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        高考新亮點(diǎn)

        2016-05-30 05:45:06王勇
        高中生學(xué)習(xí)·高三版 2016年1期
        關(guān)鍵詞:概型三棱錐計(jì)算公式

        王勇

        縱觀近幾年高考試題,幾何概型問(wèn)題頻頻出現(xiàn),這類問(wèn)題新穎別致,構(gòu)思精妙,極富思考性和挑戰(zhàn)性. 幾何概型的概率求解一般分三步:(1)判斷試驗(yàn)是否為幾何概型;(2)將試驗(yàn)構(gòu)成的區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形,并加以度量(如長(zhǎng)度、面積、體積或角度);(3)應(yīng)用幾何概型的概率公式求概率. 下面結(jié)合實(shí)例分類解析,旨在探索題型規(guī)律,揭示解題方法.

        與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型

        例1 在區(qū)間[0,5]上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)[p],則方程[x2+2px+3p-2=0]有兩個(gè)負(fù)根的概率為 .

        解析 先根據(jù)方程有兩個(gè)負(fù)根求得[p]的取值范圍,然后利用幾何概型的概率計(jì)算公式求出概率.

        [∵方程x2+2px+3p-2=0]有兩個(gè)負(fù)根[x1,x2,]

        [∴Δ=4p2-43p-2≥0,x1+x2=-2p<0,x1x2=3p-2>0,]

        又[0≤p≤5],解得[23故由幾何概型的概率計(jì)算公式得,

        [P=1-23+5-25-0=23.]

        點(diǎn)撥 本題考查一元二次方程根的分布和幾何概型. 根據(jù)一元二次方程根的分布情況建立不等式組求[p]的取值范圍,考查了邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力. 將一元二次方程根的分布與概率相結(jié)合,體現(xiàn)了化歸意識(shí)在解題中的應(yīng)用.

        例2 平面上畫(huà)了一組彼此平行且相距[2a]的平行線. 把一枚半徑[r

        解析 結(jié)合線性規(guī)劃,利用幾何概型求解. 設(shè)兩串彩燈同時(shí)通電后,第一次閃亮的時(shí)刻分別為[x,y,x,y]可以看成平面中的點(diǎn),試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閇D=x,y0≤x≤4,0≤y≤4,]如圖所示,這是個(gè)正方形區(qū)域.

        事件[A]表示“它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒”,所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閇d=][x,y0≤x≤4,0≤y≤4,x-y≤2,]即圖中的陰影部分.

        由幾何概型的概率計(jì)算公式得,

        [PA=SdSD=42-2×12×2×242=34.]

        答案 C

        點(diǎn)撥 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃和幾何概型的應(yīng)用. 將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃和幾何概型問(wèn)題求解,考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、創(chuàng)新應(yīng)用意識(shí).

        與體積有關(guān)的幾何概型

        例7 如圖,在長(zhǎng)方體[ABCD-A1B1C1D1]中,[E,H]分別是棱[A1B1,D1C1]上的點(diǎn)(點(diǎn)[E與B1]不重合),且[EH∥A1D1],過(guò)[EH]的平面與棱[BB1,CC1]相交,交點(diǎn)分別為[F,G.]設(shè)[AB=2AA1=2a.]在長(zhǎng)方體[ABCD-A1B1C1D1]內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn),記該點(diǎn)取自于幾何體[A1ABFE-D1DCGH]內(nèi)的概率為[P],當(dāng)點(diǎn)[E,F(xiàn)]分別在棱[A1B1,BB1]上運(yùn)動(dòng)且滿足[EF=a]時(shí),則[P]的最小值為( )

        A.[1116] B.[34] C.[1316] D.[78]

        解析 設(shè)[BC=b],則長(zhǎng)方體[ABCD-A1B1C1D1]的體積為[V=AB?AD?AA1=2a2b],幾何體[EB1F-HC1G]的體積為[V1=12EB1?B1F?B1C1=b2EB1?B1F.]

        [∵EB21+B1F2=a2],

        [∴EB1?B1F≤EB21+B1F22=a22,]當(dāng)且僅當(dāng)[EB1=B1F][=22a]時(shí)等號(hào)成立,從而[V1≤a2b4.]

        故[P=1-V1V≥1-a2b42a2b=78,]當(dāng)且僅當(dāng)[EB1=B1F=][22a]時(shí)等號(hào)成立.

        所以[P]的最小值等于[78].

        答案 D

        點(diǎn)撥 本題由2010年福建省高考題改編而成,考查立體幾何的有關(guān)知識(shí)、幾何概型、基本不等式的應(yīng)用等. 考查空間想象能力和“正難則反”的思想方法.

        例8 已知正三棱錐[S-ABC]的底面邊長(zhǎng)為[a],高為[h],在正三棱錐內(nèi)取點(diǎn)[M],則點(diǎn)[M]到底面的距離小于[h2]的概率為 .

        解析 如圖,分別取[SA,SB,SC]的中點(diǎn)[A1,B1,C1],分別連接[A1B1,B1C1,C1A1],則當(dāng)點(diǎn)[M]位于平面[ABC]和平面[A1B1C1]之間時(shí),點(diǎn)[M]到底面的距離小于[h2].

        設(shè)[△ABC]的面積為[S],由[△A1B1C1~△ABC]且相似比為[12]得,[△A1B1C1]的面積為[S4.]

        由題意易知,區(qū)域[D](三棱錐[S-ABC])的體積為[13Sh,]

        區(qū)域[d](三棱臺(tái)[A1B1C1-ABC])的體積為[13Sh-13?S4?h2=][724Sh.]

        記“點(diǎn)[M]到底面的距離小于[h2]”為事件[A],根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得,[PA=VdVD=78.]

        答案 [78]

        點(diǎn)撥 如果試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域可用體積來(lái)度量,那么就要結(jié)合問(wèn)題的背景,選擇好觀察角度,準(zhǔn)確找出構(gòu)成事件[A]的區(qū)域體積及試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積,再根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.

        與角度有關(guān)的幾何概型

        例9 在圓心角為[90°]的扇形中,以圓心[O]為起點(diǎn)作射線[OC],則使得[∠AOC和∠BOC]都不小于[30°]的概率為 .

        解析 如圖所示,記事件[F]為“作射線[OC,]使[∠AOC和∠BOC]都不小于[30°]”,作射線[OD,OE,]使得[∠AOD=30°,∠AOE=60°.]當(dāng)[OC在∠DOE]內(nèi)(包括[OD,OE])時(shí),使得[∠AOC和∠BOC]都不小于[30°],故[PF=∠DOE∠AOB=30°90°=13.]

        點(diǎn)撥 當(dāng)涉及射線的運(yùn)動(dòng),扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問(wèn)題時(shí),常以角的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率,切不可用線段代替,這是兩種不同的度量手段. 作射線[OD,OE],使得[∠AOD=30°,∠AOE=60°]是求解本題的關(guān)鍵.

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