孫 榮

(重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067)

1 引言

目前我國(guó)是世界上老齡化程度最高的國(guó)家之一，65歲以上的老年人口已接近1.3億人，處于快速老齡化階段.而到了2012年至2050年，我國(guó)將處于加速老齡化階段，這一階段老齡人口將穩(wěn)定在3–4億，超過總?cè)丝诘?3%，老年人口達(dá)到高峰，人口撫養(yǎng)將隨老年人口撫養(yǎng)比大幅提高.屆時(shí)，我國(guó)將面臨人口老齡化、總?cè)丝谶^多的雙重困境，這一切將會(huì)給我國(guó)的經(jīng)濟(jì)、社會(huì)帶來嚴(yán)峻挑戰(zhàn).不僅如此，中國(guó)人口的預(yù)期壽命已經(jīng)呈現(xiàn)穩(wěn)步上升的趨勢(shì)，1980年至2010年期間，平均每五年上升約1歲.如果退休年齡政策不變，則意味著老年人口退休后的余壽不斷增加，我國(guó)退休人員每年約增加300萬人，而我國(guó)的養(yǎng)老保險(xiǎn)“空賬”卻以25%左右的速度擴(kuò)大，2011年城鎮(zhèn)基本養(yǎng)老保險(xiǎn)個(gè)人賬戶記載為2.5萬億.但實(shí)賬部分卻僅為2.25萬億，給養(yǎng)老金支付帶來的壓力可想而知.而同時(shí)我國(guó)現(xiàn)有退休制度在人口老齡化背景下導(dǎo)致了退休年齡低齡化、退休人口贍養(yǎng)率提高、退休制度缺乏彈性導(dǎo)致人力資本浪費(fèi)、由于出生率與死亡率的變化，導(dǎo)致勞動(dòng)力短缺等問題的出現(xiàn)，這些為我國(guó)退休制度改革提出了緊迫性的要求.

彈性退休制的最大特點(diǎn)是有彈性空間，公民擁有選擇權(quán)，即采取自愿的原則，讓公民在制度框架內(nèi)自行選擇自己的退休年齡.當(dāng)前彈性退休制度己成為眾多國(guó)家應(yīng)對(duì)人口老齡化、勞動(dòng)力市場(chǎng)結(jié)構(gòu)調(diào)整的重要政策主張.法國(guó)是最先進(jìn)入老年型國(guó)家，從2004年開始，其法定的退休年齡從60歲延長(zhǎng)到65歲，企業(yè)職工在14–16歲參加工作、保險(xiǎn)年限達(dá)到40–42年間時(shí)，允許其在56–59歲間申請(qǐng)?zhí)崆巴诵?；在瑞典，職工可以?5歲的時(shí)候退休，也可以在70歲的時(shí)候退休，每推遲一個(gè)月退休，其養(yǎng)老金就增加0.6%，在60–64歲退休的，每提前一個(gè)月退休，其養(yǎng)老金就減少0.5%.在60–70歲之間可以繼續(xù)選擇工作，也可以部分的領(lǐng)取養(yǎng)老金而從事非全日制的工作；英國(guó)領(lǐng)取國(guó)民養(yǎng)老金的年齡分別為男性65歲，女性60歲.女性的退休年齡將在2010–2020年間逐步提高至65歲，男性公民國(guó)民年金繳費(fèi)滿44年，女性繳費(fèi)滿39年即可獲得全額養(yǎng)老金.女性的繳費(fèi)期限也將在2010–2020年間逐步延長(zhǎng)為44年；美國(guó)的退休年齡為62歲，提前一個(gè)月退休的，其養(yǎng)老金水平為法定退休年齡的0.56%，推遲一年退休，其養(yǎng)老金水平增加3%，到2027年時(shí)，每推遲一年，其養(yǎng)老金即將增加8%[1].從西方較早進(jìn)入老齡化國(guó)家的實(shí)際情況來看彈性退休制具有可行性，應(yīng)當(dāng)是未來我國(guó)社會(huì)養(yǎng)老保險(xiǎn)制度改革的選項(xiàng)之一，因此，作為社會(huì)養(yǎng)老保險(xiǎn)隱性債務(wù)精算的基礎(chǔ)，研究彈性退休制假定下的退休年金模型是對(duì)保險(xiǎn)精算中的退休年金理論的發(fā)展與完善，具有重要的理論意義.另一方面她也可以為彈性退休制下的保險(xiǎn)金、均衡保險(xiǎn)費(fèi)等的精算分析，為我國(guó)應(yīng)對(duì)人口老齡化進(jìn)行養(yǎng)老保險(xiǎn)制度改革，防控養(yǎng)老保險(xiǎn)帳戶風(fēng)險(xiǎn)提供了精算基礎(chǔ)，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

