田春芝　徐澤林

近代科學(xué)革命的發(fā)生有其社會文化等方面的復(fù)雜原因，其中數(shù)學(xué)發(fā)揮的作用至為重要：通過文藝復(fù)興，歐洲學(xué)術(shù)界繼承了希臘理性主義重視數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)；希臘化文明時期數(shù)學(xué)作為研究自然的工具在數(shù)理天文學(xué)、力學(xué)方面獲得成功，其做法為近代所采用，尤其是文藝復(fù)興之后產(chǎn)生的新數(shù)學(xué)，為近代自然科學(xué)研究提供了強有力的工具；至17世紀(jì)，數(shù)學(xué)已成為自然科學(xué)范式的核心部分。

數(shù)學(xué)與科學(xué)是兩個不同的學(xué)科概念，兩者有著不同的研究對象和研究方法，盡管從古代希臘文明開始，兩者一直聯(lián)系在一起。近代科學(xué)革命時期，倡導(dǎo)研究科學(xué)的基本方法是從物理現(xiàn)象中抽象出規(guī)律并用數(shù)學(xué)公式加以表述，數(shù)學(xué)被廣泛地應(yīng)用于天文學(xué)和物理學(xué)。數(shù)學(xué)在近代科學(xué)革命中發(fā)揮著重要的作用。希臘理性主義數(shù)學(xué)精神在近代歐洲的復(fù)興

足夠的閑暇、自由和好奇心，讓古希臘人偏重哲學(xué)思考，他們認(rèn)為只有通過考慮抽象的事物才能獲得一般性，而這比研究具體的事物困難得多。泰勒斯（Thales，約前624-約前546）提出“萬物源于水”之說，認(rèn)為感官不可靠，也排除超自然因素的干預(yù)，開啟了對事物進行理性思考的先河。其后繼者又分別提出各種元素說或原子論，畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，約前580-約前500）學(xué)派更主張“數(shù)”是萬物的本原。這些樸素的原子論，說明世界的終極組成由具體可見的物質(zhì)過渡到抽象的東西，并認(rèn)為只有上升到抽象的高度才能得比可靠的知識。阿那克薩戈拉（Anaxagoras，約前500-約前428）所言“理性統(tǒng)治著世界”表達(dá)了這種主張理性觀點的精髓。在希臘人看來，只有奴隸和低賤的人才去從事體力勞動，這種傳統(tǒng)為雅典的哲學(xué)家所發(fā)揚。柏拉圖（Plato，約前427-約前347）說：“算術(shù)應(yīng)該應(yīng)用于知識。而非貿(mào)易，對于一個自由人來說，從事商業(yè)貿(mào)易是一種墮落，希望將商業(yè)貿(mào)易職業(yè)作為一種犯罪行為予以懲罰?！眮喞锸慷嗟拢ˋristotle，前384-前322）也宣稱，在一個完美的國度里，公民不應(yīng)該從事手工操作技藝。

希臘哲學(xué)家關(guān)注的核心問題是抽象概念與最具普遍性的問題，認(rèn)為它們只有通過理性（超經(jīng)驗）才能獲得，從確定性的公理通過邏輯演繹得出的結(jié)論是確定的，是真理，因此作為理論抽象化的數(shù)學(xué)尤其是演繹證明和幾何學(xué)，得到了重視理性精神的希臘人的偏愛。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)識到數(shù)學(xué)中的數(shù)和圖形是抽象的，由此提出“萬物皆數(shù)”的哲學(xué)觀念。菲洛拉奧茲（Philolaus，約前470-約前385）說：“如果沒有數(shù)和數(shù)的性質(zhì)，世界上任何事物本身或其與別的事物的關(guān)系都不能為人所清楚了解……你不僅可以在鬼神的事務(wù)上，而且在人間的一切行動和思想上乃至在一切行業(yè)和音樂上看到數(shù)的力量?！碑呥_(dá)哥拉斯主義為柏拉圖所繼承，他指出：“數(shù)學(xué)實質(zhì)上是物質(zhì)世界的客觀存在，宇宙存在規(guī)律和秩序，數(shù)學(xué)是達(dá)到這種有序的關(guān)鍵，而且人類理性可以洞察這個設(shè)計并揭示數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?！睌?shù)學(xué)同善、美等概念一樣是抽象的、永恒的思維觀念，不能與世俗生活混為一談，數(shù)學(xué)是為哲學(xué)做準(zhǔn)備的。

