厲曉華， 趙建華

(1. 浙江大學(xué) 信息中心, 浙江 杭州 310027； 2. 麗水市住建局 地理信息中心， 浙江 麗水 323000)

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計(jì)算含無關(guān)項(xiàng)布爾c-導(dǎo)數(shù)的K圖方法

厲曉華1， 趙建華2

(1. 浙江大學(xué) 信息中心, 浙江 杭州 310027； 2. 麗水市住建局 地理信息中心， 浙江 麗水 323000)

摘要：為簡化與-或-非代數(shù)系統(tǒng)中含無關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)布爾c-導(dǎo)數(shù)的計(jì)算過程，從邏輯函數(shù)布爾c-導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)，提出了計(jì)算含無關(guān)項(xiàng)一階布爾c-導(dǎo)數(shù)和二階布爾c-導(dǎo)數(shù)的K圖方法．該方法通過折疊映射K圖中的填入格值，并對相應(yīng)格值進(jìn)行“或”運(yùn)算以計(jì)算含無關(guān)項(xiàng)布爾c-導(dǎo)數(shù)．應(yīng)用實(shí)例表明，該方法直觀有效，且能直接得到布爾c-導(dǎo)數(shù)的最簡與/或式．

關(guān)鍵詞：K圖；無關(guān)項(xiàng)；布爾c-導(dǎo)數(shù)；邏輯函數(shù)

LI Xiaohua， ZHAO Jianhua

(1.CampusInformationCenter,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027，China; 2.GeomaticsCenter,HousingConstructionBureau,Lishui323000,ZhejiangProvince,China)

布爾代數(shù)系統(tǒng)中存在布爾減、布爾差分、布爾e-導(dǎo)數(shù)等特殊運(yùn)算[1-2]，其中布爾c-導(dǎo)數(shù)在密碼學(xué)函數(shù)構(gòu)造[3-4]、組合電路故障檢測[5]等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛．計(jì)算布爾c-導(dǎo)數(shù)是各類應(yīng)用的基礎(chǔ)．文獻(xiàn)[6]討論了計(jì)算布爾c-導(dǎo)數(shù)的K圖和降維K圖方法，尚缺少對含任意項(xiàng)布爾c-導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法的研究．本文從邏輯函數(shù)布爾c-導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)，提出了計(jì)算含無關(guān)項(xiàng)的一階布爾c-導(dǎo)數(shù)和二階布爾c-導(dǎo)數(shù)的K圖方法．應(yīng)用實(shí)例表明，該方法直觀有效，且能直接得到布爾c-導(dǎo)數(shù)的最簡與/或式．

1相關(guān)定義

當(dāng)k=2時(shí)，

定義3邏輯函數(shù)的輸入變量在某些取值下，輸出函數(shù)值可以是任意的，或者這些輸入變量的取值根本不會出現(xiàn)，其對應(yīng)的最小項(xiàng)稱為無關(guān)項(xiàng)．任一包含無關(guān)項(xiàng)的布爾函數(shù)表示為：

其中，∑為“或”運(yùn)算，mi表示最小項(xiàng)，ai為最小項(xiàng)系數(shù)，ai∈{0,1}表示mi是否在展開中出現(xiàn)，di為無關(guān)項(xiàng)系數(shù)，di∈{0,1}表示mi是否為無關(guān)項(xiàng)．

2計(jì)算含無關(guān)項(xiàng)一階布爾c-導(dǎo)數(shù)的K圖方法

2.1原理

由K圖特點(diǎn)得到計(jì)算含無關(guān)項(xiàng)一階布爾c-導(dǎo)數(shù)的步驟如下：

(1)畫出邏輯函數(shù)f(x1,…,xi,…,xn)的K圖；

2.2實(shí)例

圖1　一階布爾c-導(dǎo)數(shù)的K圖計(jì)算過程Fig.1　The calculating process of the first-order c-derivative based on K-map

cf1/cx1=∑m(0,2,3,5,7,8,10,11,13,15)+

∑d(14)+∑d6(14).

化簡后得

3計(jì)算含無關(guān)項(xiàng)二階布爾c-導(dǎo)數(shù)的K圖方法

3.1原理

與計(jì)算含無關(guān)項(xiàng)一階布爾c-導(dǎo)數(shù)的K圖方法類似，計(jì)算含無關(guān)項(xiàng)二階布爾c-導(dǎo)數(shù)的步驟如下：

(1)畫出邏輯函數(shù)f(x1,…,xi,…,xj,…,xn)的K圖；

若變量xi、xj同為K圖的行變量或列變量，則進(jìn)行折疊映射；若一個(gè)變量為列變量，另一個(gè)為行變量，則以xi、xj軸的交點(diǎn)為中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)映射[7]．

3.2實(shí)例

圖2　邏輯函數(shù)f2(x1～x4)的K圖Fig.2　The K-map of Boolean function f2(x1～x4)

圖3　二階布爾c-導(dǎo)數(shù)的K圖計(jì)算過程Fig.3　The calculating processes of the second-order c-derivative based on K-map

∑d(14)+∑d2(14).

化簡后得

c2f2/c(x1,x2)=x3+x4.

c2f2/c(x2,x3)=∑m(0,1,3,7,9,10,11,13)+

∑d(14,15)+∑d4(14)+∑d5(15).

化簡后得

4結(jié)論

含無關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)是布爾代數(shù)系統(tǒng)中普遍存在的一類函數(shù)，文獻(xiàn)[8]討論了含無關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)布爾差分的圖形化算法，文獻(xiàn)[9]提出了含無關(guān)項(xiàng)布爾e-導(dǎo)數(shù)的新算法．本文在分析邏輯函數(shù)布爾c-導(dǎo)數(shù)定義的基礎(chǔ)上，提出了計(jì)算含無關(guān)項(xiàng)一階布爾c-導(dǎo)數(shù)和二階布爾c-導(dǎo)數(shù)的K圖方法，并舉例說明了計(jì)算過程．雖然文中只討論了計(jì)算含無關(guān)項(xiàng)一階和二階布爾c-導(dǎo)數(shù)的K圖方法，但該方法亦適用于高階布爾c-導(dǎo)數(shù)的計(jì)算．

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The K-map method for calculating c-derivative of Boolean function with don’t-care-terms. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(3):307-309

Abstract:To simplify the process for calculating c-derivative of Boolean function with don’t-care-terms in the Boolean logic algebra system based on AND-OR-NOT operation, the K-map method for calculating the first and second-order c-derivative of Boolean function with don’t-care-terms is proposed according to the definition of c-derivative. The c-derivative is calculated by folding the square corresponds of the K-map, and then conducts OR operation. The application results show that the presented method is simple and convenient for operation. The simplest AND/OR expansion of c-derivative of Boolean function with don’t-care-terms can also be obtained from K-map.

Key Words:K-map； don’t-care-terms； c-derivative； logic function

中圖分類號：TP331

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1008-9497(2016)03-307-03

作者簡介：厲曉華(1975-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0003-2482-9000,男，高級工程師，碩士，主要從事數(shù)字電路與網(wǎng)絡(luò)信息安全研究，E-mail:xiaohua@zju.edu.cn.

基金項(xiàng)目：國家科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目(2013BAH27F01，2013BAH27F02).

收稿日期：2015-06-18.

DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2016.03.010