薛有才 董杰

DOI：10.16660/j.cnki.1674-098X.2016.18.163

摘 要：白正國(guó)先生是浙江大學(xué)微分幾何學(xué)派的重要代表人物之一。科研上，他解決了國(guó)際射影微分幾何學(xué)界非常關(guān)注的Fubini問題，對(duì)蘇錐面進(jìn)行了研究并拓廣了其性質(zhì)，給出了戈德織面序列的一個(gè)新定義，推廣了著名的W.Fenchel定理，解決了獨(dú)立保圓變換的黎曼空間的尺度形式問題等；學(xué)科建設(shè)上，他與陳建功、徐瑞云等人一起使得杭州大學(xué)數(shù)學(xué)系在短短的幾年間成為國(guó)內(nèi)具有重要影響的數(shù)學(xué)學(xué)科之一，對(duì)浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系的建設(shè)起到重要作用；教學(xué)上，他先后培養(yǎng)了70多名碩士與博士，為光大浙江大學(xué)微分幾何學(xué)派做出了重要貢獻(xiàn)。

關(guān)鍵詞：白正國(guó) 浙江大學(xué) 微分幾何學(xué)派 科研 教學(xué)

中圖分類號(hào)：O186 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2016）06（c）-0163-04

Bai Zhengguo and Zhejiang University School of Differential Geometry

Xue Youcai1，2 Dong Jie1，2

（1.Zhejiang university of science and technology， School of science， Hangzhou Zhejiang，310023，China；2.Institute for History of Science and Technology， Inter Mongolia Normal University， Hohhot Neimenggu， 010022，China）

Abstract：Mr Bai Zhengguo is one of the important representatives of Zhejiang university school of differential geometry. He solved the problem of the famous Fubini， given a generalization of Sus associate quadrics of a surface and A new definition of the Godeaux sequence of quadrics. He promote the famous W.F enchel theorem and solved the problem of circle-preserving transformation of Riemann space， etc. Together with Chen jiangong， Xu Ruiyun makes hangzhou university math department in a few short years become one of the most important influence on mathematics in the domestic， play an important role on construction of department of mathematics of zhejiang university. He has trained more than 70 master and doctor， for everbright differential geometry school of zhejiang university has made an important contribution.

Key Words：Bai Zhengguo；Zhejiang university；School of differential geometry；The scientific research；Teaching

在20世紀(jì)30至40年代，以陳建功、蘇步青為首的浙江大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)派是與當(dāng)時(shí)的意大利羅馬數(shù)學(xué)學(xué)派、美國(guó)芝加哥數(shù)學(xué)學(xué)派三足鼎立的舉世公認(rèn)的著名數(shù)學(xué)學(xué)派，白正國(guó)（1916年12月至2015年1月）教授是這個(gè)學(xué)派的重要人物之一。20世紀(jì)50年代以后，白先生參與了浙江師范學(xué)院數(shù)學(xué)系、杭州大學(xué)數(shù)學(xué)系的建設(shè)與領(lǐng)導(dǎo)工作以及四校合并后的浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系的建設(shè)，為承繼與光大浙江大學(xué)微分幾何學(xué)派做出了重要貢獻(xiàn)。

2015年1月27日凌晨，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家，浙江大學(xué)微分幾何學(xué)派重要代表人物之一的白正國(guó)教授在杭州家中逝世。今年是白先生誕辰100周年，謹(jǐn)以此文深切懷念白正國(guó)先生。

1 學(xué)術(shù)成就

以蘇步青為代表的浙江大學(xué)微分幾何學(xué)派首期的工作集中在射影微分幾何方面，蘇步青先生當(dāng)時(shí)的工作已在國(guó)際上具有相當(dāng)大的影響。所以，白正國(guó)的研究也從射影微分幾何開始。

