湖北省黃石市第一中學(xué)　　黃旭東　　(郵編：435000)

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2015年上海一道高考題的解法賞析與拓展應(yīng)用

湖北省黃石市第一中學(xué)黃旭東(郵編：435000)

摘要在歷年高考的圓錐曲線高考題中，常涉及到三角形面積，本文試著由2015年上海一道高考題，利用向量坐標(biāo)推導(dǎo)出一個坐標(biāo)形式的三角形面積公式，并談?wù)勂鋺?yīng)用.

關(guān)鍵詞三角形；面積；坐標(biāo)；圓錐曲線

1試題

圖1-1

(2015上海理)已知橢圓x2+2y2=1,過原點的兩條直線l1和l2分別于橢圓交于Α、Β和C、D,記得到的平行四邊形ΑΒCD的面積為S.

法二由三角形面積公式得

=2|x1y2-x2y1|,

四邊形面積S同法一，此處略.

2拓展延伸

解答完此題后，筆者發(fā)現(xiàn)此題中求三角形AOC面積時，涉及到三角形的頂點的坐標(biāo)形式，此形式結(jié)構(gòu)對稱而優(yōu)美，考慮到三角形的一般情況，而是利用向量工具得到一個關(guān)于三角形向量坐標(biāo)形式的面積公式.

證明過程同上述解答中的法二相同，此處略.

利用向量運算，代入定理中面積公式易知成立.

3鏈接高考

得出這個三角形向量坐標(biāo)形式的面積公式后，仔細(xì)研究各年間各地的高考題，發(fā)現(xiàn)涉及到三角形的面積時其有著廣泛的應(yīng)用.且解答計算量小，過程簡潔而流暢.非常巧合的是，2015年湖北、山東、浙江都有相同的題源背景.

圖2-1

圖2-2

例1(2015湖北理)一種作圖工具如圖2-1所示．O是滑槽AB的中點，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且DN=ON=1，MN=3．當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運動時，帶動N繞O轉(zhuǎn)動一周(D不動時，N也不動)，M處的筆尖畫出的曲線記為C．以O(shè)為原點，AB所在的直線為x軸建立如圖2-2所示的平面直角坐標(biāo)系．

(Ⅰ)求曲線C的方程；

(Ⅱ)設(shè)動直線l與兩定直線l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分別交于P、Q兩點．若直線l總與曲線C有且只有一個公共點，試探究：△OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．

因為直線l總與橢圓C有且只有一個公共點，所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.

①

②

將①代入②，得

當(dāng)且僅當(dāng)k=0時取等號.所以當(dāng)k=0時，SΔOPQ的最小值為8.

綜合上可知，當(dāng)直線l與橢圓C在四個頂點處相切時，△OPQ的面積取得最小值8.

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

由Δ>0?m2<4+16k2

①

②

圓錐曲線題目中常涉及到三角形面積問題，在處理此問題時常利用弦長公式與點到線的距離公式再結(jié)合面積公式來操作，計算量大，過程繁瑣.作為三角形面積公式的補充，若能靈活利用坐標(biāo)形式的面積公式有時可起到直達(dá)目標(biāo)，簡化運算，優(yōu)化解題的效用.當(dāng)然在解斜三角形求面積時有時也收到奇效，此處不作討論，有興趣的讀者可以研究一下.

一道高考題所涉及的題源背景，在同一年竟有四個不同省市同時撞車，可謂殊途同歸，異曲同工.這不是簡單的巧合，也同時給我們數(shù)學(xué)老師提出一些啟示.在平時教學(xué)中，應(yīng)多角度進(jìn)行變式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生重視課本與高考題源的研究，揭示題源與本質(zhì)，從而使學(xué)生達(dá)到鞏固所學(xué)知識、提升能力的要求.進(jìn)而引領(lǐng)學(xué)生跳出題海，真正做到觸類旁通、舉一反三，達(dá)到以不變應(yīng)萬變的能力要求.

(收稿日期：2016-02-14)