王聯(lián)新 黃信璋

二項(xiàng)式定理的考查在現(xiàn)在高考是常考常新，但是萬變不離其宗，歸納起來主要有兩種題型： 一個(gè)二項(xiàng)展開式問題； 兩個(gè)或兩個(gè)以上二項(xiàng)式問題.解決這類問題的基本方法是用好二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式和方程思想，以及組合數(shù)，二項(xiàng)式原理.下面從兩個(gè)方面進(jìn)行分析.

一、一個(gè)二項(xiàng)展開式問題

例1 已知（x-2x2）n （n∈N*）的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10∶1.

（1）求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和；

（2）求展開式中含x3/2的項(xiàng)；

（3）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).

分析 （1）審條件，構(gòu)建關(guān)于n的方程求n.

（2）審要求，可利用“賦值法”求各項(xiàng)系數(shù)之和；利用通項(xiàng)公式確定含x3/2的項(xiàng)數(shù)；確定系數(shù)最大的項(xiàng)數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，再求項(xiàng).

解析 由題意知，第五項(xiàng)系數(shù)為C4n·（-2）4，第三項(xiàng)的系數(shù)為C2n·（-2）2，則有C4n·（-2）4C2n·（-2）2=101，化簡(jiǎn)得n2-5n-24=0，解得n=8或n=-3（舍去）.

（1）令x=1得各項(xiàng)系數(shù)的和為（1-2）8=1.

（2）通項(xiàng)公式Tr+1=Cr8·（x）8-r·（-2x2）r=Cr8·（-2）r·x（8-r）/2-2r，

令8-r2-2r=32，則r=1，故展開式中含x3/2的項(xiàng)為T2=-16x3/2.

（3）設(shè)展開式中的第r項(xiàng)，第r+1項(xiàng)，第r+2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為Cr-18·2r-1，Cr8·2r，Cr+18·2r+1，若第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，則Cr-18·2r-1≤Cr8·2r，

Cr+18·2r+1≤Cr8·2r，解得5≤r≤6.

又T6的系數(shù)為負(fù)，∴系數(shù)最大的項(xiàng)為T7=1792x-11.由n=8知第五項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)T5=1120x-6.

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)以及項(xiàng)數(shù)和項(xiàng)的有關(guān)概念.解題時(shí)要注意區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)的不同.項(xiàng)數(shù)和項(xiàng)的不同；本題的易錯(cuò)點(diǎn)是混淆項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別.這類問題還有一個(gè)難點(diǎn)就是這些特定項(xiàng)是哪一項(xiàng)，這一項(xiàng)如何計(jì)算，化解的基本方法就是根據(jù)題目的要求和二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式列出方程，通過方程找到是哪一項(xiàng)，然后再根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算.在有些問題中還需要根據(jù)題目的具體要求列不等式等找到特定項(xiàng)是哪一項(xiàng).當(dāng)然，解決問題的思想方法也是非常重要的.

二、兩個(gè)或兩個(gè)以上二項(xiàng)式問題

求解兩個(gè)或者兩個(gè)以上二項(xiàng)式中一些特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)是高考中的一個(gè)難點(diǎn)，化解這個(gè)難點(diǎn)的方法是用好多項(xiàng)式的乘法規(guī)則，以及搞清二項(xiàng)式定理的原理，根據(jù)相乘的兩個(gè)二項(xiàng)展開式和多項(xiàng)式的乘法規(guī)則，弄清楚這些特定的項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律，然后進(jìn)行具體計(jì)算.

例2 （1+2x）3（1-x）4展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為.

分析 求多個(gè)二項(xiàng)式積的某項(xiàng)系數(shù)，要會(huì)轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式定理的形式.

解析 （1+2x）3（1-x）4展開式中的x項(xiàng)的系數(shù)為兩個(gè)因式相乘而得到，即第一個(gè)因式的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)分別乘以第二個(gè)因式的一次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)，它為C03（2x）0·C14（-x）1+C13（2x）1·C0414（-x）0，其系數(shù)為C03·C14（-1）+C13·2=-4+6=2.

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)是兩個(gè)多項(xiàng)式相乘時(shí)x項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律，這只要按照多項(xiàng)式的乘法規(guī)則進(jìn)行即可，其系數(shù)就是這些相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)乘積之和.這種方法是化解兩個(gè)多項(xiàng)式相乘時(shí)，求展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)的主要方法.

例3 求式子（|x|+1|x|-2）3的展開式中的常數(shù)項(xiàng).

分析 這種類型和我們課本上的不同是它里面為三項(xiàng)，把它從三項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)是關(guān)鍵.

解法一 （|x|+1|x|-2）3=（|x|+1|x|-2）（|x|+1|x|-2）（|x|+1|x|-2）得到常數(shù)項(xiàng)的情況有：

①三個(gè)括號(hào)中全取-2，得（-2）3；

②一個(gè)括號(hào)取|x|，一個(gè)括號(hào)取1|x|，一個(gè)括號(hào)取-2，得C13C12（-2）=-12，∴常數(shù)項(xiàng)為（-2）3+（-12）=-20.

解法二 （|x|+1|x|-2）3=（|x|-1|x|）6.

設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，

則Tr+1=Cr6·（-1）r·（1|x|）r·（|x|）6-r=（-1）6·Cr6·|x|（6-2r）/2，得6-2r2=0，r=3

∴T3+1=（-1）3·C36=-20.

點(diǎn)評(píng) 本題用的較多的方法是第一種方法，因?yàn)樗?jiǎn)便快捷，同時(shí)也是二項(xiàng)定理的核心和靈魂，如果這個(gè)問題都能領(lǐng)悟，二項(xiàng)式的所有東西都將解決.

總之，求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)系數(shù)，主要是以上兩種類型，第一種類型主要通過通項(xiàng)，第二種類型要么是轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)，要么是利用二項(xiàng)式定理的原理.

（收稿日期：2015-07-12）