在蘇步青先生的影響下，白正國(guó)的研究從開始就瞄向世界一流水平。

當(dāng)時(shí)在國(guó)際射影微分幾何學(xué)界有一個(gè)非常關(guān)注的Fubini問題。C.T.Sullivan在1914年給出：當(dāng)一個(gè)直紋面的非直線的主切曲線全屬于線性叢時(shí)，這些曲線是互為射影等價(jià)的。W.Blaschke于1926年把這一結(jié)果擴(kuò)充到非直紋曲面上：

定理1[2]如果一曲面的一系主切曲線全屬于線性叢，那么這系主切曲線在下述意義下是射影等價(jià)的，就是說：把這系一條主切曲線移到另一條去的直射變換，常把前者上每一點(diǎn)移到后者的那一點(diǎn)去，使得變換后的點(diǎn)在另一系的同一主切曲線上。

意大利著名數(shù)學(xué)家G.Fubini研究了Blaschke定理的逆問題，即如果一族漸近曲線是射影等價(jià)的，則此族是否必屬于線形叢？Fubini自己解決了當(dāng)曲面為直紋面時(shí)的情況，得到了問題的肯定回答。由此，F(xiàn)ubini進(jìn)一步提問：除了一族漸近曲線屬于線形叢的曲面以外，是否還有非直紋面的曲面，它的一族漸近曲線是互相射影等價(jià)的？白正國(guó)經(jīng)過潛心研究，圓滿地解決了此問題?；卮鹗强隙ǖ腫3]：

定理2[2]除了單系或雙系主切曲線全屬于線性叢的曲面外，還有這樣的曲面使其一系的主切曲線在定理1的意義下是射影等價(jià)的。這種曲面只限于射影極小的一致曲面，且從而其另外一系主切曲線也是射影等價(jià)的。

從定理1，2可得

定理3[2]如果一曲面上有一系且只有一系主切曲線是在定理1的意義下射影等價(jià)的，那么這系主切曲線全屬于線性叢，而且反過來也成立。

蘇步青先生的另一得意門生方德植與白正國(guó)都沒有出國(guó)留學(xué)經(jīng)歷，但是他們?cè)谖⒎謳缀晤I(lǐng)域都做出了世界一流的成績(jī)。方德植先生1933年畢業(yè)于浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系留校任教，僅僅一年多時(shí)間就發(fā)表了一篇論文《定撓曲線的一個(gè)特征》，對(duì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家達(dá)爾布的一個(gè)公式做了重要改進(jìn)，引起許多國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)家的關(guān)注。方德植與白正國(guó)的成就極大地鼓舞了中國(guó)學(xué)生自力更生，積極創(chuàng)新突破的信心。

1842年著名數(shù)學(xué)家索夫斯·李（S.Lie）引入了李織面（在曲面的各個(gè)正常點(diǎn)?？蓻Q定一個(gè)織面使與曲面是射影協(xié)變的，稱該織面為李織面）?！白詮乃鞣蛩埂だ畎l(fā)現(xiàn)李織面以后，中間過了60余年，幾乎無人注意到這個(gè)重要元素。直到1908年，德穆蘭（A.Demoulin）才做出系統(tǒng)的研究，因此，得到了以他命名的射影協(xié)變四邊形”[2]。蘇步青先生在1935年前后對(duì)李織面與德穆蘭四邊形進(jìn)行了系列研究，發(fā)現(xiàn)了以蘇步青命名的蘇織面——伴隨織面（德穆蘭四邊形的四邊和伴隨二次曲線相較于四個(gè)彎節(jié)點(diǎn)，它們確定了唯一的一織面，使它過德穆蘭四邊形和）。蘇先生給出了伴隨織面的系列重要性質(zhì)：