對(duì)于年金理論，生存概率與利率等是影響年金現(xiàn)值的重要因素.精算函數(shù)中的生存概率模型的建立以合理預(yù)測(cè)死亡率為基礎(chǔ).Cairns等[2]指出合理預(yù)測(cè)隨機(jī)死亡率的模型要滿足：保證死力恒正，模型與歷史數(shù)據(jù)相符合，模型符合人類長(zhǎng)期生存特征；長(zhǎng)期看來死亡率應(yīng)該是非均值回復(fù)的；模型能夠?qū)崿F(xiàn)定價(jià)、參數(shù)估計(jì)和數(shù)據(jù)處理.早期由Lee和Cairns提出了預(yù)測(cè)死亡率的離散時(shí)間模型，假設(shè)死亡強(qiáng)度是時(shí)間和年齡的簡(jiǎn)單時(shí)間序列.由于模型較簡(jiǎn)單，不能很好的反映死亡率的隨機(jī)變化特征，他們的工作被Renshaw等學(xué)者進(jìn)行了的改進(jìn)和推廣.但隨著模型的完善，有關(guān)的計(jì)算也越來越繁瑣.連續(xù)時(shí)間模型中的仿射過程具有很好的隨機(jī)性質(zhì)，更重要的是可以簡(jiǎn)化計(jì)算，為了使模型更加趨于合理，結(jié)合我國(guó)人口生存特征，本文利用非均值回復(fù)仿射過程刻畫死亡強(qiáng)度得到的生存函數(shù)模型[2-4].

對(duì)于精算函數(shù)中的利率模型，1976年Boyel考慮了壽險(xiǎn)與年金中死亡率與利率均為隨機(jī)的情況，即所謂的“雙隨機(jī)性”，隨后又有不少學(xué)者做過這方面的研究，對(duì)于隨機(jī)利率他們都是以時(shí)間序列方法建模的，20世紀(jì)90年代，一些學(xué)者利用攝動(dòng)方法建模，得到了具有“雙隨機(jī)性”的確定年金及壽險(xiǎn)的一系列結(jié)果.Beekman等于1990、1991年分別由O-U過程和Wiener過程建模，得到了某些年金現(xiàn)值的前二階矩.何文炯等對(duì)隨機(jī)利率采用Gauss過程建模，得到了一類即時(shí)給付增額壽險(xiǎn)的給付現(xiàn)值的各階矩，并在死亡均勻分布假設(shè)下，得到了矩的簡(jiǎn)潔表達(dá)式.劉凌云等則將息力采用Gauss過程和Possion過程聯(lián)合建模，也給出了一類即時(shí)給付的增額壽險(xiǎn)的給付現(xiàn)值的各階矩.吳耀華、Beekman等[4]、孫榮[5]采用Wiener過程對(duì)隨機(jī)利率建模分別分析了家庭聯(lián)合保險(xiǎn).

由于社會(huì)養(yǎng)老保險(xiǎn)與商業(yè)人壽保險(xiǎn)有著根本的不同，故不能簡(jiǎn)單運(yùn)用壽險(xiǎn)精算模型，需要根據(jù)社會(huì)養(yǎng)老保險(xiǎn)的特點(diǎn)，對(duì)壽命精算模型進(jìn)行修正或重新推導(dǎo).北美精算師鮑爾斯等著的《精算數(shù)學(xué)》從兩個(gè)方面介紹了確定利率條件下退休金計(jì)劃的精算原理并推導(dǎo)出一

