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        泰勒公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用

        2013-12-10 03:40:46屈明雙
        科學(xué)時(shí)代·上半月 2013年11期

        屈明雙

        【摘 要】本文給出了泰勒公式在近似計(jì)算中的幾個(gè)應(yīng)用,如果函數(shù)的形式過于復(fù)雜,就可以考慮利用泰勒公式將函數(shù)用簡單的多項(xiàng)式函數(shù)近似代替,然后依據(jù)具體的精度要求進(jìn)行計(jì)算,如超越函數(shù)的近似計(jì)算,導(dǎo)數(shù)的近似計(jì)算以及積分的近似計(jì)算。

        【關(guān)鍵詞】泰勒公式;超越函數(shù);數(shù)值微分;數(shù)值積分

        在高等數(shù)學(xué)課程中,泰勒公式一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn). 很多學(xué)生不理解為什么要引入泰勒公式,泰勒公式又由何而來. 實(shí)際上,如果教師在授課過程中,讓學(xué)生多了解一些泰勒公式的應(yīng)用,那么學(xué)生對該部分內(nèi)容的掌握必然會比較深入. 本文將對泰勒公式在近似計(jì)算這一方面的幾個(gè)應(yīng)用做簡單的介紹. 下面我們先回顧一下泰勒中值定理。

        如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù),則對任意,有

        其中 ,這里是介于與之間的某個(gè)值。

        1.超越函數(shù)的近似計(jì)算

        許多超越函數(shù)如三角函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)等都無法算出其精確值,但在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中,卻需要求出來,學(xué)習(xí)了泰勒公式后,就可以將復(fù)雜的函數(shù)用簡單的多項(xiàng)式函數(shù)近似表達(dá),從而求出符合精度要求的近似值. 這部分的應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)課本中介紹較多,在這里僅通過一個(gè)例題來體現(xiàn),不再贅述.

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        3.積分的近似計(jì)算

        眾所周知,可以利用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算定積分,可是當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)復(fù)雜,求原函數(shù)困難時(shí),或的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示時(shí),很多積分的計(jì)算就變得相當(dāng)困難,如,等,有了泰勒公式這一工具,可以考慮將被積函數(shù)用簡單的函數(shù)表示出來,再進(jìn)行積分計(jì)算求得數(shù)值解。

        從幾何意義上來說,就是用矩形面積近似代替了曲邊梯形面積,上述兩式稱為矩形求積公式。

        參考文獻(xiàn):

        [1] 常迎香,栗永安等. 高等數(shù)學(xué)[M]. 北京:科學(xué)出版社,2009.

        [2] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,高等數(shù)學(xué)(第五版)[M]. 北京:高等教育出版社,2003.

        [3] 易大義,沈云寶,李有法,計(jì)算方法(第二版)[M],浙江:浙江大學(xué)出版社,2002.

        [4] 電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法[M],北京:高等教育出版社,2001.

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