定理4如果一曲面的伴隨織面是固定的織面，那么的主切曲線全屬于線性叢，而且反過來也成立[2]。

定理5如果一曲面的李織面常與固定織面相切于四點(diǎn)，那么的主切曲線必須全屬于線性叢[2]。

白正國(guó)對(duì)蘇錐面進(jìn)行了研究并拓廣了其性質(zhì)，有結(jié)果

定理6如果一曲面的所有主切曲線都屬于線性叢，那么每條曲線的所有彎節(jié)切線必在（僅僅和有關(guān)的）同一織面上，并且反過來也成立[2，4]。

（注：是曲面上過任意點(diǎn)M的兩主切曲線）

應(yīng)用對(duì)于蘇錐面性質(zhì)研究的方法，白先生還給出了戈德織面序列的一個(gè)新定義[5]：

定理7利用主密切線叢，就能簡(jiǎn)單地作出伴隨曲面上一點(diǎn)的戈德織面序列的定義[2]。

定理8按照曲面上一點(diǎn)的伴隨主切直紋面的密切曲線從，也能作出戈德織面序列的定義[2]。

白正國(guó)先生在射影微分幾何的曲面曲線論等方面有許多獨(dú)創(chuàng)性的工作。例如：關(guān)于Moutard二次曲面的研究[6]、Jonas曲面[7]、并對(duì)直紋空間中曲面的射影理論作了系統(tǒng)性的研究[8-9]等，這些論文先后發(fā)表于40年代美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)的有關(guān)雜志上。

1952年，全國(guó)高等院校學(xué)習(xí)前蘇聯(lián)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)行院系調(diào)整。陳建功、蘇步青等大批浙江大學(xué)數(shù)學(xué)教師分別調(diào)整到復(fù)旦大學(xué)、廈門大學(xué)等院校。白正國(guó)先生先后在新成立的浙江師范學(xué)院、杭州大學(xué)等校工作，研究方向也轉(zhuǎn)向一般空間微分幾何學(xué)的研究工作。1957年，他發(fā)表了論文“關(guān)于空間曲線多邊形的全曲率”[10]，推廣了著名的W.Fenchel定理：

定理9設(shè)C是空間一曲線多邊形，具有內(nèi)角θ，則它的全曲率滿足下列不等式：

其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)由凸曲線弧連接而成的平面曲線多邊形時(shí)成立。

這一成果被載入《中國(guó)數(shù)學(xué)十年》一書等著作中。

從20世紀(jì)60年代起，白正國(guó)與他的學(xué)生們?cè)诶杪鼛缀窝芯可先〉孟盗型黄疲貏e是完美地解決了日本著名幾何學(xué)家矢野健太郎（K.Yano）提出的存在若干獨(dú)立保圓變換的黎曼空間的尺度形式問題[11]，這是保圓幾何中一個(gè)關(guān)鍵性問題。這一時(shí)期，白正先生還研究了黎曼空間中子流形的Codazzi-Ricci方程與Gauss方程的相關(guān)性[12]，共形平坦黎曼空間及常曲率空間的曲率張量的特征[13]，共形平坦黎曼空間中的共形平坦超曲面[14]等，得到許多重要結(jié)果。

從20世紀(jì)70年代后期始，白先生的研究方向轉(zhuǎn)向研究黎曼流形的整體性質(zhì)。他對(duì)擬常曲率流形做了系統(tǒng)研究，例如，他證明了：可以等距嵌入兩個(gè)不同常曲率流形的黎曼流形必是擬常曲率流形，其逆亦真[15]。另外，他在整體子流形幾何方面也給出了很好的結(jié)果[16-18]。

2 對(duì)浙江大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)派的貢獻(xiàn)

1952年，國(guó)家進(jìn)行高等院校院系調(diào)整，浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系建制被撤銷，陳建功、蘇步青等浙江大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)派的主要精英離開了浙江大學(xué)。白正國(guó)來到新建的杭州師范學(xué)院，與系主任徐瑞云一起，一面執(zhí)教，一面培養(yǎng)教師隊(duì)伍，組建教師研討班，經(jīng)過幾年不懈的努力，使得浙江師范學(xué)院數(shù)學(xué)系從一窮二白的基礎(chǔ)上取得突破，教學(xué)科研很快都上了一個(gè)很大臺(tái)階。