些基本精算模型：一是退休金計(jì)劃估價(jià)理論，推導(dǎo)出醵出金、退休受益等指標(biāo)的精算基本函數(shù)；二是退休基金累積理論，推導(dǎo)了用于描述精算成本方法的有用函數(shù).而國(guó)外對(duì)彈性退休制的相關(guān)研究主要集中退休制度的宏觀研究，如：Weller認(rèn)為，如果要通過延遲退休年齡來解決當(dāng)前社會(huì)保障資金短缺，需將法定退休年齡提高6.6歲；若只填補(bǔ)一半的社會(huì)保障資金短缺，法定退休年齡仍然要提1.4歲；Brothers指出，理解個(gè)人退休年齡的選擇來預(yù)測(cè)個(gè)人退休年齡的選擇，個(gè)人退休年齡的選擇受金錢、時(shí)間、個(gè)體情況以及參照人群的影響；Estell James認(rèn)為我國(guó)的退休年齡低、成本高，依據(jù)舊體系就必須得承擔(dān)相當(dāng)大的財(cái)政負(fù)擔(dān)，并且也會(huì)在一定程度上影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展，而當(dāng)2015年以后，勞動(dòng)年齡人口比重下降的時(shí)候，其制度內(nèi)的贍養(yǎng)比率會(huì)更大，要解決這一問題的最好方法就是使公式在精算上具有合理性，對(duì)退休年齡做出相應(yīng)調(diào)整；Vineenzo Galasso指出，延遲退休年齡問題在政治學(xué)領(lǐng)域也有很大爭(zhēng)議，并對(duì)法國(guó)、美國(guó)、意大利和英國(guó)延遲退休年齡做了政治可行性分析等，而對(duì)于彈性退休制下的退休年金研究較少，這可能與西方國(guó)家較早實(shí)行了彈性退休制有關(guān).國(guó)內(nèi)對(duì)精算科學(xué)的研究包括養(yǎng)老保險(xiǎn)精算研究起步較晚，現(xiàn)有國(guó)內(nèi)退休金的精算研究主要是對(duì)現(xiàn)有退休制度下確定利率與隨機(jī)利率條件下的精算研究.對(duì)確定利率條件下的退休金精算研究主要有：錢文浩和黃潔綱[6]建立了固定繳款養(yǎng)老金計(jì)劃和固定給付的保險(xiǎn)費(fèi)繳納與養(yǎng)老金給付的精算公式；王曉軍通過建立多減因子模型、工資變動(dòng)子模型、退休年金精算現(xiàn)值子模型等建立了養(yǎng)老金的給付精算現(xiàn)值；邱菀華和高建偉[7]，張文慧和吳君民[8]、高建偉和丁克詮[9]，分析了個(gè)人賬戶養(yǎng)老金給付及發(fā)放標(biāo)準(zhǔn)精算模型；王茶香利用養(yǎng)老保險(xiǎn)平衡原理對(duì)個(gè)人賬戶和社會(huì)統(tǒng)籌賬戶職工在崗期間養(yǎng)老金繳納的終值和退休后養(yǎng)老金領(lǐng)取的現(xiàn)值建立了精算模型.這些模型為我國(guó)養(yǎng)老賬戶核算提供了精算基礎(chǔ)，由于養(yǎng)老金計(jì)劃時(shí)間上的長(zhǎng)期性，確定利率不能夠反映利率變動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)性，所以理論上對(duì)隨機(jī)利率下的退休金精算研究是大趨勢(shì)，這方面的研究主要有：高建偉和李春杰[10]對(duì)利率分別以AR(p)與廣義的AR(p)建模分析了繳費(fèi)預(yù)定型企業(yè)年金保險(xiǎn)生存年金的精算現(xiàn)值模型；東明[11]等對(duì)利率以Wiener過程建模得到了養(yǎng)老金給付現(xiàn)值的期望值和方差的具體表達(dá)式；高建偉和丁克詮[9]，高建偉等[12]對(duì)利率分別以MA(q),ARMA(q)建模分析了繳費(fèi)預(yù)定型企業(yè)年金精算函數(shù)；孫榮[13]以利息力服從變化過程建立了養(yǎng)老金計(jì)劃的多重衰減模型，這些模型對(duì)利率進(jìn)行了隨機(jī)化處理，反映了利率變動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)性，但這些利率模型多是連續(xù)的或平穩(wěn)的隨機(jī)模型，不能夠反映利率在時(shí)間上的非穩(wěn)定性；為了彌補(bǔ)這一不足，尚勤和秦學(xué)志[14]引入了帶跳的非連續(xù)隨機(jī)微分方程生存模型及連續(xù)的CIR隨機(jī)微分方程利率模型對(duì)隨機(jī)條件下的退休年金進(jìn)行了討論，用統(tǒng)計(jì)模擬的方法分析了長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)對(duì)年金成本的影響，該模型可以保證死力恒正、死亡率發(fā)生的跳躍及利率的均值回復(fù)特征，具有一定的理論與實(shí)踐意義，但上述模型均沒有考慮利率時(shí)間上的突變性的特征，沒有考慮退休年齡變化對(duì)年金的影響，不適用于彈性退休制.目前還沒有針對(duì)彈性退休制下退休金的相關(guān)精算研究，故研究彈性退休制下的退休金精算模型即具有重要的理論價(jià)值，又具有現(xiàn)實(shí)的緊迫性.本文擬對(duì)現(xiàn)有研究模型進(jìn)行改進(jìn)與完善的基礎(chǔ)上，運(yùn)用非連續(xù)的利率與死亡率隨機(jī)模型對(duì)彈性退休制下的生命年金、退休年金與均衡凈保費(fèi)等相關(guān)精算函數(shù)進(jìn)行分析.

