沈銀芳, 鄭學(xué)東, 徐信喆

(1.浙江財經(jīng)大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 浙江 杭州 310018; 2.上海交通大學(xué) 安泰經(jīng)濟與管理學(xué)院, 上海 200052)

?

基于混合Copula的ETF配對交易策略

沈銀芳1, 鄭學(xué)東1, 徐信喆2

(1.浙江財經(jīng)大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 浙江 杭州 310018; 2.上海交通大學(xué) 安泰經(jīng)濟與管理學(xué)院, 上海 200052)

摘要：配對交易是一種非常普遍的投資策略,被廣泛應(yīng)用于金融市場.距離法和協(xié)整法在配對交易策略中使用最普遍,然而,這2種方法只能描述股票之間的線性相關(guān)結(jié)構(gòu).本文基于3類基本的阿基米德Copula函數(shù)構(gòu)成的混合Copula,定量刻畫了資產(chǎn)之間的條件相關(guān)性,給出了新的配對交易策略,并將其運用于高頻ETF市場.實證分析表明，新的策略可以捕獲更多相依信息,得到更多的交易機會.

關(guān)鍵詞：配對交易策略;混合copula;條件相關(guān)性;高頻;ETF

SHEN Yinfang1, ZHENG Xuedong1, XU Xinzhe2

(1.SchoolofDateSciences,ZhejiangUniversityofFinanceandEconomics,Hangzhou310018,China; 2.AntaiCollegeofEconomics&Management,ShanghaiJiaoTongUniversity,Shanghai200052,China)

配對交易(pairs trading)的理念最早起源于20世紀(jì)20年代華爾街傳奇交易員JESSE LIVERMORE的姐妹股票對(sister stocks)交易策略.20世紀(jì)80年代摩根士坦利公司成立了一支由TARTAGLIA領(lǐng)導(dǎo)的量化團隊,專門開展配對交易的研究,并于1987年投入實戰(zhàn),當(dāng)年盈利5 000萬美元.經(jīng)過多年研究和市場實戰(zhàn),配對交易的理論框架和配套交易系統(tǒng)都日臻完善.傳統(tǒng)的配對交易方法見文獻[1-3],具體如表1所示.最小距離法因無模型假設(shè)、操作簡單、具有一定的盈利能力而得到廣泛使用,然而正態(tài)性假設(shè)使得該方法的應(yīng)用受限.同時上述傳統(tǒng)交易策略均基于股票的線性相關(guān)性和對稱性來研究價差序列.

Copula函數(shù)因其靈活性和優(yōu)良性已成為相關(guān)性結(jié)構(gòu)建模的標(biāo)準(zhǔn)工具,被廣泛應(yīng)用于金融領(lǐng)域.Copula函數(shù)全面描述了隨機變量之間的對稱、非對稱、非線性和尾部相關(guān)性,因此Copula函數(shù)能全面刻畫相關(guān)模式，而普通相關(guān)性度量很難完整描述那些由各類相關(guān)性組合而成的特殊相關(guān)模式.文獻[4]最早將Copula函數(shù)應(yīng)用于交易策略.文獻[5-6]對股票日收益率數(shù)據(jù),采用相關(guān)系數(shù)配對,并利用t-Copula,正態(tài)Copula和常見的阿基米德Copula函數(shù)擬合聯(lián)合分布,根據(jù)Copula函數(shù)刻畫的尾部相關(guān)系數(shù)得到配對交易策略.在國內(nèi),文獻[7]利用Clayton Copula函數(shù)刻畫期貨合約日內(nèi)價格序列之間的下尾部相關(guān)性,建立了基于Copula函數(shù)的程序化交易策略,并比較其在不同頻率的分鐘價格序列中的策略表現(xiàn)，年化收益率最高為23.61%.文獻[8-9]通過實證得到協(xié)整關(guān)系,利用協(xié)整噪音獲利.基于變系數(shù)的協(xié)整模型,文獻[10]提出了利用殘差的平穩(wěn)過程進行套利的高頻配對交易方法,并將此方法應(yīng)用到ETF市場中.

