白 頡

（太原學院，山西 太原030001）

高等師范院校是培養(yǎng)教師的主要陣地，而高等代數(shù)是高師院校數(shù)學教育專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎課程。它以其抽象深奧的知識為載體，蘊含著豐富的數(shù)學思想和數(shù)學方法；它重在培養(yǎng)學生的邏輯推理能力、抽象思維能力等數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和解決問題的能力，同時也是對初等數(shù)學部分內(nèi)容的理論化和系統(tǒng)化。因此，關(guān)于高等代數(shù)的教學研究至關(guān)重要。近年來，在教育改革浪潮的沖擊和其自身矛盾的觸發(fā)下，許多教育工作者對高等代數(shù)教學從教學內(nèi)容、教學方法、考核方式等不同層面提出了諸多可取的措施[1-5]。但對于高師?？聘叩却鷶?shù)的教學研究較少，下文主要分析高師?？聘叩却鷶?shù)的教、學現(xiàn)狀，并針對其主要矛盾給予化解教學矛盾的策略與方法。

1 高師?？聘叩却鷶?shù)教和學現(xiàn)狀分析

1.1 學生現(xiàn)狀

在高校素質(zhì)教育普及的大背景下，高師?？圃盒５纳促|(zhì)量受到了較大的影響，使學校教育面臨新的挑戰(zhàn)，使課堂教學難上加難。據(jù)2012年—2015年對某省四所師專數(shù)學系學生關(guān)于高等代數(shù)教學方面的問卷調(diào)查，綜合分析得如下情況：

數(shù)學基礎(高考成績)優(yōu)（120以上）及格不及格學習高等代數(shù)的興趣學習態(tài)度自學能力學習高等代數(shù)價值的認識0%25.8%74.2%感興趣一般無興趣7.8%37.9%54.3%探索型主動型接受型0%11%89%較好一般教差2.5%15.5%82%有一定認識不了解認為沒有意義13%32%55%

可見，師專院校數(shù)學系的大部分學生數(shù)學基礎、自學能力較差，在知識、方法的積累和探索上呈被動型，對學習高等代數(shù)的意義認識不深，對數(shù)學學習缺乏興趣。

1.2 教學現(xiàn)狀

高等代數(shù)作為一門基礎課程，具有內(nèi)容抽象、應用性體現(xiàn)較弱的特點。隨著教改的不斷推進，又出現(xiàn)了一系列的不協(xié)調(diào)，如教學內(nèi)容多、課時少；教學中，學生的主體地位沒有得到充分體現(xiàn)；多媒體教學與教學內(nèi)容貌合神離等。

綜上分析，當前高師?？聘叩却鷶?shù)課程教學中，存在的主要矛盾是高度抽象的教學內(nèi)容和學生薄弱的數(shù)學基礎間的矛盾；培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)和學生缺乏學習興趣間的矛盾；刻板的講授方式和學生消極的學習態(tài)度間的矛盾等。對此，下面提出了三條相應地改進教學不協(xié)調(diào)的策略。

2 高師?？聘叩却鷶?shù)教學策略

2.1 注重聯(lián)系中學數(shù)學知識，滲透理論知識的應用背景

基于學生現(xiàn)狀，改善學習主體的學習狀態(tài)、激發(fā)學生的學習興趣是教學的重點之一。當代建構(gòu)主義學習觀認為，學習一方面是對新信息的意義建構(gòu)，同時又包含對原有經(jīng)驗的改造和重組，即學習者以自己原有的知識經(jīng)驗為基礎，對新信息重新認識和編碼，主動構(gòu)建自己的理解。高等代數(shù)每節(jié)課的教學內(nèi)容通常是概念、性質(zhì)及問題求解的體系，在理性的知識層面下較少談及與已學知識間的關(guān)系或其在生活實際中的應用。若直接照本宣科的話，枯燥的知識不容易吸引學生，不利于學生進行知識建構(gòu)。為此，教師需要加工處理教學內(nèi)容，通過課堂激發(fā)學生學習興趣。

注重聯(lián)系新舊知識，找到新知識的生長點。通過創(chuàng)設符合教學內(nèi)容的情境，揭示新舊知識間的聯(lián)系，有助于學生對所學知識進行意義建構(gòu)。也就是說，使學生在一個情境交互、并利于意義建構(gòu)的過程中收獲知識。例如，在線性方程組一章中，消元法的教學中，我們首先創(chuàng)設問題情境，給出幾個方程組：

