江蘇蘇州市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)　(215004)　王　耀

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2015年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第5題的多方位探究*

江蘇蘇州市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)(215004)王耀

在2015年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷中，有一道含二元變量的最值問題，設(shè)計(jì)精巧，內(nèi)涵豐富，并且這種問題也常出現(xiàn)在高中各類數(shù)學(xué)考試中，筆者將以此題為例，從不同的審題角度出發(fā)去探究其解法，整理成文與讀者交流.

1.問題再現(xiàn)

已知實(shí)數(shù)x，y滿足關(guān)系式xy-x-y=1，則x2+y2的最小值為 ().

2.分析視角與解法探究

(1) 分析視角1——函數(shù)與方程思想

由題設(shè)關(guān)系式得到x+y和xy的相互聯(lián)系，由此可結(jié)合韋達(dá)定理根據(jù)兩根關(guān)系構(gòu)造一元二次方程，進(jìn)而再由方程有解去挖掘隱含條件，具體解法如下：

(2) 分析視角2——基本不等式法

許多求最值的問題除了轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題外，也可利用基本不等式法去求解，能得到如下兩種解法：

評(píng)注1:解法2利用了基本不等式和二元不等式4xy≤(x+y)2，順利解題，這里的重要不等式本質(zhì)上與解法1中判別式Δ≥0是一致的；解法3則利用了消元法和換元法，局部構(gòu)造基本不等式結(jié)構(gòu)解題，這種先減元再換元的分析方式是解決問題的常規(guī)思路.

(3)分析視角3——數(shù)形轉(zhuǎn)化思想

圖1

圖2

其次，解法5利用導(dǎo)數(shù)和切線方程聯(lián)立方程組解出切點(diǎn)和斜率，利用雙曲線的對(duì)稱性也能立即得到切線與直線y=x垂直，即斜率為-1.

(4)分析視角4——三角換元法

在分析x2+y2的范圍問題時(shí)，也常采用三角換元法進(jìn)行求解，進(jìn)而將不等式問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程問題，即化為等式問題進(jìn)行分析.

(5)分析視角5——和差換元法

在含有二次項(xiàng)xy的等式中，可利用和差換元法將所有的二次項(xiàng)全部轉(zhuǎn)化為平方項(xiàng)，從而可將問題簡(jiǎn)單化，體現(xiàn)其本質(zhì).

評(píng)注3:本解法的幾何本質(zhì)即為通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換,將雙曲線轉(zhuǎn)化為關(guān)于x軸對(duì)稱的等軸雙曲線.亦可采用類似解法3中的數(shù)形結(jié)合法迅速解題，此處不再贅述.

(6)分析視角6——引參代換法

由于xy-x-y-1=0，故可以考慮進(jìn)行引參并整體代換后得到曲線系方程，從而可進(jìn)行配方法解題.

評(píng)注4:本解法采用這種待定系數(shù)法的靈感來(lái)自于高等數(shù)學(xué)中的拉格朗日乘法求極值，高等數(shù)學(xué)中采用求偏導(dǎo)的方法，而上述配方法也能充分體現(xiàn)初等數(shù)學(xué)的樂趣和魅力.

3結(jié)語(yǔ)

“讓學(xué)生體會(huì)到思維過(guò)程”——一直是筆者在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中遵循的基本原則. 因此，在前文中，筆者嘗試從不同的審視角度對(duì)一道聯(lián)賽題進(jìn)行一題多思，從多角度、多方位地去探討問題的實(shí)質(zhì)，并體會(huì)數(shù)學(xué)思想和解題的方法，文中給出的方法既有常規(guī)的通法，也有一些轉(zhuǎn)化技巧的分析；研究這些不同的分析轉(zhuǎn)化思維，能更好地梳理和構(gòu)建知識(shí)框架，更為重要的是能從這些不同的思維發(fā)展過(guò)程中，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性，樹立全方位、多角度審視問題的觀念，從而培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

*本文是江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度立項(xiàng)課題《高中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)》(編號(hào)：B-b/2015/02/119)的研究成果之一.