羅馬人輕視抽象的數(shù)學(xué)知識，注重實用，忽視對理性的重視，數(shù)學(xué)是與占星術(shù)聯(lián)系在一起的。基督教的興起使得《圣經(jīng)》占據(jù)了統(tǒng)治地位，主張并不需要太多的數(shù)學(xué)知識，僅僅需要對心靈、靈魂有用的數(shù)學(xué)就足夠了。從12世紀(jì)到15世紀(jì)中葉，教會中的經(jīng)院哲學(xué)派把亞里士多德、托勒玫（Claudius Ptolemaeus，約90-約168）的一些學(xué)術(shù)著作奉為絕對正確的教條，妄圖用這種新的權(quán)威主義來繼續(xù)束縛人們的思想。對于理性的忽視使得人們陷于愚昧和無知之中，科學(xué)淪為神學(xué)的婢女。直至中世紀(jì)末期，理性精神才開始受到重視，例如羅杰·培根（Roger Bacon，約1214-約1293，亦作羅吉爾·培根）認(rèn)為“危險莫大于愚昧”，極力強調(diào)理性應(yīng)該對意志起主導(dǎo)作用，稱：“理性正是正當(dāng)意志的領(lǐng)導(dǎo)者，他使意志得救?！痹谄洹墩軐W(xué)研究綱要》中，他還指出：“托馬斯的體系看起來是個龐然大物，但這座神學(xué)大廈缺少真正的哲學(xué)應(yīng)有的兩塊基石：數(shù)學(xué)和自然科學(xué)?！彼_信數(shù)學(xué)是最理想的科學(xué)，其他科學(xué)的可靠性皆以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，科學(xué)原理的真實性取決于是否以數(shù)學(xué)形式來表達(dá)，我們對其他科學(xué)的認(rèn)識唯一地依賴于數(shù)學(xué)。他甚至斷言“數(shù)學(xué)是一切其他科學(xué)的門徑和鑰匙……不懂?dāng)?shù)學(xué)人們就不能了解這個世界的任何其他科學(xué)和事物”。羅杰·培根深受阿拉伯文化以及由阿拉伯人傳播的古希臘哲學(xué)的影響，為促進理性精神的覺醒和數(shù)學(xué)精神的復(fù)興進行了不遺余力的反抗，并用畢生智慧在精神上架起了一座從阿拉伯文化到文藝復(fù)興時代的科學(xué)橋梁。羅素（Bertrand Russell，1872-1970）在《西方哲學(xué)史》中曾這樣描繪羅杰·培根：“與其說他是個狹義的哲學(xué)家，不如說他更多地是個酷愛數(shù)學(xué)和科學(xué)的大博學(xué)家?！?/p>

文藝復(fù)興時期，人們從阿拉伯人傳人的書籍中重新獲得古希臘文化的優(yōu)秀遺產(chǎn)，尤其是包含在這些古籍中的自由探討的理性精神使人們恢復(fù)了對理性的信賴，從而把視角轉(zhuǎn)向回歸自然，用數(shù)學(xué)這把理性的金鑰匙去重建知識。數(shù)學(xué)在認(rèn)識自然和探索真理方面的意義被文藝復(fù)興時期的代表人物高度強調(diào)，促使科學(xué)數(shù)學(xué)化的趨勢走向繁榮。達(dá)·芬奇（Leonardo daVinci，1452-1519）就這樣說過：“一個人若懷疑數(shù)學(xué)的極端可靠性就是陷入混亂，他永遠(yuǎn)不能平息詭辯科學(xué)中只會導(dǎo)致不斷空談的爭辯……因為人們的探討不能稱為科學(xué)的，除非通過數(shù)學(xué)上的說明和論證。”弗朗西斯·培根（Francis Bacon，1561-1626）也意識到數(shù)學(xué)的作用，他在《科學(xué)研究的方法論》中曾提到對數(shù)學(xué)作用的看法：“當(dāng)物理學(xué)由數(shù)學(xué)來限定時，對自然界的研究就能很好地進行。”唯理主義哲學(xué)家笛卡兒（Ren6 Descartes，1596-1650）更是認(rèn)為自然界是量和可用量來刻畫的幾何圖形的世界，一切自然現(xiàn)象均可用數(shù)學(xué)來完全描述和解釋。他說：“由于數(shù)學(xué)推理確定無疑、明了清晰，我特別喜愛數(shù)學(xué)……我為它的基礎(chǔ)如此穩(wěn)固堅實而驚奇，在知識結(jié)構(gòu)中，數(shù)學(xué)應(yīng)該是最高的?！辟だ裕℅alileo Galilei，1564-1642）則認(rèn)為“宇宙這本書是用數(shù)學(xué)的語言寫成的”。到17世紀(jì)，數(shù)學(xué)的發(fā)展與科學(xué)的革新緊密地結(jié)合在一起，促進了希臘理性主義數(shù)學(xué)精神的復(fù)興。