表1傳統(tǒng)的配對交易方法

Table 1　Traditional pairs trading methods

在高頻環(huán)境下,金融資產(chǎn)之間非線性、非對稱相關(guān)性和非正態(tài)性較低頻更顯著,由此,利用Copula方法構(gòu)建高頻環(huán)境下的配對交易策略應(yīng)該更具優(yōu)勢.文獻[8]在高頻環(huán)境中引入了Clayton Copula函數(shù),使用期望的成功概率作為門限,構(gòu)造和釋放資產(chǎn)價格波動的信號,最終建立了基于Copula函數(shù)的程序化交易策略,并在我國期貨市場中進行實證分析.由于Copula函數(shù)能捕獲金融資產(chǎn)之間的各種相關(guān)結(jié)構(gòu),抓住更多的交易機會,年化收益率應(yīng)該比較高.然而從上述利用Copula方法的配對交易策略來看并非如此,主要原因在于所采用的Copula模型比較單一,導(dǎo)致相關(guān)結(jié)構(gòu)的刻畫不夠全面,建倉和平倉條件還比較粗糙.鑒于此,本文運用混合Copula函數(shù),定量刻畫金融資產(chǎn)之間的條件相關(guān)性,討論配對交易策略,并在高頻ETF市場進行實證分析,從年化收益率、夏普率和最大回撤等指標(biāo)來看,策略還是比較成功的.本文考慮ETF市場,是因為ETF在二級市場上買賣,僅需支付交易傭金,無交易印花稅,而且目前許多券商,對利用ETF進行套利交易的客戶,大多采用交易傭金下浮的優(yōu)惠政策.本文假設(shè)投資者在交易之前已經(jīng)持有了所需ETF種類的一定頭寸,在高頻套利交易期間發(fā)生的賣空為從已有的頭寸中賣出,本文的收益是以幾種ETF為基礎(chǔ)的超額收益.

文章安排如下:首先,簡要介紹混合Copula模型和基于混合Copula模型的新的配對交易策略;其次,選取流動性比較強的50ETF、180ETF和300ETF市場進行實證分析;最后是總結(jié)部分.

1模型

1.1混合Copula模型

Copula函數(shù)是一種將聯(lián)合分布與其各自的邊緣分布連接在一起的函數(shù).阿基米德Copula函數(shù)可以刻畫與實際情況更為接近的非對稱、非線性和尾部相關(guān)性,而且不限制單個變量的邊緣分布形式,因此，阿基米德Copula函數(shù)的建模方式比較靈活.最常見的阿基米德Copula函數(shù)為Clayton、Gumbel和Frank Copula函數(shù).它們的具體形式分別為:

CClayton(u,v;θ)=(u-θ+v-θ-1)-1/θ,θ>0,

CGumbel(u,v;α)=exp(-[(-lnu)α+

(-lnv)α]1/α),α≥1,

CFrank(u,v;β)=-ln(1+(e-βu-1)(e-βv-1)/

(e-β-1)),β≠0,

其中，0≤u,v≤1.Clayton、GumbelCopula函數(shù)分別對變量在其下尾部和上尾部的分布變化十分敏感,適用于描述金融市場之間的下尾相關(guān)和上尾相關(guān)特性,FrankCopula函數(shù)可以用于描述具有對稱相關(guān)結(jié)構(gòu)的變量之間的相關(guān)關(guān)系.于是由Clayton、Gumbel和FrankCopula函數(shù)的線性組合構(gòu)成的混合Copula：CCGF(u,v;Φ)=λ1CClayton(u,v;θ)+λ2CGumbel(u,v;α)+

λ3CFrank(u,v;β),

(1)

可以反映金融市場相關(guān)性變化的各種情形,是研究多個資產(chǎn)價格在上升和下跌時出現(xiàn)關(guān)聯(lián)性變化的理想工具,其中0≤λ1,λ2,λ3≤1,λ1+λ2+λ3=1,Φ=(λ1,θ;λ2,α;λ3,β).

本文基于上述混合Copula模型構(gòu)建配對交易策略,首先由混合Copula函數(shù)捕捉資產(chǎn)價格上升和下跌的相關(guān)性條件,然后根據(jù)上升和下跌的相關(guān)性強弱進行開倉和平倉交易,最后將交易的收益率換算成年化收益率,計算夏普率、最大回撤和勝率.

