浙江省溫州中學(xué)　(325014)　吳時(shí)月

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再談“對(duì)一道高考試題的質(zhì)疑與探究”

浙江省溫州中學(xué)(325014)吳時(shí)月

抽象函數(shù)的對(duì)稱性、周期性是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，這類(lèi)問(wèn)題由于抽象程度高，解答過(guò)程靈活，不僅學(xué)生難以把握，老師在命題時(shí)也會(huì)經(jīng)常出錯(cuò)．近期，筆者在查閱文獻(xiàn)時(shí)，看到文【1】中的“對(duì)一道高考試題的質(zhì)疑與探究”，深有感觸，并對(duì)此類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行更深入的思考，作為對(duì)文【1】探究的繼續(xù)，現(xiàn)記述如下．

一、真題再現(xiàn)

(2005福建理)已知f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f(2)=0，則方程f(x)=0在區(qū)間(0,6)內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是().

A．2B．3C．4D．5

命題組提供的流行錯(cuò)解：f(2)=f(5)=0,f(0)=f(3)=0,f(2)=f(-1)=-f(1)=-f(4)=0，所以f(1)=f(4)=0．所以答案選D．

(2005福建文)已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且f(2)=0，則方程f(x)=0在區(qū)間(0,6)內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是().

A．5B．4C．3D．2

命題組提供的基本解法：f(2)=f(5)=0,f(2)=f(-2)=f(1)=f(4)=0，此解法則是正確無(wú)疑，相比于理科題，條件僅由奇函數(shù)變成偶函數(shù)，結(jié)果則是大相徑庭．

二、錯(cuò)題剖析

此題是在講授抽象函數(shù)的內(nèi)容時(shí)經(jīng)常遇到的一道錯(cuò)題，下面先提供學(xué)生的兩種解法：

解法一、二的圖像延拓如圖1：

圖1

兩種解法的答案為什么不一致呢？很多學(xué)生都找不出錯(cuò)誤的地方.究其原因，是因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)的條件多余，從而導(dǎo)致自相矛盾的表達(dá)式；或者把條件f(x+1)+f(x)=1改為f(x+2)=f(x)，則函數(shù)的表達(dá)式就唯一確定了，深究原因，是因?yàn)闂l件f(x+1)+f(x)=1在給出周期性的同時(shí)，還可以利用此條件得到相應(yīng)區(qū)間的表達(dá)式，造成自相矛盾的結(jié)果. (或者說(shuō)：f(x+1)+f(x)=1只是f(x+2)=f(x)的充分不必要條件，而不是充要條件)

以下的例題也是很多復(fù)習(xí)參考書(shū)中經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)題：

A.是增函數(shù),且f(x)<0

B.是增函數(shù),且f(x)>0

C.是減函數(shù),且f(x)<0

D.是減函數(shù),且f(x)>0

只要稍加修改，以上錯(cuò)題便可成為典型的例題：

A.是增函數(shù),且f(x)<0

B.是增函數(shù),且f(x)>0

C.是減函數(shù),且f(x)<0

D.是減函數(shù),且f(x)>0

A.是增函數(shù),且f(x)<0

B.是增函數(shù),且f(x)>0

C.是減函數(shù),且f(x)<0

D.是減函數(shù),且f(x)>0

以典型例題3″為例，下面提供兩種常用的解法：

解法一、二的圖像延拓如圖2：

圖2

三、典例探究

典型例題5定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(3+x)=f(3-x)，若當(dāng)x∈(0,3)時(shí)，f(x)=2x，則當(dāng)x∈(-6,-3)時(shí)，f(x)=() .

A. 2x+6B. -2x+6C.2x-6D.-2x-6

典型解法一：由f(x+6)=f(-x)，f(-x)=-f(x)得f(x+6)=-f(x).當(dāng)x∈(-6,-3)時(shí)，x+6∈(0,3)，所以f(x+6)=2x+6=-f(x)，即f(x)=-2x+6.選B.

典型解法二：當(dāng)x∈(3,6)時(shí)，6-x∈(0,3)，所以f(x)=f(6-x)=26-x,當(dāng)x∈(-6,-3)時(shí)，-x∈(3,6)，所以f(x)=-f(-x)=-2x+6.

解法一、二的圖像延拓如圖3所示：

典型例題5′定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(3+x)=f(3-x)，若當(dāng)x∈(0,3)時(shí)，f(x)=2x，當(dāng)x∈(-12,-9)時(shí)，求f(x)的表達(dá)式.

解：當(dāng)x∈(-12,-9)時(shí)，x+12∈(0,3)，所以f(x+12)=212+x=-f(x+6)=f(x),即當(dāng)x∈(-12,-9)時(shí)，f(x)=212+x.

此題背后隱藏著抽象函數(shù)的另一個(gè)重要性質(zhì)(如圖4)：既有對(duì)稱中心，又有對(duì)稱軸的函數(shù)，必有周期. 具體性質(zhì)如下：

性質(zhì)1若函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,y0)和直線x=b對(duì)稱，則4|b-a|是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期.

性質(zhì)2若函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a和x=b對(duì)稱，則2|b-a|是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期.

性質(zhì)3若函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,y0)和點(diǎn)(b,y0)對(duì)稱，則2|b-a|是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期.

四、反思總結(jié)

每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題都有它的數(shù)學(xué)本質(zhì)，面對(duì)一個(gè)問(wèn)題，如果只看到問(wèn)題的表層，就無(wú)法深入到問(wèn)題的內(nèi)核，看不透問(wèn)題的本質(zhì)，正所謂“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中” .所以，在平時(shí)的解題和探究過(guò)程中就應(yīng)該通過(guò)問(wèn)題的解決揭示問(wèn)題的本質(zhì)，使數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)單而自然．

參考文獻(xiàn)

[1] 馬進(jìn)才.對(duì)一道高考試題的質(zhì)疑與探究[J].數(shù)學(xué)通訊,2013(9).