新數(shù)學(xué)為近代自然研究提供了工具

亞歷山大時期，純理論的數(shù)學(xué)和實際應(yīng)用的界限不再那么明顯，人們也不再鄙視數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用，哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家開始注重觀察和實驗。阿基米德（Archimedes，約前287-約前212）通過實驗注重技術(shù)，并運用數(shù)學(xué)分析中的“窮竭法”求面積和體積，總結(jié)了杠桿原理和浮力定律，從而奠定了靜力學(xué)的基礎(chǔ)，對數(shù)學(xué)和物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響?？茖W(xué)史家丹皮爾（William Cecil Dampier，1867-1952）在《科學(xué)史》中給出如下評價：“他的工作比任何別的希臘人的工作都更具有把數(shù)學(xué)和實驗研究結(jié)合起來的真正現(xiàn)代精神?！卑⒗顾耍ˋristarchus，約前310-約前230）和埃拉托色尼（Eratosthenes，約前276-約前194）利用畢達(dá)哥拉斯定理和三角學(xué)分別計算出日地與月地的距離之比和地球的周長。依巴谷（Hipparcos，約前190-約前125，亦作Hipparchus，譯作喜帕恰斯）發(fā)明了一種“屈光儀”來測量太陽和月亮的視直徑，還可能發(fā)明了星盤。在中世紀(jì)和文藝復(fù)興時期，星盤普遍用于天文觀測和計算。托勒玫利用數(shù)學(xué)模型構(gòu)造了偏心圓模型、偏心勻速點模型和本輪一均輪模型，又利用依巴谷創(chuàng)造的數(shù)值與幾何分析使行星天文學(xué)達(dá)到了難以企及的數(shù)學(xué)水平。作為一個致力于用數(shù)學(xué)手段來“拯救現(xiàn)象”的研究天界的數(shù)學(xué)家，托勒玫影響了中世紀(jì)和文藝復(fù)興時期。而阿波羅尼奧斯（Apollonius，約前262-約前190）關(guān)于圓錐截面的著作為近代天文學(xué)研究提供了新的數(shù)學(xué)工具。

中世紀(jì)早期，雖然西方的數(shù)學(xué)幾乎處于停滯時期，但同時期的東方數(shù)學(xué)卻取得了長足的進展。阿拉伯人薩比特·伊本·古爾雷（Thabitibn Qurra，826-901）翻譯了歐幾里得（Euclid，約前330-約前275）、阿基米德、阿波羅尼奧斯和托勒玫的著作，繼承、吸收了希臘文化的精髓并進行了創(chuàng)新。另一方面，阿拉伯人也繼承了東方的代數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，使古代東西方數(shù)學(xué)文化在阿拉伯人那里得到了融會貫通。后來，隨著基督徒攻陷西班牙和收復(fù)意大利的西西里，許多熱心的學(xué)者一旦知道阿拉伯人已經(jīng)把他們所占有的希臘名著翻譯出來之后，就立即設(shè)法把它們弄到手，并且翻譯成拉丁文，如穆薩·花拉子米（Muhammad ibn Mus aal-Khowa rizmi，約780一約850）的《代數(shù)學(xué)》，圖西（Nasiral-Dinal-Tūsī，1201-1274，又譯納西爾?。┑娜菍W(xué)著作《論四邊形》，卡希（Jamshīd A1-Kāshī，約1380-約1429）的《圓周論》等，這些兼具東西方數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)知識，為文藝復(fù)興時期數(shù)學(xué)新工具的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。