1.2配對交易策略模型

基于Clayton、Gumbel和FrankCopula構(gòu)成的混合Copula函數(shù)的配對交易策略，構(gòu)建步驟如下:

(i)在選定的樣本期T內(nèi),假設(shè)2資產(chǎn)X,Y的價格序列分別為PX(t),PY(t),其邊際分布用各自的經(jīng)驗分布近似,得到均勻分布序列：U(t)=FX(PX(t)),V(t)=FY(PY(t)),t∈T.

(2)

則Clayton、Gumbel和FrankCopula構(gòu)成的混合Copula函數(shù)：

CCGF(U(t),V(t);Φ)=λ1CClayton(U(t),V(t);θ)+λ2CGumbel(U(t)),V(t);α)+λ3CFrank(U(t),V(t);β).

(3)

利用極大似然估計法,估計上述混合Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù):

若設(shè)u=FX(x),v=FY(y),則

P{PX(t)

P{U(t)

(4)

又由Copula函數(shù)的性質(zhì)得

P{U(t)

?CCGF(U(t),v)/?U(t)|U(t)=u,

(5)

P{V(t)

?CCGF(u,V(t))/?V(t)|V(t)=v.

(6)

(ii)開倉點:若

P{U(to1)

P{V(to1)

(7)

說明to1時刻資產(chǎn)X的價格相對高估,而資產(chǎn)Y的價格相對低估,即資產(chǎn)X的價格很可能降低,而資產(chǎn)Y的價格很可能上升,則在to1時刻開倉賣出X買進Y.

同理當(dāng)

P{V(to2)

P{U(to2)

(8)

說明to2時刻資產(chǎn)Y的價格相對高估,而資產(chǎn)X的價格相對低估,即資產(chǎn)Y的價格很可能降低,而資產(chǎn)X的價格很可能上升,則在to2時刻開倉賣出Y買進X.

(iii)平倉點:在to1時刻開倉后,若

P{U(tc1)

P{V(tc1)

(9)

即在tc1時刻2資產(chǎn)的價格既不低估也不高估,于是在tc1時刻賣出Y,買進X平倉.同理,在to2開倉后,若

P{V(tc2)

P{U(tc2)

(10)

即在tc2時刻2資產(chǎn)的價格既不低估也不高估,于是在tc2時刻賣出X,買進Y平倉.

(iv)止損點:本文中使用日內(nèi)價格1min數(shù)據(jù),取止損點為S=240,即若開倉后一日內(nèi)沒有發(fā)現(xiàn)平倉點,則強行平倉.

2實證分析

以中國金融市場中的ETF為實證對象.根據(jù)流動性,分別選取50ETF、180ETF和300ETF.數(shù)據(jù)頻率為1min,使用數(shù)據(jù)的日期為2014年1月2日到2014年6月30日,每支ETF含28 560個數(shù)據(jù).在計算中,買賣交易均扣除手續(xù)費,手續(xù)費率為0.03%,同時設(shè)初始資金ASSET(0)=1(萬元),每次開倉交易時由擁有的資金決定交易量,具體為t時刻開倉,資金量ASSET(t)=VX(t)×PX(t)=VY(t)×PY(t),

(11)

其中VX(t),VY(t),PX(t),PY(t)分別表示t時刻資產(chǎn)X,Y的交易量和價格.

2.150ETF和180ETF配對的套利分析

從圖1中可以觀察到,50ETF和180ETF價格序列呈現(xiàn)很強的協(xié)整關(guān)系.圖2和3反映2點:一方面,50ETF和180ETF價差序列開始劇烈波動,大約18 000樣本點之后變化趨緩;另一方面,大約在15 000樣本點之前,180ETF比50ETF更顯著超過其平均價格,15 000樣本點之后,50ETF比180ETF更顯著超過其平均價格.然而上述方法只提供簡單的線性關(guān)系,本文將利用混合Copula模型全面刻畫2價格序列之間的條件相關(guān)性,進一步進行配對交易策略分析.首先分別將取樣時間段內(nèi)每月上半月(15日以前,含15日)或每月下半月(15日以后,不含15日)的價格數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本,估計上述混合Copula函數(shù)的參數(shù),然后去擬合當(dāng)月下半月或次月上半月的價格數(shù)據(jù),構(gòu)建策略模型.

