周建萍

本人在多年的教學中，深感學生數學運算能力的重要性.“會而不對，對而不快，快而不準”的學生比比皆是，學生在運算中暴露出來的問題也越來越多.數學運算能力越來越成為制約學生得分的重要“瓶頸”.在高考中，大多數題目是需要運算的，運算求解能力始終是高中學生必須面對的一個沉重話題.

從歷年考試（大綱）對運算求解能力要求的演變可看出，高考對運算能力的要求越來越高，越來越具體.近年考綱對運算求解能力的描述為：“會根據法則、公式進行正確運算、變形和數據處理，能根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑，能根據要求對數據進行估計和近似計算.”這些年的教學中，筆者體會到學生運算能力的低下，也與教師關于運算教學的力度不夠有關.在高中教師中普遍存在的教學現象是重數學思想、數學思維能力的培養(yǎng)，重解題方法的訓練，加上由于新課標，教學內容增多，教學課時卻沒有相應增加，使得平時的教學忙于應付進度，沒有太多時間關注運算方面的教學，許多計算都是留給學生課后完成，而學生也認為計算是“小事一樁”，不加以重視，大多以為懂了方法就可以了，久之就形成了“會而不對”的數學通病.

筆者認為，在高中數學教學中，既要重視數學思想、數學思維能力的培養(yǎng)，重視解題方法的訓練，同時更要重視運算能力的教學，因為所有問題最終的解決都要通過計算來完成，運算能力對學生取得好成績的重要性不言而喻.為此，本文談談我在教學中是如何培養(yǎng)和訓練學生兩個方面的運算能力.

一、培養(yǎng)學生能根據問題的條件和目標，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑

我們在教學中，尤其在例題、習題的教學中，常常是一開始就告訴學生如何思考，甚至于告訴學生如何解題.或者看似提出了問題讓學生思考，其實在提出的問題中已包含了思考方向、解題途徑等.這樣教學，學生聽課是沒有問題的，因為思路是教師引導，計算是教師完成.但當學生自己面對一個新問題時卻不知如何解決.其根源就是我們在教學中忽視了培養(yǎng)、訓練學生“能根據問題的條件和目標，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑的能力”.

例1 （2011山東17題）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA-2cosCcosB=2c-ab.

（1）求sinCsinA的值；

（2）若cosB=14，b=2，求△ABC的面積S.

事實上，當學生在考場上面對這個問題時，他可能會有幾方面的困惑：

①如何求sinCsinA？②條件cosA-2cosCcosB=2c-ab如何使用？

針對以上問題，我讓學生思考兩個問題：

（1）在三角問題中如何求sinCsinA？（直接求，或利用正弦定理轉換成ca）

（2）面對條件cosA-2cosCcosB=2c-ab，你會做出哪些選擇？（可用正弦定理將邊a，b，c換成sinA，sinB，sinC，也可用余弦定理將cosA，cosB，cosC轉換成邊a，b，c，再進行變形處理）.

這比直接告訴學生如何求解更能培養(yǎng)、訓練學生如何尋找解題途徑的能力.在學生解答完第一問后，再提出問題：在三角形中，面對cosB=14，b=2這樣的條件，我們有哪些公式可使用？（余弦定理）求△ABC的面積有哪些公式？（S=12ah，或S=12ac·sinB）如何選擇？在上述條件下選擇哪個公式更合理？因為在三角中，公式、定理眾多，如何選擇合適的公式、定理，如何根據問題的條件和目標，尋找與設計合理、簡捷的運算方向是學生面臨的最大問題.在高中數學的其他許多內容中，學生都會面臨同樣的問題.

我們在教學中，如果能適時對學生進行“如何根據問題的條件和目標，尋找與設計合理、簡捷的運算方向”的訓練，必將會提高學生的解題能力.

二、在運算過程中遇到障礙而調整運算的能力

學生在運算實施過程中往往缺乏進一步選擇合理、簡捷的運算途徑的意識，常常是一開始選擇了運算方向后，就開始運算，一旦遇到障礙無法解決，最終的選擇就是放棄.事實上，高考中許多問題的解決都要求學生擁有“在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力”，尤其是后面三大題的解答更是如此.

例2 （2010天津22題）

在數列{an}中，a1=0，且對任意k∈N*，a2k-1，a2k，a2k+1成等差數列，其公差為2k.

（1）證明a4，a5，a6成等比數列.

（2）求數列{an}的通項公式；

當學生在考場上面對這樣的題目時，第（1）問是可以通過重復使用條件：a2k-1，a2k，a2k+1成等差數列來求出a4，a5，a6，從而證明a4，a5，a6成等比數列的.

但從第二問開始，條件“a2k-1，a2k，a2k+1成等差數列，其公差為2k”如何使用？

事實上，大多數學生是會將條件“a2k-1，a2k，a2k+1成等差數列，其公差為2k”轉換成式子：

a2k-a2k-1=2k，a2k+1-a2k=2k.學生又會碰到障礙：這組式子如何繼續(xù)下去？面對這

樣的式子，可進行作怎樣的運算？

事實上，通過觀察，很容易看出將兩式相加后可得a2k+1-a2k-1=4k，k∈N*.

此時，又會碰到障礙：這個式子a2k+1-a2k-1=4k，k∈N*說明什么？

事實上，這個式子說明數列{an}的奇數項構成公差為4k的等差數列.

由a1=0，易得a2k-1=2k（k-1），到此，奇數項的通項公式可求.

新的問題：偶數項的通項公式如何求？事實上，偶數項的通項公式可通過a2k-a2k-1=2k 來求解.

∵a2k=a2k-1+2k=2k2.

∴ a2k-1=2k（k-1），a2k=2k2，（k∈N）.

學生又會碰到新的障礙：如何求通項公式an？

事實上，可通過換元的方法來求解，最后可求得數列{an}的通項公式為：

an=n2-12，n為奇數，n22，n為偶數，或寫為an=n22+-1n-14，n∈N*.

由此可見，學生在解題過程中，如果不顧運算目標，機械地套用運算公式，進行盲目的推理演算，運算過程中缺乏能根據問題的條件和目標，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑，也缺乏在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力，常常將運算過程中的錯誤原因歸結到是“馬虎”“粗心”“不注意”才造成運算的錯誤，這是典型的只看重解題過程中的方法和思路.顯然，學生對運算的具體實施，對運算過程中的合理性、簡捷性等都沒有足夠的重視，這常常讓他們的運算半途而廢，無功而返，最后選擇放棄.

因此，如何在高中數學教學中培養(yǎng)學生的運算能力是我們每一個高中教師都要面臨的課題.我們不能將學生運算能力的低下僅僅歸結為學生“懶惰，不愿多做題”，從而將學生運算能力的提高寄希望于大量的練習，將學生淹沒在“題?！敝?事實上，運算求解能力是思維能力和運算技能的結合，運算包括對數字的計算、估值和近似計算等.所以，僅僅盲目的計算是不能解決問題的.因此，我們更要在教學中時時注意培養(yǎng)、訓練學生分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一系列過程中的思維能力，也要訓練學生在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力.只有這樣，才能較好地在更高的層次上提高學生的運算能力，幫助他們在高考中取得好成績.