中世紀(jì)末期最偉大的數(shù)學(xué)家斐波那契（LeonardoFibonacci，1175-1250）的《算盤之書》繼承了阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的傳統(tǒng)，為西方數(shù)學(xué)復(fù)興的嚆矢。他介紹了印度的記數(shù)制度、阿拉伯?dāng)?shù)字、整數(shù)、分?jǐn)?shù)和一次同余式等，并且用字母表示數(shù)字也是由他首開先河。斯蒂文（Simon Stevin，1548-1620）創(chuàng)造了十進小數(shù)，使得計算更為方便。納皮爾（John Napier，1550-1617）發(fā)明了對數(shù)，不到一個世紀(jì)對數(shù)就傳遍世界，成為不可缺少的計算工具。伽利略對此說道：“給我空間、時間和對數(shù)，我即可創(chuàng)造一個宇宙！”

16世紀(jì)中期，韋達(dá)（Franqois Viète，1540-1603）開始系統(tǒng)地使用字母代數(shù)，后來笛卡兒對其符號代數(shù)做了進一步的改進。代數(shù)不僅能用來對抽象的未知量進行推理，而且使數(shù)學(xué)研究走上代數(shù)分析的道路，也使數(shù)學(xué)研究對象具有一般化與普遍性。笛卡兒和費馬（Pierre de Fermat，1601-1665）都主張將代數(shù)和幾何中的一切精華結(jié)合起來，進而促進了解析幾何的誕生，為近代數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了寬廣的舞臺。另外，在無窮小分析方面，開普勒（Johannes Kepler，1571-1630）求旋轉(zhuǎn)體體積、卡瓦列里（BonaventuraCavalieri，1598-1647）的不可分量原理、費馬求極值的虛擬等式法以及巴羅（Isaac Barrow，1630-1677）的微分三角形方法等，都為微積分的誕生奠定了基礎(chǔ)。牛頓（Isaac Newton，1643-1727）和萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716）利用解析幾何工具成功地創(chuàng)造出了微積分，微積分成為牛頓經(jīng)典力學(xué)分析的最基本數(shù)學(xué)工具，并且也是近代天文學(xué)與物理學(xué)研究的最重要的數(shù)學(xué)工具。數(shù)學(xué)成為近代自然科學(xué)范式的核心部分

范式（paradigm）概念與理論是由庫恩（ThomasSamuel Kuhn，1922-1996）提出的，他認(rèn)為科學(xué)知識蘊含在理論和規(guī)則中。在《科學(xué)革命的結(jié)構(gòu)》一書中他指出，范式作為一種理論框架指導(dǎo)科學(xué)共同體成員的行為和研究，它是由一些具有普遍性的理論假設(shè)和定律以及應(yīng)用方法構(gòu)成，而這些理論假設(shè)、定律和應(yīng)用方法都是某個特定的科學(xué)共同體成員所接受的。常規(guī)科學(xué)所賴以運作的理論基礎(chǔ)和實踐規(guī)范，是從事某一科學(xué)的研究者群體所共同遵從的世界觀和行為方式。本文強調(diào)的范式特指一種探索自然的方法論。

近代科學(xué)的范式是從清楚可證實的現(xiàn)象出發(fā)構(gòu)造定律，這些定律用數(shù)學(xué)的精確語言描述大自然的運作，應(yīng)用數(shù)學(xué)推理，進而從這些定律中推導(dǎo)出新的定律。它有四個基本特征：第一，是將物理現(xiàn)象進行量化描述并用數(shù)學(xué)公式來表達(dá)；第二，是將現(xiàn)象中最基本的性質(zhì)（公式中的變量）分離出來度量；第三，是在基本物理原理的基礎(chǔ)上演繹地建立科學(xué)理論；第四，是理想化。但是，到17世紀(jì)初，數(shù)學(xué)依然未能普遍應(yīng)用于物理學(xué)。科學(xué)革命的范式直到伽利略才真正出現(xiàn)并得到了科學(xué)共同體的認(rèn)可和采用。

