胡祝齊

高次不等式是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到的重要不等式。在國(guó)內(nèi)中學(xué)里，教師主要介紹了一種簡(jiǎn)單的方法——數(shù)軸標(biāo)根法。這種方法簡(jiǎn)單且實(shí)用。筆者現(xiàn)在中美實(shí)驗(yàn)班教微積分預(yù)備，涉及多項(xiàng)式函數(shù)的教學(xué)和圖形計(jì)算器的使用。筆者將從多項(xiàng)式函數(shù)的角度來重新闡釋數(shù)軸標(biāo)根法，將原理剖析清楚。

一、方法回顧

對(duì)高次多項(xiàng)式不等式：a0xn+a1xn-1+a2xn-2+……+an>0。

第一步，先將x最高次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，再通過因式分解將其分解成一次因式和不可再分解的二次因式的乘積，相同的一次因式寫成冪指數(shù)的因式。

第二步，將其對(duì)應(yīng)方程的根在數(shù)軸上標(biāo)出來。

第三步，從右向左從上到下依次穿線，穿線時(shí)，遇到奇重根時(shí)，在其對(duì)應(yīng)的根處穿過，遇到偶重根時(shí)，在其對(duì)應(yīng)的根處，不穿過。

第四步，線在x軸上方部分對(duì)應(yīng)函數(shù)在這些區(qū)間值為正數(shù)，故是大于零不等式對(duì)應(yīng)的解，線下部分同理，從而找出原不等式的解集。

二、逐步釋疑

1.為何先將最高次項(xiàng)化為正數(shù)？一定要從右向左從上到下依次穿線嗎？

答：這兩個(gè)問題實(shí)際上是有內(nèi)在聯(lián)系的。我們以y=x4-3x3-2x+1為例。當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)值應(yīng)該趨近于正無窮。從函數(shù)圖像的角度，應(yīng)該是越來越向上的。所以當(dāng)我們從右邊向左邊穿時(shí)，應(yīng)該從上到下穿。

反之，例如y=-3x3-2x+3，當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)值趨向于負(fù)無窮。從函數(shù)圖像的角度，圖像走勢(shì)是向下走的。所以當(dāng)我們從右向左邊穿時(shí)，應(yīng)該從下到上穿。

在國(guó)內(nèi)教學(xué)中，教師為了方便識(shí)記，將兩種情況合成一種，方便記憶。

2.穿線時(shí)，為什么奇穿偶折？

答：我們可以用冪函數(shù)來看這個(gè)問題。我們知道冪函數(shù)是奇次時(shí)，函數(shù)穿過原點(diǎn)；當(dāng)冪函數(shù)是偶數(shù)時(shí)，函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱。對(duì)于任意一個(gè)高次函數(shù)，例如y=（x-3）（x+2）2（x-4）在x=-2這個(gè)點(diǎn)附近，我們?nèi)∵@個(gè)點(diǎn)附近很小的一個(gè)鄰域，在這個(gè)范圍內(nèi)，函數(shù)可以近似看成y=（x+2）2，此時(shí)函數(shù)是關(guān)于x=-2對(duì)稱，且不會(huì)穿過坐標(biāo)軸，所以偶次折回來。同理，奇次也可得到相應(yīng)的結(jié)論。

3.為什么線在x軸上方部分對(duì)應(yīng)不等式在這些區(qū)間值為正數(shù)？

答：數(shù)軸標(biāo)根法的線，實(shí)際上是多項(xiàng)式函數(shù)的一種簡(jiǎn)單的圖像，這根線僅表達(dá)出了高次不等式對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式函數(shù)的零點(diǎn)和在零點(diǎn)附近的取值情況，忽略了函數(shù)的極大值、極小值等其他性質(zhì)。根據(jù)函數(shù)圖像，在x軸上方部分即為函數(shù)值大于零的相應(yīng)圖像。

綜上所述，從多項(xiàng)式函數(shù)的角度闡釋數(shù)軸標(biāo)根法，更加清晰易懂。這樣我們不僅教授學(xué)生方法與口訣，更告訴了方法背后的原理，從而將陌生的原理變?yōu)槭煜さ脑?。即使學(xué)生忘記了數(shù)軸標(biāo)根法的步驟，他們也能從多項(xiàng)式函數(shù)很快推倒出來。

編輯 孫玲娟