1958年杭州大學(xué)成立，隨后浙江師范學(xué)院合并于杭州大學(xué)，陳建功先生也回到杭州大學(xué)擔(dān)任副校長(zhǎng)。白先生作為數(shù)學(xué)系的主要負(fù)責(zé)人，在陳建功、徐瑞云等人的支持下，承繼浙江大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)派的優(yōu)良傳統(tǒng)，積極組織教師參與各種科研活動(dòng)，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)與研究性教學(xué)互相融合，互相促進(jìn)，取得積極成果。正是由于陳建功、徐瑞云、白正國(guó)等先生的不懈努力，杭州大學(xué)數(shù)學(xué)系在“文化大革命”前夕，教學(xué)和科研在國(guó)內(nèi)已經(jīng)達(dá)到較高水平、可躋身于國(guó)內(nèi)名牌大學(xué)數(shù)學(xué)系之列；同時(shí)，在國(guó)際上也逐漸引起影響。1965年在制定國(guó)家十二年科學(xué)規(guī)劃中，杭州大學(xué)數(shù)學(xué)系的幾何學(xué)和函數(shù)論都成為有關(guān)該項(xiàng)目的重點(diǎn)執(zhí)行單位之一?？梢哉f，經(jīng)過這一階段陳建功、徐瑞云、白正國(guó)等數(shù)學(xué)家的努力工作，新時(shí)期浙江大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)派的杭州大學(xué)分支基本形成。

1962年，經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)，白正國(guó)開始招收研究生。他的研究生如今不少已成為國(guó)內(nèi)外卓有成就的研究人員，如：浙江大學(xué)博士生導(dǎo)師沈一兵教授，南昌大學(xué)數(shù)學(xué)系主任歐陽(yáng)崇珍教授，杭州師范學(xué)院圖書館館長(zhǎng)蔡開仁教授等。1978年后，他又培養(yǎng)了許多碩士與博士，使得浙江大學(xué)微分幾何學(xué)派不斷發(fā)揚(yáng)光大。白先生終生共培養(yǎng)了70多名碩士和博士研究生，他們中大部分成為國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)專業(yè)的佼佼者，如：碩士生王國(guó)芳，博士生莫小歡、東瑜昕、朱小華、傅吉祥等。

學(xué)生沈一兵1987年起任浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，1993年被國(guó)務(wù)院學(xué)位委員會(huì)批準(zhǔn)為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)博士生導(dǎo)師。曾多次獲省部級(jí)科技成果獎(jiǎng)，1992年起享受國(guó)務(wù)院特殊津貼，2006年獲浙江省教學(xué)名師。

學(xué)生歐陽(yáng)崇珍1992年南昌大學(xué)任教授，數(shù)學(xué)研究所副所長(zhǎng)，1995—2002年任數(shù)學(xué)系主任兼數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng)，1996—2002年兼決策科學(xué)系主任。1992年10月享受國(guó)務(wù)院特殊津貼。其主要研究成果“關(guān)于利齊循環(huán)空間和利齊對(duì)稱空間”獲1990年江西省科技進(jìn)步獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)，合作研究成果“關(guān)于可展曲面的研究”獲1980年江西省科技成果獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)（第二），“格拉斯曼流形的極小子流形研究”獲2004年江西省自然科學(xué)獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)（第二）。

學(xué)生盛為民是白先生的第四個(gè)博士生，浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，博士生導(dǎo)師，美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)員，美國(guó)數(shù)學(xué)評(píng)論評(píng)論員，他在具有一定幾何或物理背景的微分幾何和偏微分方程，包括預(yù)定曲率問題，k-Yamabe問題，以及曲率流問題等方面做出了貢獻(xiàn)。

學(xué)生傅吉祥是白正國(guó)與沈一兵共同培養(yǎng)的博士生，目前是復(fù)旦大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，第五屆晨興數(shù)學(xué)銀獎(jiǎng)（2010）獲得者，長(zhǎng)江學(xué)者特聘教授（2011），曾應(yīng)邀在2010印度召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作45分鐘特邀報(bào)告，他與國(guó)際數(shù)學(xué)大師丘成桐先生合作在微分幾何領(lǐng)域取得了世界一流成果，他們研究的幾何空間被國(guó)際上命名為Fu—Yau流形。