讓學生觀察并找出可以求解的方程組，同時分析不能求解的原因。通過學生分析上述問題，聯(lián)系中學解方程的方法 (加減消元法和代入消元法)及前面所學的克拉姆法則解方程組的條件，易得方程組 (3)、(4)、(5)均不能求解，因為方程組 (3)的系數(shù)矩陣A行列式det(A）=0，而方程組 (4)、(5)中方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)不相等。方程組(4)、(5)可以求解嗎？對于學生來講，這些問題正是他們的空白。此時，切入課題——消元法，它恰好是判斷并求解任一情形線性方程組的有效方法。這樣導入新課，自然地將學生帶入到問題情境中，帶著問題聽課利于激發(fā)學生的求知欲、調(diào)動其學習的積極性，同時也可以讓學生體會到這部分內(nèi)容是中學解方程組知識的完善和系統(tǒng)化。

教學中注重滲透理論知識的應用背景，將理論知識投射到生活實際。每一理論背后都有豐富的、鮮活的應用。然而教材中很少體現(xiàn)，大部分學生對所學知識的應用了解甚少。因此，教學中，我們可適量地講解一些知識在生活中的應用，激發(fā)學生學習的興趣。例如線性方程組理論有非常廣泛的應用，如它是研究網(wǎng)絡流模型、投入產(chǎn)出模型等方面的重要工具。例如城市規(guī)劃設計人員和交通工程師監(jiān)控城市道路網(wǎng)絡內(nèi)的交通流量、電氣工程師計算電路中流經(jīng)的電流等。大多數(shù)網(wǎng)絡流模型中的方程組都包含了數(shù)百甚至上千個未知量。

通過問題情境導入新課和應用實例的介紹，一方面使學生們意識到消元法是中學方程組內(nèi)容的深化和完善，便于學生建構(gòu)知識體系。同時也能感知理性的知識背后有其豐富、鮮活的應用，利于主動學習。

2.2 采用 “模型化”教學

對于抽象的教學內(nèi)容，學生往往是能聽懂講解，但不會運用、不會解題。因此，如何引導學生開拓思路、如何將抽象知識具體化是課堂教學的主要任務。為此，在概念、定理的教學中，我們需抓其本質(zhì)，引導學生學會翻譯，即將文字語言轉(zhuǎn)換為符號語言，準確建立符號模型。例如，在歐氏空間[6]的教學中，可以建立以下模型：

模型一：{α1，α2，…，αn}是規(guī)范正交基?<αi，αj>=

模型二：矩陣U=(uij)為正交矩陣

模型三：σ是正交變換?<σ(ξ)，σ(η)>＝<ξ，η>，，{γ1，γ2，…，γn}是一組規(guī)范正交基。

模型四：σ是對稱變換?<σ(ξ)，η>＝<ξ，σ(η)>，?ξ，η∈V。

當然在教學中，揭示了概念、定理的本質(zhì)后，注意幫助學生積累一些常見的思維模式。比如，子空間W是σ的不變子空間??ξ∈W，σ(ξ)∈W?若{α1，α2，…，αr} 是 w 的一組基，則{σ(α1)，σ(α2)，…，σ(αr)}為W的一組基。再如關(guān)于 “A或B”命題的證明，通常是在假定A不成立的條件下，只要證明成立B即可。高等代數(shù)中好多問題都可以建立相對固定的解題模式。這對開拓解題思路確實有非常好的教學效果。如下例：

設σ是n維歐氏空間V的一個正交變換，證明：如果V的一個子空間W在σ之下不變，則W的正交補W┴也在σ之下不變。

思路解析：要證W的正交補W┴也在σ之下不變，常用的有上述兩種思路，這就需要結(jié)合已知選取合適的方法。

分析已知條件：

(1)σ是n維歐氏空間V的一個正交變換?<σ(ξ)，σ (η)>＝<ξ，η > ，?ξ，η ∈V ? <σ (γi)，σ (γj)>=，其中{γ1，γ2，…，γn}是一組規(guī)范正交基；

(2)W是V的一個子空間，常規(guī)思路是將子空間W的基{α1，α2，…，αr} 擴充為V的基{α1，α2，…，αr，αr+1，…，αn}；

(3)W┴是W的正交補，結(jié)合條件 (1)、(2)，應選取W的一組規(guī)范正交基；

(4)W 在σ之下不變? {σ(α1)，σ(α2)，…，σ(αr)}是的W基。

于是，要證W的正交補W┴也在σ之下不變，只要說明 {σ(αr+1)，σ(αr+2)，…，σ(αn)} 是W┴的一組基即可。

事實上，設{α1，α2，…，αr}是W的一組規(guī)范正交基，并擴充為V的規(guī)范正交基{α1，α2，…，αr，αr+1，…，αn}。 因為<αi，αj>=0，其中 i=1，2，…，r； j=r+1，…，n，即αj∈W┴。因為 V＝W⊕W┴，故 dimW┴=n-r，從而{αr+1，αr+2，…，αn} 是W┴的一個規(guī)范正交基。又因為σ是V的一個正交變換，故{σ (α1)，σ(α2)，…，σ(αn)} 也是 V 的規(guī)范正交基；因 W 在σ之下不變，故{σ(α1)，σ(α2)，…，σ(αr)}是 W 的規(guī)范正交基。 再由<σ(αi)，σ(αj)>=<αi，αj>=0(i=1，2，…，r；j=r+1，…，n)，得σ(αj) ∈W┴(j=r+1，…，n)，從而{σ(αr+1)，σ(αr+2)，…，σ(αn)}是W┴的一組基，即W┴也在σ之下不變。