新柏拉圖主義包含著畢達(dá)哥拉斯成分，強調(diào)在自然界中尋找數(shù)學(xué)關(guān)系，且關(guān)系愈簡單愈好，從此方面來看也就愈接近自然。哥白尼（NicolasCopernicus，1473-1543）天文學(xué)就受到了新柏拉圖主義的影響。他發(fā)現(xiàn)每個行星都有三種共同的周期運動即一日一周、一年一周和相當(dāng)于歲差的周期運動，進而認(rèn)為如果把這三種運動都?xì)w到靜止不動的太陽上，就可消除不必要的復(fù)雜性，畢竟“自然界能通過少數(shù)東西起作用時，就不會通過許許多多的東西來起作用”。在這一假設(shè)的前提下他進行了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)如果將太陽改為宇宙的中心，可以將圓周數(shù)從77個減為34個。由于信奉“自然界愛好簡單性，不偏好繁文縟節(jié)”，他認(rèn)為自己找到了對于天體運動的一種更簡單的數(shù)學(xué)描述——太陽位于宇宙的中心，水星、金星、地球帶著月亮、火星、木星和土星依次繞太陽運行，最外圍是靜止的恒星天層。開普勒也認(rèn)為宇宙是按照一個事先建立好的數(shù)學(xué)方案安排的，他對哥白尼體系的簡潔性深有感觸，并且努力尋找簡單、和諧的數(shù)學(xué)關(guān)系，其三大定律即是最有力的證明。盡管對于反對日心說的人提出的很多合理的反對意見沒能給出滿意的回答，但哥白尼和開普勒堅持認(rèn)為，通過數(shù)學(xué)方法得出定量的知識才稱得上是確定的知識。直到伽利略將望遠(yuǎn)鏡對準(zhǔn)天空，實際的物證才支持了數(shù)學(xué)的理論。由此也看出數(shù)學(xué)在建立天文學(xué)新理論方面發(fā)揮的巨大作用。

伽利略在研究自由落體運動時采用實驗一數(shù)學(xué)方法，通過觀察做出假說后通過數(shù)學(xué)分析推出自由落體定律。他采用不同傾斜度的斜面，用“水鐘”作為計時器，在相等的時間間隔內(nèi)測量小球滾下的距離；用重量不同的球在不同傾角的斜面上重復(fù)了幾百次，最后證明小球走過的距離與時間的平方成正比。在教堂的無意發(fā)現(xiàn)使他認(rèn)識到擺的周期與擺的輕重和振幅無關(guān)，只與擺長有關(guān)，通過一系列的數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明擺的周期與擺長的平方根成正比。他還利用實驗與數(shù)學(xué)推理發(fā)現(xiàn)勻速直線運動的慣性定律。愛因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）對此曾評價說慣性定律標(biāo)志著物理學(xué)的第一個大進步，事實上是物理學(xué)的真正開端。伽利略在研究拋體運動時指出：“僅用數(shù)學(xué)便得出如此嚴(yán)格的證明，這使我心中充滿了又驚又喜的感覺?！彼麑⑺械某晒凇蛾P(guān)于兩門新科學(xué)的方法和數(shù)學(xué)證明》中進行了詳細(xì)闡述，與哥白尼天文學(xué)根據(jù)數(shù)學(xué)的簡單性這一“先驗”原則建立不同，他運用實驗和數(shù)學(xué)相結(jié)合的方法，在科學(xué)方法論方面為近代自然科學(xué)開創(chuàng)了一個新時期。愛因斯坦在《物理學(xué)的進化》中曾經(jīng)說：“從亞里士多德的思想方法轉(zhuǎn)變到伽利略的思想方法，已經(jīng)成為奠定科學(xué)基礎(chǔ)的最重要的一塊基石，這個轉(zhuǎn)機一旦實現(xiàn)，以后發(fā)展的路線就很清楚了?！辟だ允墙茖W(xué)方法論的奠基人，他在物理學(xué)中特別強調(diào)演繹數(shù)學(xué)部分比實驗部分的作用還大，實際上伽利略所做的大部分實驗都是思想實驗，他根據(jù)日常經(jīng)驗和數(shù)學(xué)推理去想象實驗中得到的結(jié)果應(yīng)該是符合數(shù)學(xué)公式的。對此牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》末尾部分評價道：“但是我們的目的是要從現(xiàn)象中尋找出這個力的數(shù)量和性質(zhì)，并且把我們在簡單情形下發(fā)現(xiàn)的東西作為原理。通過數(shù)學(xué)方法，我們可以估計這些原理在較為復(fù)雜情形下的效果……我們說通過數(shù)學(xué)方法，是為了避免關(guān)于這個力的本性或質(zhì)的一切問題，這個質(zhì)是我們用任何假設(shè)都不會確定出來的”。

