李英

數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和訓(xùn)練是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點，這毋庸置疑。但就現(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀，我覺得這一點并沒有得到很好的貫徹和落實，而造成這一現(xiàn)象的一個重要原因我認為是小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容過于簡單，因而不可能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的特點。我想通過下面的論述能促進這一方面的深入研究，對于實際教學(xué)活動發(fā)揮積極的導(dǎo)向作用。

一、數(shù)學(xué)思維的基本形式—數(shù)學(xué)化

“數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容一定要充分考慮數(shù)學(xué)發(fā)展進程中人類的活動軌跡，貼近學(xué)生熟悉的現(xiàn)實生活，不斷溝通生活中的數(shù)學(xué)與教科書上數(shù)學(xué)的聯(lián)系，使生活和數(shù)學(xué)融為一體。”強調(diào)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系正是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個重要特征。就努力改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育嚴重脫離實際的弊病而言，這一做法是完全正確的。

事實上，即使就最為初等的數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，我們也可清楚地看到數(shù)學(xué)的抽象特點，而這就已包括了由“日常數(shù)學(xué)”向“學(xué)校數(shù)學(xué)”的重要過渡。

例如，在幾何題材的教學(xué)中，無論是教師或?qū)W生都清楚地知道，我們的研究對象并非教師手中的那個木制三角尺，也不是在黑板上或紙上所畫的那個具體的三角形，而是更為一般的三角形的概念，這事實上就已包括了由現(xiàn)實原型向相應(yīng)的“數(shù)學(xué)模式”的過渡。再例如，正整數(shù)加減法顯然具有多種不同的現(xiàn)實原型，如加法所對應(yīng)的既可能是兩個量的聚合，也可能是同一個量的增加性變化，同樣地，減法所對應(yīng)的既可能是兩個量的比較，也可能是同一個量的減少性變化;然而，在相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達式中所說的現(xiàn)實意義、包括不同現(xiàn)實原型之間的區(qū)別。

應(yīng)當(dāng)強調(diào)的是，以上所說的可說是一種“數(shù)學(xué)化”的過程，后者集中地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點：數(shù)學(xué)可被定義為“模式的科學(xué)”，也就是說，在數(shù)學(xué)中我們并非是就各個特殊的現(xiàn)實情景從事研究的，而是由附屬于具體事物或現(xiàn)象的模型過渡到了更為普遍的“模式”。

也正由于數(shù)學(xué)的直接研究對象是抽象的模式而非特殊的現(xiàn)實情景，這就為相應(yīng)的“純數(shù)學(xué)研究”提供了現(xiàn)實的可能性。例如，就以上所提及的加減法運算而言，由于其中涉及三個不同的量（兩個加數(shù)與它們的和，或被減數(shù)、減數(shù)與它們的差），因此，從純數(shù)學(xué)的角度去分析，我們完全可以提出這樣的問題，即如何依據(jù)其中的任意兩個量去求取第三個量。例如，就“量的比較”而言，除去兩個已知數(shù)的直接比較以外，我們顯然也可提出：“兩個數(shù)的差是3，其中較小的數(shù)是4，問另一個數(shù)是幾？”或者“兩個數(shù)的差是3，其中較大的數(shù)是4，問另一個數(shù)是幾？”我們在此事實上已由“具有明顯現(xiàn)實意義的量化模式”過渡到了“可能的量化模式”。

綜上可見，即使就正整數(shù)的加減法此類十分初等的題材而言，就已十分清楚地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的一些重要特點，特別是體現(xiàn)了在現(xiàn)實意義與純數(shù)學(xué)研究這兩者之間所存在的辯證關(guān)系。當(dāng)然，從理論的角度看，我們在此又應(yīng)考慮這樣的問題，即應(yīng)當(dāng)如何去認識所說的純數(shù)學(xué)研究的意義。特別是，我們是否應(yīng)當(dāng)明確肯定由“日常數(shù)學(xué)”過渡到“學(xué)校數(shù)學(xué)”的必要性，或是應(yīng)當(dāng)唯一地堅持立足于現(xiàn)實生活。