圖1　50ETF和180ETF價格序列圖Fig.1　Prices of 50 ETF and 180 ETF

圖2　50ETF、180ETF超過各自平均價格部分的價格序列圖Fig.2　Prices of 50 ETF and 180 ETF more than means

圖3　50ETF、180ETF價差序列圖Fig.3　Price spread between 50 ETF and 180 ETF

表250ETF和180ETF的混合Copula函數(shù)參數(shù)估計結(jié)果

Table 2　Parameters estimation of mixture Copula between 50ETF and 180ETF

在按上述方案擬合50ETF和180ETF價格數(shù)據(jù)時,樣本期內(nèi)出現(xiàn)了混合Copula函數(shù)的11組參數(shù),具體見表2.由表2知,50ETF和180ETF的相關(guān)性在不斷變化,2014年1月上半月擬合的Copula模型中Clayton Copula函數(shù)的權(quán)重系數(shù)λ1幾乎為0,而Gumbel、Frank Copula函數(shù)的權(quán)重系數(shù)λ2和λ3顯著不為0,說明2014年1月上半月50ETF和180ETF市場的上尾部和對稱相關(guān)性比較顯著,下尾部相關(guān)性不顯著,幾乎不存在下尾部相關(guān)性,而下半月下尾部和上尾部相關(guān)性顯著,對稱相關(guān)性不顯著;2月上半月3種相關(guān)性都顯著存在,下尾部相關(guān)性更突出,2月下半月3種相關(guān)性都存在,但是上、下尾部相關(guān)性不是特別顯著,對稱相關(guān)性非常顯著.各Copula參數(shù)的估計值則表明，50ETF和180ETF價格序列之間存在較強的條件正相關(guān).若在整個取樣時間段內(nèi)利用相同參數(shù)和同種類型的Copula函數(shù),擬合效果必定會受損,上述“滾動”的混合Copula模型可以較準(zhǔn)確地捕捉到50ETF和180ETF市場之間的各種相關(guān)模式,從而全面刻畫金融市場之間的相關(guān)結(jié)構(gòu).

圖4　50ETF和180ETF的Copula擬合圖Fig.4　Copula fitting of 50ETF and 180ETF

圖6　50ETF和180ETF原始價格序列散點圖Fig.6　Scatter diagram of 50ETF and 180ETF’s original prices

圖4～6分別為50ETF和180ETF在2014年1月16～30日(即2 401～5 040樣本點)的混合Copula模型擬合圖、價格序列經(jīng)驗分布變換后散點圖和原始價格序列散點圖,可以觀察到混合Copula模型、經(jīng)驗分布變換以及原始價格序列所揭示的分布規(guī)律基本一致.

在構(gòu)建交易策略時,50ETF和180ETF 1月下半月的條件概率變化如圖7所示.180ETF價格序列條件概率值開始非常高,接近1,而50ETF價格序列條件概率值則非常低,接近0,故認為180ETF價格高估的可能性大,即價格很可能趨低,對應(yīng)地,50ETF價格低估的可能性很大,即價格很可能趨高,因此首先考慮開倉賣出180ETF,買進50ETF,隨后當(dāng)180ETF序列條件概率值不超過0.5,而50ETF序列條件概率值不低于0.5時,進行反向操作即平倉處理,完成1次配對交易.再來看50ETF和180ETF條件概率之差序列圖圖8以及價差序列圖圖9,2圖趨勢基本一致,條件概率之差波動更顯著,尤其在280～1 000樣本點,條件概率之差起伏明顯,而價格之差變化不顯著,這是因為價格差只考慮了價格序列之間的線性關(guān)系,而由混合Copula模型得到的條件概率之差還能充分利用2價格序列之間的非線性、非對稱性和尾部相關(guān)性,從而能更細致準(zhǔn)確地刻畫價格序列的變化,發(fā)現(xiàn)更多的交易機會.

