安徽省壽縣第一中學(xué)　　梁昌金　　(郵編：232200)

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一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的等價(jià)形式及應(yīng)用

安徽省壽縣第一中學(xué)梁昌金(郵編：232200)

《數(shù)學(xué)教學(xué)》2014年第8期數(shù)學(xué)問(wèn)題921為：

這是與塞瓦(Ceva)線相關(guān)的一個(gè)幾何問(wèn)題，形式簡(jiǎn)潔優(yōu)美.筆者嘗試著從問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化、問(wèn)題的證明、問(wèn)題的應(yīng)用幾個(gè)方面進(jìn)行思考.

圖1

1問(wèn)題的等價(jià)形式

于是得到問(wèn)題921的等價(jià)形式:

證明如圖1所示，由三角形面積關(guān)系，易知

可謂是“秒殺”.

圖2

3問(wèn)題的應(yīng)用

圖3

由PH=xAH,得HD-PD=xAH,所以HD-x(AH+HD)=xAH,

問(wèn)題4 (Safta猜想的推廣)AD、BE、CF是ΔABC的三條任意塞瓦(Ceva)線，且交于點(diǎn)P.若AD、BE、CF分別與EF、DF、DE交于H、N、M點(diǎn)，λ1、λ2、λ3>0,則

說(shuō)明Safta猜想于1981年由Safta提出，匡繼昌在其著作《常用不等式》(1993年版)中將其列為100個(gè)未解決的問(wèn)題之一.文獻(xiàn)[1][2]給出了Safta猜想的證明方法，文獻(xiàn)[3]對(duì)Safta猜想進(jìn)行了推廣.但證明方法都顯得復(fù)雜，筆者給出了Safta猜想及其推廣的統(tǒng)一簡(jiǎn)證.

圖4

從而原命題得證.

說(shuō)明這是文獻(xiàn)[4]給出的一個(gè)命題，證明過(guò)程仍然顯得復(fù)雜.用上述方法使得命題得以簡(jiǎn)證.

《數(shù)學(xué)教學(xué)》“數(shù)學(xué)問(wèn)題與解答”欄目刊出的數(shù)學(xué)問(wèn)題都是精心挑選出來(lái)的，是教師交流的一個(gè)平臺(tái)，筆者認(rèn)為當(dāng)我們完成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答后，要想一想這個(gè)問(wèn)題是否與其他問(wèn)題有聯(lián)系？有沒(méi)有更簡(jiǎn)捷的方法？解決問(wèn)題的方法能否進(jìn)行深度挖掘？等等.通過(guò)研究、反思，達(dá)到問(wèn)題創(chuàng)新、思維創(chuàng)新和方法創(chuàng)新.

參考文獻(xiàn)

1苗相軍.Safta猜想的證明[J].數(shù)學(xué)通訊，1994(8)

2賴百奇.Safta猜想的又一個(gè)證明[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2004(9)

3戴漢有.Safta猜想的推廣和證明[J].中等數(shù)學(xué)，2000(2)4杜少平.關(guān)于Ceva線的一個(gè)幾何不等式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2000(2)

(收稿日期：2016-01-04)