一般地說，學(xué)校中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是對學(xué)生經(jīng)由日常生活所形成的數(shù)學(xué)知識進行鞏固、適當(dāng)重組、擴展和組織化的過程，這就意味著由孤立的數(shù)學(xué)事實過渡到了系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，以及對于人類文化的必要繼承。這正如著名數(shù)學(xué)教育家斯根普所指出的：“兒童來到學(xué)校雖然還未接受正式教導(dǎo)，但所具備的數(shù)學(xué)知識卻比預(yù)料的多……他們所需要的幫助是從（學(xué)校教學(xué)）活動中組織和鞏固他們的非正規(guī)知識，同時需擴展他們這種知識，使其與我們社會文化部分中的高度緊密的知識體系相結(jié)合?！?/p>

當(dāng)然，我們還應(yīng)明確肯定數(shù)學(xué)知識向現(xiàn)實生活“復(fù)歸”的重要性。這正如著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所指出的：“數(shù)學(xué)的力量源于它的普遍性。人們可以用同樣的數(shù)去對各種不同的集合進行計數(shù)，也可以用同樣的數(shù)去對各種不同的量進行度量。……盡管運算所涉及的方面十分豐富，但又始終是同一個運算。但是，為了真正理解這種存在于多樣性之中的簡單性，在計算的同時我們又必須能夠由算法的簡單性回到多樣化的現(xiàn)實。”

總的來說，這就應(yīng)當(dāng)被看成“數(shù)學(xué)化”這一思維方式的完整表述，即其不僅直接涉及如何由現(xiàn)實原型抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念或問題，而且也包括了對于數(shù)量關(guān)系的純數(shù)學(xué)研究，以及由數(shù)學(xué)知識向現(xiàn)實生活的“復(fù)歸”。另外，相對于具體知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)而言，我們應(yīng)當(dāng)更加注意如何幫助學(xué)生很好地去掌握“數(shù)學(xué)化”的思想。這正如弗賴登塔爾所指出的：“數(shù)學(xué)化……是一條保證實現(xiàn)數(shù)學(xué)整體結(jié)構(gòu)的廣闊途徑……情境和模型，問題與求解這些活動作為必不可少的局部手段是重要的，但它們都應(yīng)該服從于總的方法。”

二、算術(shù)思維的基本形式—凝聚

由以下關(guān)于算術(shù)思維基本形式的分析可以看出，思維的分析相對于具體知識內(nèi)容的教學(xué)而言并非某種外加的成分，而是有著重要的指導(dǎo)意義。

具體地說，這正是現(xiàn)代關(guān)于數(shù)學(xué)思維研究的一項重要成果，即指明了所謂的“凝聚”，也即由“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化構(gòu)成了算術(shù)以及代數(shù)思維的基本形式，這也就是說，在數(shù)學(xué)特別是算術(shù)和代數(shù)中有不少概念在最初是作為一個過程得到引進的，但最終卻又轉(zhuǎn)化成了一個對象──對此我們不僅可以具體地研究它們的性質(zhì)，也可以此為直接對象去施行進一步的運算。

例如，加減法在最初都是作為一種過程得到引進的，即代表了這樣的“輸入—輸出”過程：由兩個加數(shù)（被減數(shù)與減數(shù)）我們就可求得相應(yīng)的和（差）;然而，隨著學(xué)習(xí)的深入，這些運算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個過程，而且也被認為是一個特定的數(shù)學(xué)對象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質(zhì)，如交換律、結(jié)合律等，從而，就其心理表征而言，就已經(jīng)歷了一個“凝聚”的過程，即由一個包含多個步驟的運作過程凝聚成了單一的數(shù)學(xué)對象。再如，有很多教師認為，分數(shù)應(yīng)當(dāng)定義為“兩個整數(shù)相除的值”而不是“兩個整數(shù)的比”，這事實上也可被看成包括了由過程向?qū)ο蟮霓D(zhuǎn)變，這就是說，就分數(shù)的掌握而言我們不應(yīng)停留于整數(shù)的除法這樣一種運算，而應(yīng)將其直接看成一種數(shù)，我們可以此為對象去實施加減乘除等運算。

綜上可見，在算術(shù)的教學(xué)中我們應(yīng)自覺地應(yīng)用和體現(xiàn)“凝聚”這樣一種思維方式。