伽利略使現(xiàn)代物理科學(xué)駛向了數(shù)學(xué)的航道，奠定了現(xiàn)代力學(xué)的基礎(chǔ)，并為所有現(xiàn)代科學(xué)思想樹立了典范。正如沃爾夫（Abraham Wolf，1877-1948）在《16-17世紀(jì)科學(xué)、技術(shù)和哲學(xué)史》中說的：“伽利略對于落體定律、擺和拋射體運動的研究，提供了科學(xué)地把定量實驗與數(shù)學(xué)論證相結(jié)合的典范，它至今仍是精密科學(xué)的理想方法。”

牛頓繼承了伽利略的方法論，展示了其無與倫比的有效性。他將實驗一數(shù)學(xué)方法做了進一步的完善：首先通過實驗對觀察現(xiàn)象進行化簡；其次是借助微積分對實驗化簡后的現(xiàn)象進行闡述；最后進行嚴(yán)格的實驗來證實最終的結(jié)論。他將引力問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，在沒有確定引力的物理本性的前提下，僅用數(shù)學(xué)關(guān)系就解決了問題，這種自信體現(xiàn)在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》的序言中：“從這些力出發(fā)，再通過其他一些數(shù)學(xué)命題，我推導(dǎo)出了行星、彗星、月球和大海的運動。我希望能夠通過同樣的推理從力學(xué)原理出發(fā)推導(dǎo)出其他的自然現(xiàn)象。”

利用引力定律，牛頓計算出太陽的質(zhì)量以及具有可觀測衛(wèi)星的行星的質(zhì)量，對于彗星的出現(xiàn)日期也做了準(zhǔn)確的預(yù)言。海王星的發(fā)現(xiàn)也是引力定律運用在天文學(xué)上的典型事例。天王星運動的反?，F(xiàn)象促使人們思考這是由于另一未知行星的攝引所引起的。天文學(xué)家亞當(dāng)斯（John Couch Adams，1819-1892）和勒威耶（Urbain Le Verrier，1811-1877）利用天文學(xué)理論和觀察到的不規(guī)則性，通過數(shù)學(xué)方法計算出了想象中存在的行星的軌道，觀察者們通過他們演算的行星的時間和位置，發(fā)現(xiàn)了這顆行星的實際存在。假設(shè)海王星存在純粹是通過引力定律做出的推測，但是通過數(shù)學(xué)的定量方法成功地確定了它的位置。

結(jié)論

科學(xué)革命的進程可以說是自然數(shù)學(xué)化的過程，戴克斯特爾黑斯（Eduard Jan Diiksterhuis.1892-1965）把“自然的數(shù)學(xué)化”理解為用數(shù)學(xué)語言來描述物理實在，他說：“那時必須達(dá)成一種對待自然的全新觀點：探究事物真正本性的實體性（substantial）思維，不得不替換成試圖確定事物行為相互依賴性的函數(shù)性（functional）思維；對自然現(xiàn)象的語詞處理必須被拋棄，取而代之的則是對其經(jīng)驗關(guān)系的數(shù)學(xué)表述?！贝藭r，古典時期的數(shù)學(xué)實在論轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)表征論，即數(shù)學(xué)不過是表征物理實在之間的關(guān)系或結(jié)構(gòu)的語言或句法，正如笛卡兒在《哲學(xué)原理》中所言：“用這種方式就可以解釋一切自然現(xiàn)象。”“它比人類流傳下來的其他獲取知識的工具更有力量，是其他工具的源泉。”巴特菲爾德（Herbert Butterfield，1900-1979）在其《近代科學(xué)的起源》一書中曾這樣感嘆道：“……科學(xué)也給人以這樣深刻的印象，即它們正在迫使數(shù)學(xué)站到整個時代的前沿。正如我們所知，沒有數(shù)學(xué)家的種種成就，科學(xué)革命是絕不可能的?！弊鳛橐婚T精確的、推理的、描述物體之間函數(shù)關(guān)系的語言，數(shù)學(xué)這種表征工具逐漸成為科學(xué)研究的范式。

關(guān)鍵詞：理性 數(shù)學(xué) 自然科學(xué) 科學(xué)革命 范式