白正國(guó)與沈一兵等先生撰寫的教材《黎曼幾何初步》從1992年出版以來，受到研究生與數(shù)學(xué)研究者的喜愛，被教育部研究生工作辦公室推薦為全國(guó)研究生教學(xué)用書，為我國(guó)研究生教育做出重要貢獻(xiàn)。

白正國(guó)的其他學(xué)生如碩士生王國(guó)芳，博士生莫小歡、東瑜昕、朱小華等，都在畢業(yè)后做出了可喜的成績(jī)，為整體微分幾何這一研究領(lǐng)域增添了光彩。

3 評(píng)價(jià)

在20世紀(jì)30至40年代，以蘇步青為代表的浙江大學(xué)微分射影幾何學(xué)派是舉世公認(rèn)的數(shù)學(xué)學(xué)派，白正國(guó)、張素誠(chéng)、方德植等人都是這一學(xué)派的重要代表人物。如上所述，白先生在20世紀(jì)40年代發(fā)表的系列有關(guān)射影幾何文章，為浙江大學(xué)微分幾何學(xué)派鼎立于世起到了積極作用。

1952年全國(guó)高校院系調(diào)正以后，浙江大學(xué)微分幾何學(xué)派的重要代表人物蘇步青、谷超豪等人去了復(fù)旦大學(xué)，方德植40年代即去了廈門大學(xué)，張素誠(chéng)到北京中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所任研究員等。白正國(guó)先生到新成立的浙江師范學(xué)院數(shù)學(xué)系工作，后來到杭州大學(xué)工作，四校合并后再到浙江大學(xué)。如何在杭州承繼與發(fā)揚(yáng)浙江大學(xué)微分幾何學(xué)派成為白先生的不二責(zé)任。所以，不論他調(diào)到那里，都絲毫不敢忘記繼承與發(fā)揚(yáng)光大浙江大學(xué)微分幾何學(xué)派的重任。他繼承陳建功、蘇步青先生倡導(dǎo)的讀書討論班，論文報(bào)告會(huì)等優(yōu)良傳統(tǒng)，帶領(lǐng)他的學(xué)生在射影微分幾何、一般空間微分幾何學(xué)的黎曼幾何上都做出了重要貢獻(xiàn)，并且培養(yǎng)出了眾多優(yōu)秀的微分幾何人才，如上所述的沈一兵、傅吉祥等學(xué)生，都為光大浙江大學(xué)微分幾何學(xué)派做出了重要貢獻(xiàn)。

一般的說，狹義的浙江大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)派即指20世紀(jì)30至40年代的浙江大學(xué)數(shù)學(xué)家群體；廣義的說，浙江大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)派包括20世紀(jì)50年代以后的復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)家群體（復(fù)旦分支）與包括杭州大學(xué)在內(nèi)的浙江大學(xué)數(shù)學(xué)家群體（杭州分支）。由上可知，在20世紀(jì)50年代以后，特別是20世紀(jì)80年代以后，白先生無疑是新時(shí)期浙江大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)派特別是微分幾何學(xué)派杭州分支的主要代表人物之一。他為新時(shí)期浙江大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)派的建設(shè)付出了巨大心血，貢獻(xiàn)巨大。

白先生一生從事數(shù)學(xué)教學(xué)與科研。教學(xué)上，不論是在20世紀(jì)40年代的浙江大學(xué)，在20世紀(jì)50年代的浙江師范學(xué)院還是在杭州大學(xué)，他教書育人，誨人不倦，積極參與領(lǐng)導(dǎo)學(xué)科建設(shè)，為浙江大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)派的學(xué)科建設(shè)做出巨大貢獻(xiàn)?？蒲猩?，白先生一生堅(jiān)持不懈，直到90多歲還在堅(jiān)持研究。他在自己95歲大壽生日會(huì)上發(fā)言稱：“最近幾年沒有做研究，我落伍了，感覺很慚愧?！盵20]其精神境界令所有年輕一輩感嘆不已。正如中科院院士、復(fù)旦大學(xué)教授谷超豪與胡和生在慶賀老師八十華誕的賀信中所寫：