2 退休年金與保費(fèi)的計(jì)算

2.1 退休年齡模型

設(shè)為年齡為x歲的退休年齡，彈性退休制度假設(shè)為男性退休年齡為是在[60,65]取整的隨機(jī)變量，服從二項(xiàng)分布，概率為p,p＞0為右偏分布，p＜0為左偏分布，

2.2 利率模型

無風(fēng)險(xiǎn)利率采用帶跳的Cox-Ingersoll-Ross隨機(jī)模型

其中Nt是一個(gè)Possion過程，強(qiáng)度為λ,b,c,σ＞0,2bc≥σ2，a為每次跳的幅度，Wt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).

Cox,Ingersoll與Ross提出了一種短期利率模型

Feller證明了當(dāng)2bc≥σ2時(shí)，利率非負(fù)[15].模型(1)實(shí)際上是跳幅為a的帶跳的Cox-Ingersoll-Ross利率模型.經(jīng)典的Cox-Ingersoll-Ross利率模型具有均值回復(fù)項(xiàng)與非負(fù)性的典型特征，同時(shí)又考慮到利率變化的偶然性.Cox-Ingersoll-Ross過程與跳過程的結(jié)合，可以很好的反映我國(guó)利率的均值回復(fù)特征及時(shí)間上的突變性.令

由Feynman-Kac定理可得到

其中A為無窮小算子，由(2)可得

令

由(3)可得

解方程組(5)得

其中

同理由(4)可得

其中

2.3 生存概率模型

死力強(qiáng)度采用帶跳的Feller過程

其中Wt是標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)，Jt是純復(fù)合Possion過程，強(qiáng)度為λ?，均值為μ，Wt與Jt相互獨(dú)立.帶跳的Feller過程沒有均值回復(fù)項(xiàng)是非均值回復(fù)過程，符合死亡率長(zhǎng)期變化特征.同時(shí)，此過程還可以保證死力恒正，并且反映死亡率發(fā)生的跳躍.由文獻(xiàn)[2]得生存概率

其中Tx代表年齡為x歲的余壽，C(t),D(t)滿足以下常微分方程

初值條件為A(0)=0,B(0)=0，則

其中

2.4 退休年金精算模型

2.4.1 退休年金與生命年金

在彈性退休制下x歲年初支付額為1的退休年金現(xiàn)值為

在彈性退休制下x歲年初繳納額為1至Tx?年的定期生命年金現(xiàn)值為

w代表極限壽命，假定利率過程、死力過程與退休時(shí)間相互獨(dú)立，v(t)為折現(xiàn)系數(shù)，由利息理論可知

利用r(s)的Markov性，由(3)–(11)可得彈性退休制下x歲年初支付額為1的退休年金精算現(xiàn)值x歲年初繳納額為1至Tx?年的定期生命年金精算現(xiàn)值為

2.4.2 均衡保費(fèi)和退休年金二階矩

保險(xiǎn)損失L=Z1?PZ2由平衡原理得均衡凈保費(fèi)

退休年金二階矩

3 實(shí)證研究

由于精算函數(shù)涉及參數(shù)較多，需要對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行設(shè)定，依據(jù)我國(guó)的實(shí)際利率水平并參考文獻(xiàn)[2]及其他相關(guān)文獻(xiàn)的方法設(shè)定參數(shù)的結(jié)果，見表1.

