祁國偉

隨著我國教育的不斷改革，高中數(shù)學教學方法也在不斷改進，教師也更加重視對學生解題能力的培養(yǎng)，幫助學生掌握多元化的解題方式，提高學生的解題效率，促進高中數(shù)學教學質量的提高.

一、變量代換解題法

變量代換就是在解題過程中，遇到難度較大的數(shù)學問題時，通過引入一些新的變量進行代換，簡化題目的結構和形式，從而簡化解題過程，讓學生能夠更輕松地解決問題，也就是教學實踐中常說的“換元”.高中數(shù)學的題干和結論比較復雜，學生在獨立解題的過程中受制于結構上的復雜和對字母的恐懼，很難形成清晰的思路，但通過引入變量代換法，學生可以更加順利地思考問題的解決方法，認清題目的類型，甚至一些常見問題可以形成程序化的解答方法，無疑可以大大減少重復勞動.并且變量代換法在數(shù)學教學中能夠解決很多類型的問題，尤其是在處理一些比較復雜的函數(shù)、方程、不等式的問題中，發(fā)揮著很大的作用.通過在解題中進行變量的代換，能夠有效簡化題目信息，讓學生能夠更加明確題目所給出的條件，從而優(yōu)化解題過程.應該在課堂教學中滲透變量代換的思想，使其成為代數(shù)基本能力.

范例1 求函數(shù)f（x）=x2-3x+1x+1（x>-1）的值域.

分析 這個函數(shù)類型是高中常見的分式二次函數(shù)，也有很多參考書采用拼湊變形的方法，但不如變量代換即換元法來得簡捷，規(guī)范.

略解 令t=x+1，則t>0，y=t+5t-5，由基本不等式可得y≥25-5.當且僅當t=5取等號.所以值域：[25-5，+∞）.

反思 這種類型的分式二次函數(shù)就可以形成對分母整體代換的程序化解法.

范例2 若a，b>0，a+b=3，求1+a+1+b的最大值.

分析 本題如果不做換元而直接拼湊的話，筆者在教學實踐中發(fā)現(xiàn)效果很差，但提醒學生換元后基本都可以獨立完成.

略解 令m=1+a，n=1+b，則a=m2-1，b=n2-1，

問題轉化為m>1，n>1，m2+n2=5，求m+n的最大值.

由平方平均數(shù)與算術平均數(shù)的關系可知m2+n22≥m+n2可知m+n≤10.

當且僅當m=n=102時取等號，所以m+n的最大值為10.

反思 本例的障礙很明顯，就是根號，換元后會有豁然開朗、柳暗花明的感覺，在教學實踐中提醒學生當遇到復雜的式子時應該多嘗試換元法.當然本例的解法很多，特別是可以用三角換元的方法，更能體現(xiàn)換元的威力，這里就不做展開了.

范例3 （2013年高中數(shù)學聯(lián)賽福建省預賽第4題）

已知實數(shù)x，y滿足xy+1=4x+y，且x>1，則（x+1）（y+2）的最小值是.

分析 本題的標準答案采用消元后轉化為x的一元函數(shù)，然后利用導數(shù)求最小值.如果注意到目標其實是兩個對象乘積的話，可以考慮換元法的應用.

略解 令a=x+1，b=y+2，則條件轉化為ab=6a+2b-9，a>2.

可求得b>6，由基本不等式可得6a+2b≥43·ab，所以ab≥43·ab-9.再令t=ab，則t2-43t+9≥0，解得t≥33或t≤3，所以ab≥27或ab≤3（不合），當且僅當a=3，b=9時取等號，所以（x+1）（y+2）的最小值是27.

二、分類討論解題法

分類討論思想是高中數(shù)學中一種非常重要的數(shù)學思想，也是高考必考的數(shù)學思想之一.在數(shù)學解題中合理應用這種數(shù)學解題思想，能夠有效簡化題目，同時能夠全面考慮題目中的多種情況，做到全面準確地解題，幫助學生形成更加科學的數(shù)學思維.學生的困惑在于如何確定討論的標準，其實只要以目標為導向，使不確定因素通過討論能確定下來，這就是討論的標準.通過分類討論能夠使解題過程變得更加清晰明確，同時也能夠使復雜的數(shù)學問題簡單化，提高學生解題的效率.分類討論在函數(shù)教學中應用得較多，其中包括根據函數(shù)概念進行討論、根據函數(shù)圖形位置進行討論、根據實際問題中的動態(tài)條件等進行討論.

范例4 已知曲線y2=2x，設定點A（a，0），a∈R，曲線上的動點M到點A的距離最小值為f（a），求f（a）的函數(shù)表達式.

略解 設M（x，y）為曲線y2=2x上的任意一點，則可以得出

|MA|2=（x-a）2+y2=（x-（a-1））2+2a-1，定義域x≥0.

當a-1≥0即a≥1時，|MA|2的最小值為2a-1，f（a）=2a-1；

當a-1<0即a<1時，|MA|2的最小值為a2，f（a）=|a|.

綜上：略

反思 討論標準的確定是由于圖像對稱軸與定義域關系的不確定，所以只要理清其關系就可以知道討論的標準和情況.本例的知識點在于二次函數(shù)在區(qū)間上的最值，可做多種變式，如定軸動區(qū)間、動軸定區(qū)間、動軸動區(qū)間的二次函數(shù)類型，教學實踐中可以通過變式體會討論標準的確定過程.這類的歸納總結很多，就不再深入展開了.

總之，高中數(shù)學教學不單是讓學生學習知識，還需要培養(yǎng)學生解題的能力，幫助學生形成完善的解題思路和方法，讓學生在數(shù)學學習過程中能夠深入理解各種題型，掌握多種解題方法，并靈活應用，提高學生學習數(shù)學的效率.

【參考文獻】

[1]羅增儒.中學數(shù)學解題的理論與實踐 [M].南寧：廣西教育出版社，2015：71-83.

[2]陳建設.多元智能理論應用于高中數(shù)學教學的實踐 [D].福州：福建師范大學，2014.