1952年院系調(diào)整后，浙江省的數(shù)學(xué)研究和教學(xué)遇到一定困難，您繼續(xù)發(fā)揚(yáng)浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系原來的精神和風(fēng)格，和同事們一起奮斗了40多年，在杭州大學(xué)建設(shè)了一個(gè)高水平的數(shù)學(xué)系，成為我國(guó)數(shù)學(xué)研究和培養(yǎng)人才的重要基地之一，這是您的重要貢獻(xiàn)。您一貫堅(jiān)持微分幾何的研究，早期在射影微分幾何方面做了很出色的成果。近年來適應(yīng)國(guó)際發(fā)展潮流，在領(lǐng)導(dǎo)研究和培養(yǎng)人才方面又取得很大成就，優(yōu)秀中青年人才不斷成長(zhǎng)，成為整體微分幾何方面的堅(jiān)強(qiáng)的新生力量。您誠(chéng)懇謙虛，實(shí)事求是，專心致志于學(xué)術(shù)，具有中國(guó)知識(shí)分子的傳統(tǒng)美德，發(fā)揚(yáng)這種美德，對(duì)于今天的中國(guó)是十分必要的。

4 結(jié)語(yǔ)

白正國(guó)先生一生科研成就突出，為浙江大學(xué)微分幾何學(xué)派的繁榮與承繼做出巨大貢獻(xiàn)；學(xué)科建設(shè)上為原浙江大學(xué)、浙江師范學(xué)院、杭州大學(xué)、新浙江大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科建設(shè)嘔心瀝血，功勛卓著；在教學(xué)上教書育人，兢兢業(yè)業(yè)，培養(yǎng)了70多名碩士與博士，為數(shù)學(xué)人才隊(duì)伍建設(shè)付出畢生精力；他一生嚴(yán)以律己，為人正直，品德高尚，堪為人模。今年是白先生誕辰100周年，謹(jǐn)以此文紀(jì)念白先生，并希望白先生的精神萬(wàn)古長(zhǎng)青，照耀后人，使浙江大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)派在新時(shí)期能夠有更好成就，為建設(shè)中國(guó)數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)做出新貢獻(xiàn)。

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[12] 白正國(guó).黎曼空間中子空間的柯達(dá)齊-利齊方程和高斯方程的相關(guān)性[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1964，14（6）：781-789.

[13] 白正國(guó).共形平坦黎曼空間及常曲率空間的曲率張量的特征[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，1966（2）：175-182.

[14] 白正國(guó).共形平坦黎曼空間的共形平坦超曲面[J].杭州大學(xué)學(xué)報(bào)，1966（1）.

[15] 白正國(guó).擬常曲率黎曼流形在常曲率空間中的等距嵌入[J].數(shù)學(xué)年刊，1986（4）.

[16] 白正國(guó).常曲率黎曼流形的極小子流形[J].數(shù)學(xué)年刊，1987（3）.

[17] 白正國(guó).關(guān)于擬常曲率流形中子流形的不等式[J].數(shù)學(xué)年刊，1988（6）：704-708.

[18] 白正國(guó).緊的黎曼流形的調(diào)和形式[J].數(shù)學(xué)年刊，1990（5）：639-644.

[19] 沈一兵.白正國(guó)先生簡(jiǎn)傳[EB/OL].www.docin.com...896.html，2009-05-02.

[20]徐潔，張冰清.浙大數(shù)學(xué)系白正國(guó)教授逝世追悼會(huì)上來了三位院士[N].錢江晚報(bào)，2015-02-03.