李小綱

摘 要：數(shù)值積分是數(shù)值分析理論的重要內(nèi)容，也是解決科學(xué)與工程計(jì)算問(wèn)題的重要方法.本文主要對(duì)插值型積分公式及其復(fù)化積分公式進(jìn)行比較分析，最后通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其精確性和可靠性。

關(guān)鍵詞：數(shù)值積分；插值型；數(shù)值試驗(yàn)

一、 引言

微積分的發(fā)明是人類(lèi)科學(xué)史上一項(xiàng)偉大成就.但在實(shí)際問(wèn)題中，給定函數(shù)的定積分的計(jì)算不總是可行的，求解積分仍有許多局限性[1，2]。如的原函數(shù)不易求得，非常復(fù)雜，或被積函數(shù)沒(méi)有函數(shù)表達(dá)式，只以表格形式給出，其原函數(shù)沒(méi)任何意義.因此，尋求數(shù)值積分表達(dá)式的方法有重要的實(shí)際意義.

在諸多求解數(shù)值積分的方法中，方法是一種利用差值多項(xiàng)式來(lái)構(gòu)造數(shù)值積分的方法[4，6]，其構(gòu)造方法簡(jiǎn)單，但高階的方法的收斂性不能保證，因此，實(shí)際計(jì)算中很少使用高階公式，而是將積分區(qū)間細(xì)分，再每個(gè)小區(qū)間上使用低階公式，即復(fù)化的積分公式來(lái)達(dá)到提高計(jì)算精度的目的。本文對(duì)積分公式及其復(fù)化公式作了分析，并做數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了分析的正確性。

二、 數(shù)值積分的基本思想

在積分公式中，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，積分公式的代數(shù)精度至少為階，同時(shí)對(duì)公式對(duì)的情況，文中沒(méi)有列出.但對(duì)對(duì)公式，并不是階數(shù)越高，公式的精度就越高，理論實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng)時(shí)，系數(shù)會(huì)出現(xiàn)負(fù)值，此時(shí)公式的穩(wěn)定性不好。

四、 復(fù)化積分公式

由于積分公式的代數(shù)精度并不與成正比關(guān)系，同時(shí)為了提高公式的使用效果，人們將目標(biāo)轉(zhuǎn)向求積區(qū)間，即將整個(gè)積分區(qū)間先分成若干小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上使用低階求積公式，然后將每個(gè)小區(qū)間上的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行求和，將求和結(jié)果作為整個(gè)區(qū)間上積分的近似值，即復(fù)化積分的基本思想。

因此，復(fù)化梯形公式為：

五、 算例分析

下面針對(duì)不同被積函數(shù)的數(shù)值積分（被積函數(shù)的原函數(shù)是有解析表達(dá)式）分別采用梯形公式，公式，公式及它們的復(fù)化積分公式進(jìn)行求解[3，5]，積分區(qū)間為，計(jì)算結(jié)果如下：

由表一可以看出，梯形求積公式計(jì)算誤差最大，逼近效果最差，而積分公式計(jì)算誤差比梯形公式小一到兩個(gè)數(shù)量級(jí)，積分公式計(jì)算誤差比積分公式小兩個(gè)數(shù)量級(jí)，積分公式計(jì)算效果最好。從代數(shù)精度的角度分析，積分公式代數(shù)精度最高，積分公式代數(shù)精度低兩階，梯形求積公式代數(shù)精度最低，和理論分析相吻合。因此，一般情況下，代數(shù)精度越高，積分公式計(jì)算精度也越高。

結(jié)合表一和表二可以得出，復(fù)化Newton-Cotes公式計(jì)算誤差比單獨(dú)計(jì)算誤差要小。具體來(lái)看，復(fù)化梯形求積公式比單獨(dú)梯形求積公式計(jì)算誤差要小四個(gè)數(shù)量級(jí)，復(fù)化求積公式比單獨(dú)求積公式計(jì)算誤差要小7個(gè)數(shù)量級(jí)復(fù)化求積公式比單獨(dú)求積公式計(jì)算誤差要小8個(gè)數(shù)量級(jí)。

在表一中，當(dāng)被積函數(shù)為時(shí)，由積分公式和積分公式計(jì)算誤差為零，這是因?yàn)檫@兩種公式代數(shù)精度分別為三階和五階，它對(duì)于次數(shù)不超過(guò)三次和五次多項(xiàng)式是準(zhǔn)確成立，故計(jì)算誤差為零。

六、 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)插值型積分公式的理論分析和數(shù)值試驗(yàn)，得到以下結(jié)論：插值型求積公式中，積分公式的計(jì)算效果最好，但計(jì)算式所用節(jié)點(diǎn)多，計(jì)算量比較大，積分公式和梯形求積公式的精度低，但計(jì)算量?。粡?fù)化的Newton-Cotes公式比單獨(dú)的Newton-Cotes就算效果要好，但計(jì)算量較大。因此，在實(shí)際計(jì)算中，可以根據(jù)問(wèn)題的具體情況選擇合適積分公式來(lái)計(jì)算。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].武漢： 華中科技大學(xué)出版社，2006：79-92.

[2] 李有法.數(shù)值計(jì)算方法[M].北京：高等教育出版社，1996.

[3] 姜健飛.數(shù)值分析及Matlab試驗(yàn)[M].武漢： 科學(xué)出版社，2004.

[4] 余偉，鄭華盛，李羲.一類(lèi)新的高精度數(shù)值積分公式的構(gòu)造[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2012，42（18）：207-215.

[5] 劉鵬飛，徐乃楠.數(shù)值積分方法的比較教學(xué)研究與試驗(yàn)[J].長(zhǎng)春師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自認(rèn)科學(xué)版），2007，26（6）：23-26.

[6] 楊少華，華少?gòu)?qiáng).改進(jìn)的Simpson公式及其代數(shù)精度[J].沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào)（自認(rèn)科學(xué)版），2013，25（1）：80-83.

[7] 王能超.計(jì)算方法簡(jiǎn)明教程[M].北京：高等教育出版社，2004.