根據(jù)參數(shù)設(shè)定表，對(duì)相關(guān)精算函數(shù)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行模擬測(cè)算，其結(jié)果見表2.

表1:退休年金精算函數(shù)參數(shù)設(shè)定表

表2:退休年金精算函數(shù)模擬測(cè)算表

從表2可以看出，在其它參數(shù)保持不變的情況下，p=0.4與p=0.7的年金精算相比，p=0.4時(shí)各年齡現(xiàn)值都低于p=0.7時(shí)，p=0.4時(shí)各年齡現(xiàn)值都高于p=0.7時(shí)，變動(dòng)幅度大約在4個(gè)百分點(diǎn)左右，相應(yīng)的均衡凈保費(fèi)p=0.4時(shí)都高于p=0.7時(shí)，這是由于p＜0.5為正偏分布，p＞0.5為負(fù)偏分布.正偏分代表期望退休年齡變小，負(fù)偏分布代表期望退休年齡延遲.

為了進(jìn)一步研究死亡率與利率帶跳過程中參數(shù)變化對(duì)退休年金精算現(xiàn)值的影響，表3列出了在過程中死亡率初值ux(0)、參數(shù)a?,λ?對(duì)退休年金價(jià)值的影響.可以看出，在其它參數(shù)保持不變的情況下，初值ux(0)對(duì)年金現(xiàn)值的影響較為明顯.隨著初值ux(0)的增加年金精算現(xiàn)值顯著減小，呈現(xiàn)一定的負(fù)相關(guān)關(guān)系.以x=35為例，ux(0)由0.00020增加到0.0030，減少14.13%左右，減小5%左右.ux(0)由0.00030增加到0.00040，減少11.84%，減少7%左右.在固定的初值下，參數(shù)a?和退休年金精算現(xiàn)值也呈現(xiàn)一定的負(fù)相關(guān)關(guān)系，跳躍強(qiáng)度λ?的變化對(duì)年金現(xiàn)值的影響比較小.

表3:ux(0),a?,λ?對(duì)年金現(xiàn)值的影響(p=0.7)

4 結(jié)論

彈性退休制的最大特點(diǎn)是有彈性空間，公民擁有選擇權(quán)，即采取自愿的原則，讓公民在制度框架內(nèi)自行選擇自己的退休年齡，相比較簡(jiǎn)單延長(zhǎng)退休年齡的觀點(diǎn)，“彈性退休制”更符合我國(guó)實(shí)際.目前，我國(guó)相關(guān)部門正在對(duì)彈性退休制進(jìn)行調(diào)研，而退休年金是養(yǎng)老保障體系的重要組成部分，因此對(duì)彈性退休制下的相關(guān)退休年金進(jìn)行研究有現(xiàn)實(shí)的緊迫性.本文研究了彈性退休制下退休年金的多隨機(jī)精算函數(shù)，針對(duì)退休年齡運(yùn)用二項(xiàng)分布，利率及死亡力度均采用非連續(xù)帶跳隨機(jī)微分方程模型，對(duì)相關(guān)的生命年金、退休年金、退休年金二階矩精算現(xiàn)值與均衡凈保費(fèi)等精算函數(shù)進(jìn)行了分析，給出了相應(yīng)的表達(dá)式，并運(yùn)用這些公式對(duì)相關(guān)精算函數(shù)進(jìn)行了靈敏度測(cè)算，反映了模型中各主要因素對(duì)于精算函數(shù)的影響程度.這些公式一方面是對(duì)保險(xiǎn)精算中的退休年金理論的發(fā)展與完善，具有重要的理論意義，另一方面也可以為彈性退休制下的保險(xiǎn)金、均衡保險(xiǎn)費(fèi)等的精算分析，為我國(guó)應(yīng)對(duì)人口老齡化進(jìn)行養(yǎng)老保險(xiǎn)制度改革，控養(yǎng)老保險(xiǎn)帳戶風(fēng)險(xiǎn)提供了精算基礎(chǔ)，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

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