圖7　50ETF和180ETF的條件概率變化圖Fig.7　Conditional probabilities of 50ETF and 180ETF’s

圖8　50ETF和180ETF的條件概率之差序列圖Fig.8　Spread of conditional probabilities between 50ETF and 180ETF

圖9　50ETF和180ETF的價差序列圖Fig.9　Price spread between 50ETF and 180ETF

盈利的穩(wěn)定性對一個交易策略至關(guān)重要.夏普率通常作為衡量策略穩(wěn)定性的指標(biāo)，由于其在6以上的策略均非常穩(wěn)健,由表3知,本文提出的新的交易策略亦非常穩(wěn)健.另外,還驗證了每次交易的收益率序列為平穩(wěn)序列,ADF檢驗的p值為0.014 52,也說明策略的穩(wěn)定性.同時套利組合獲得的累計收益率如圖11所示,平穩(wěn)向上的累計收益率曲線同樣說明了策略的可行性與穩(wěn)定性.

圖10　50ETF和180ETF收益率序列圖Fig.10　Rate of return of 50ETF and 180ETF

圖11　50ETF和180ETF累計收益率序列圖Fig.11　Cumulative rate of return of 50ETF and 180ETF

2.2180ETF和300ETF配對,50ETF和300ETF配對的套利分析

對180ETF和300ETF配對、50ETF和300ETF配對構(gòu)建交易策略,用同樣的方法進行模型擬合和參數(shù)估計,2種套利均有良好的表現(xiàn),表3列出了本文所涉及的3種配對組合的套利表現(xiàn).

表33種配對組合的套利表現(xiàn)

Table 3　Arbitrage performance of three pairs

由表3知,新策略發(fā)現(xiàn)的交易次數(shù)與文獻[10]相當(dāng),但后者使用的是間隔30 s的數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)量大約是本文的2倍,這充分說明本文所提出的策略捕獲了更多的交易機會.同時,本文還驗證了180ETF和300ETF配對、50ETF和300ETF配對的交易收益率序列均為平穩(wěn)序列,ADF檢驗的p值均小于0.01,進一步說明了本文策略的穩(wěn)定性.

3結(jié)論

提出了基于混合Copula函數(shù)的新的配對交易策略模型,并將其應(yīng)用于中國金融市場3支ETF-50ETF、180ETF和300ETF兩兩配對組成的3個投資組合上,得到了令人滿意的套利結(jié)果,可供交易者和相關(guān)機構(gòu)參考.本文在以下幾方面尚需改進:(1)取條件概率臨界值為0.9和0.1,止損點為240,帶有一定的主觀性,需進一步探求其與金融市場及其數(shù)據(jù)頻率的關(guān)系;(2)由于金融市場的相依性是動態(tài)變化的,可能出現(xiàn)高低交替波動的情況,需要引入時變相關(guān)Copula模型和馬爾可夫結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換Copula模型，討論資產(chǎn)之間的動態(tài)時變條件相關(guān)結(jié)構(gòu),進而得到動態(tài)時變配對交易策略模型.有待進一步研究.

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Pairs trading strategy of ETF based on mixture Copula. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(3):271-278

Abstract:Pairs trading is a well-acknowledged speculative investment strategy that is widely used in the financial markets. Distance and co-integrated methods are the most commonly implemented pairs of trading strategies. However, these two approaches are only able to describe the linear dependency structure between stocks. A new pairs of trading strategies based on mixture Copula method is produced. Three elementary Archimedean Copula families are used to construct mixture Copulas, which describe the conditional dependence between assets. In the high frequency exchange traded fund (ETF) market, it is deemed to catch more dependence informations and generate more trading opportunities.

Key Words:pairs trading strategy; mixture copula; conditional dependence; high frequency; ETF

中圖分類號：O 213；O 211.9

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1008-9497(2016)03-271-08

作者簡介：沈銀芳(1978-),ORCID:http:r/orcid-org/0000-0003-2080-6530,女,博士研究生,副教授,主要從事金融時間序列分析研究,E-mail:fsilver@163.com.

基金項目：浙江省自然科學(xué)青年基金資助項目(LQ14G010007);全國統(tǒng)計科學(xué)研究項目(2015LY45)；2015浙江省統(tǒng)計研究重點課題“時變混合Copula模型的構(gòu)建選擇及其應(yīng)用”；教育部人文社科基金資助項目(12YJC910011).

收稿日期：2015-02-02.

DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2016.03.004