上例可見，在理解的基礎上掌握各知識點的模型、積累常規(guī)問題的思維模式，在求解問題時，便于學生將問題轉(zhuǎn)化，可以有效地改進學生見題無從下手的狀況。因此，教學中引導學生建立知識點的符號模型，幫助學生轉(zhuǎn)換知識，是高等代數(shù)教學非?？扇〉姆椒ㄖ弧?/p>

2.3 注重構(gòu)建知識體系

基于高等代數(shù)重推理論證、輕應用，學生抽象思維能力弱、學習相對被動的情況，在教學中，首先介紹所要解決的問題，大致勾勒出章節(jié)知識間的關(guān)系，讓學生初步了解知識脈絡，明白所學內(nèi)容在章節(jié)中的地位與作用，幫助學生構(gòu)建知識體系。例如，在行列式一章的講授中，結(jié)合本章的知識結(jié)構(gòu)圖介紹章節(jié)間的關(guān)系：

通過簡單的二元一次方程組、三元一次方程組的求解及相應系數(shù)行列式的計算，讓學生初步體會行列式在求解線性方程組中的工具性作用，提出學習行列式的目的和意義。通過探索二階、三階行列式中各項正負號與腳標的關(guān)系，說明學習排列的意義——為定義行列式做準備。此時，給出行列式的定義，但由于利用定義計算行列式相當麻煩，計算量太大，從而啟發(fā)我們進一步研究行列式的性質(zhì)，并探索計算行列式的方法，這是本章的重點。最后，給出行列式的應用——利用克拉默法則求解線性方程組。這樣就使行列式整章的主體知識脈絡清晰，對每一節(jié)課所要解決的問題及其在本章中的地位和意義一目了然，使學生的學習動機更有指向性和目的性。 再如線性變換一章，它是研究維向量空間V中元素之間最基本的聯(lián)系，是高等代數(shù)中最抽象、最難學的內(nèi)容。為此，希望找到相對具體的、簡單的工具來研究它，或者將其轉(zhuǎn)化為熟悉的代數(shù)系統(tǒng)來研究。在教學中，一方面滲透將抽象問題具體化、復雜問題簡單化的數(shù)學思想方法。另一方面，注意從整體上把握知識構(gòu)架。這一章共6節(jié)，可以分為兩條主線。

第一條主線 (1節(jié)—3節(jié))：實現(xiàn)了抽象問題具體化，即建立了L(V)?Mn(F)。結(jié)構(gòu)圖如下：

在第2節(jié)中，定義了線性變換的運算——加法、數(shù)乘等運算，使線性變換的集合L(V)對于加法和數(shù)乘運算做成向量空間。在第3節(jié)中，定義了線性變換關(guān)于基的矩陣，將L(V)與Mn(F)聯(lián)系起來，建立了同構(gòu)映射。這樣就將抽象的線性變換問題轉(zhuǎn)化為較為具體的矩陣問題，實現(xiàn)了較大意義上的具體化。

第二條主線 (4節(jié)—6節(jié))：實現(xiàn)了復雜問題簡單化。因為同一線性變換關(guān)于不同基的矩陣相似，自然地希望選取V的一個基，使得σ關(guān)于這個基的矩陣具有盡可能簡單的形式。這就相當于在一切相似的n階方陣中，選出一個形式盡可能簡單的矩陣。不變子空間的引入揭示我們：若V分解成s個在σ之下不變的子空間的直和，則可以適當?shù)倪x取基，使得σ關(guān)于這個基的矩陣有較簡形式。若V分解成n個在σ之下不變的一維子空間的直和，則與σ相當?shù)木仃嚲蜑閷顷嚒＿@正是本征值、本征向量和可以對角化的矩陣所解決的問題，從而解決了選基簡化σ關(guān)于基的矩陣的問題。整個思維結(jié)構(gòu)圖如下：

這一過程的呈現(xiàn)，主體知識脈絡、結(jié)構(gòu)清晰，層層遞進，環(huán)環(huán)相扣，可以使學生帶著問題去聽課，不僅增強了學生學習的指向性，同時有助于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題能力，便于學生將新知識納入到已有的知識體系中去。

總之，基于高師?？聘叩却鷶?shù)教學現(xiàn)狀，需不斷提高自身的專業(yè)素養(yǎng)，藝術(shù)地做老師，不斷創(chuàng)新教法。從教之路，充滿了未知，充滿了挑戰(zhàn)，需用心解讀、用智慧成就。