高凡亞

概率與實(shí)際生活聯(lián)系緊密，高考對(duì)概率的考查，往往以實(shí)際問題為背景. 古典概型與幾何概型的基本事件的發(fā)生都是等可能的，但古典概型的基本事件是有限個(gè)，而幾何概型的基本事件是無窮多個(gè)，準(zhǔn)確理解古典概型和幾何概型的意義和區(qū)別，是解決這兩種概型題目的基本之道.

較為復(fù)雜的古典概型

例1 口袋里裝有兩個(gè)白球和兩個(gè)黑球，這四個(gè)球除顏色外完全相同，四個(gè)人按順序依次從中摸出一球，試求“第二個(gè)人摸到白球”的概率.

解析 把四人依次編號(hào)為甲、乙、丙、丁，把兩白球編上序號(hào)1，2，把兩黑球也編上序號(hào)1，2，于是四個(gè)人按順序依次從袋內(nèi)摸出一個(gè)球的所有可能結(jié)果，可用樹形圖直觀地表示出來.

從上面的樹形圖可以看出，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)為24，第二人摸到白球的結(jié)果有12種，記“第二個(gè)人摸到白球”為事件[A]，則[P（A）=1224=12.]

點(diǎn)撥 四個(gè)人摸球的可能結(jié)果數(shù)即基本事件數(shù)是有限的，每個(gè)結(jié)果發(fā)生是等可能的，因此是古典概型. 有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù). （1）基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉. （2）注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.

例2 有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本，若將其隨機(jī)地抽取并排擺放在書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率是（ ）

A. [15] B. [25] C. [35] D. [45]

解析 語文、數(shù)學(xué)只有一科的兩本書相鄰，有[2A22A22A33=48]種擺放方法.

語文、數(shù)學(xué)兩科的兩本書都相鄰，有[A22A22A33=24] 種擺放方法.

而五本不同的書排成一排總共有[A55]=120種擺放方法.

故所求概率為[1-48+24120=25].

答案 B

點(diǎn)撥 5本書的不同擺放方法是有限的，且每種擺放方法發(fā)生可能性相同，因此是古典概型. 求較復(fù)雜事件的概率問題時(shí)，可將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和，或者先求其對(duì)立事件的概率，進(jìn)而再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蠼? 正難則反法就是將較為復(fù)雜的古典概型轉(zhuǎn)化為求其對(duì)立事件的概率進(jìn)行求解的方法. 此類概率題目含有非常典型的“至少”“至多”等用語，正面求解分類較多或分類有困難時(shí)就可以考慮采用該方法求解.

與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型

例3 （1）在等腰[Rt△ABC]中，過直角頂點(diǎn)[C]在[∠ACB]的內(nèi)部任意作一條射線[CM]交[AB]邊于點(diǎn)[M]，則[AM小于AC]的概率為 .

（2）如圖，在等腰直角[△ABC]中，在線段[AB]上取一點(diǎn)[M]，則使得[AM]小于[AC]的概率為 .

解析 （1）在[∠ACB]內(nèi)的射線[CM]是均勻分布的，所以射線[CM]在[∠ACB]內(nèi)的任何位置都是等可能的. 因?yàn)閇AM]的大小與點(diǎn)[M]在[AB]上的位置有關(guān)，為了確保[AM如圖所示，在[AB]上截取[AC=AC，]連接[CC，]則[∠ACC=∠ACC.]

在[△CAC]中，[∵∠A=45°，][∴∠ACC][=67.5°.]

故所求的概率[P=∠ACC∠ACB=67.5°90°=34.]

（2）等腰直角[△ABC]中，[AM]小于[AC]的概率 [P=ACAB=AC2AC][=22].

點(diǎn)撥 射線在角內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的位置有無限多個(gè)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)也有無數(shù)個(gè)位置，且每個(gè)結(jié)果都是等可能的，故兩小題都是幾何概型. 解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清楚題中的考查對(duì)象與對(duì)象的活動(dòng)范圍. 當(dāng)考查的對(duì)象為點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí)，用線段長(zhǎng)度比計(jì)算；當(dāng)考查的對(duì)象為線時(shí)，涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，一般用角的大小作為區(qū)域度量來計(jì)算. 要準(zhǔn)確把握幾何概型的“測(cè)度”，正確構(gòu)造度量區(qū)域.

生活中的幾何概型問題

例4 甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過時(shí)即可離去.求兩人能會(huì)面的概率.

解析 以[x]軸和[y]軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間，則兩人能夠會(huì)面的充要條件是[x-y≤14.]

在如圖所示平面直角坐標(biāo)系下，[（x，y）]的所有可能結(jié)果是邊長(zhǎng)為1的正方形區(qū)域，而事件[A]“兩人能夠會(huì)面”的可能結(jié)果由圖中的陰影部分表示.

由幾何概型的概率公式得，

[P（A）=SAS=12-2×（1-14）×（1-14）×1212=716.]

所以，兩人能會(huì)面的概率是[716].

點(diǎn)撥 甲、乙兩人達(dá)到約定地點(diǎn)的時(shí)間均是在一個(gè)連續(xù)區(qū)間上取值的變量，以這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示基本事件，基本事件數(shù)是無限的，且每個(gè)結(jié)果都是等可能的，故本題是幾何概型. 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型中的長(zhǎng)度、角度、面積、體積等常見幾何概型的求解問題，構(gòu)造出隨機(jī)事件[A]對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用幾何圖形的度量來求隨機(jī)事件的概率. 根據(jù)實(shí)際問題的具體情況，合理設(shè)置參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在此基礎(chǔ)上將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)系的點(diǎn)，便可構(gòu)造出度量區(qū)域.

1. 甲、乙兩人各寫一張賀年卡，隨意送給丙、丁兩人中的一人，則甲、乙將賀年卡送給同一人的概率是（ ）

A. [12] B. [13] C. [14] D. [15]

2. 設(shè)不等式組[0≤x≤2，0≤y≤2，]表示的平面區(qū)域?yàn)閇D]，在區(qū)域[D]內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（ ）

A. [π4] B. [π-22] C. [π6] D. [4-π4]

3. 連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為[m]和[n]，記向量[a=（m，n）]與向量[b=（1，-1）]的夾角為[θ]，則[θ∈（0，π2]]的概率是 .

4. 花園小區(qū)內(nèi)有一塊三邊長(zhǎng)分別是5m、5m、6m的三角形綠化地，有一只小花貓?jiān)谄鋬?nèi)部玩耍，若不考慮貓的大小，則在任意指定的某時(shí)刻，小花貓與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過2m的概率是 .

1. A 2. D 3. [712] 4. [1-π6]