北京豐臺二中　　甘志國　　(郵編：100071)

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簡解兩道高考全國卷I理科小題

北京豐臺二中甘志國(郵編：100071)

高考題1(2015年高考全國卷I理科第12題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)<0，則a的取值范圍是()

圖1

直線y=ax-a過點(diǎn)(1，0)．

若a≤0，則f(x)<0的整數(shù)解有無窮多個(gè)，因此只能a>0.

解法2(分離常數(shù)法)令x=t+1后，即關(guān)于t的不等式(2t+1)et+10,由a<1，可得

(2t+1)et+1>(2t+1)e>t>at，

圖2

高考題2(2013年高考新課標(biāo)全國卷I理科第16題)若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱，則f(x)的最大值為______．

解法1因?yàn)閒′(x)=-4x3-3ax2+2(1-b)x+a，多項(xiàng)式函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且關(guān)于直線x=-2對稱，所以f′(-2)=0，可得11a-4b=28.又由f(0)=f(-4)，得15a-4b=60.

可解得a=8，b=15，所以

f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)，f′(x)=-4(x3+6x2+7x-2)，

解法2由f(-x)=f(x-4)恒成立，得(1+x)(1-x)(x2-ax+b)=(x-3)(5-x)[(x-4)2+a(x-4)+b],所以x-3,5-x均是x2-ax+b的因式，得x2-ax+b=(x-3)(x-5),所以a=8,b=15.還可檢驗(yàn)a=8,b=15滿足題設(shè)，所以f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)=-x4-8x3-14x2+8x+15,f′(x)=-4(x+2)(x2+4x-1).

解法3由f(-x)=f(x-4)恒成立，得f(-3)=f(-1)=0,f(-5)=f(1)=0,所以f(x)=(1-x2)(x+3)(x+5)=-(x-1)(x+5)(x+1)(x+3)=-(x2+4x-5)(x2+4x+3)=-(x2+4x-5)(x2+4x+3)=-[(x2+4x-1)-4][(x2+4x-1)+4]=16-(x2+4x-1)2，

筆者了解到的信息是，2016年高考數(shù)學(xué)只有10套卷：全國卷I，全國卷II，全國卷III，北京卷，上海卷，天津卷，江蘇卷，浙江卷，山東卷，四川卷.這就意味著2016年高考數(shù)學(xué)很多省份將結(jié)束自主命題，使用全國卷.這對多年適應(yīng)自主命題的高三教師是一種挑戰(zhàn).

從以上兩道高考題來看，全國卷既考常規(guī)(基礎(chǔ)知識、基本技能與通性通法等)也考能力(包括數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、思想方法、解題技巧、與高等數(shù)學(xué)的銜接和解題技巧等等).

(收稿日期：2016-02-11)