzy numbers. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(3):264-270

Abstract:Single value fuzzifier is a mapping from a real value point to higher dimensional triangle fuzzy number in n-European space. It not only can overcome the noise of the input variables in constructing nonlinear T-S fuzzy system, but also can simplify the complicated calculation in the design of fuzzy inference engine. Firstly, a nonlinear T-S fuzzy system model is established based on the piecewise linear function and the single value fuzzifier. Secondly, the peak points and the branch radius in the equidistant subdivision universe are optimized by adopting the formula of barycenter of the generalized triangle. Finally, we verify that the optimized nonlinear T-S fuzzy system has good approximation effect by selecting the sample points.

Key Words:piecewise linear function; single value fuzzifier; nonlinear T-S fuzzy system; peak point; branch radius

中圖分類號：O 174.4； O 159

文獻標志碼：A

文章編號：1008-9497(2016)03-264-07

作者簡介：王宏志(1975-),ORCID：http://orcid.org/0000-0002-5417-6859,男,碩士,副教授,主要從事模糊系統(tǒng)分析研究，E-mail:whz-98@126.com.*通信作者，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-2337-5951,E-mail:tjwgj@126.com.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(61374009)；吉林省教育廳“十二五”科技項目(吉教科合字[2011]第456號).

收稿日期：2015-09-09.

DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2016.03.003