上海市育才中學(xué) 　　龔新平　　(郵編：201801)

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拋物線切弦的比例性質(zhì)探究

上海市育才中學(xué) 龔新平(郵編：201801)

本文記錄了我最近在教學(xué)時(shí)碰到的一個(gè)關(guān)于拋物線切線問題的解析和在該問題背景下的思考與探究，從而得出涉及拋物線切線與過切點(diǎn)的弦(不妨稱之為”切弦”)之間的比例性質(zhì)定理，并在此基礎(chǔ)上探究了一些相關(guān)應(yīng)用及若干變式，現(xiàn)整理出來和大家一起分享.

1探究拋物線切弦比例性質(zhì)的過程

問題若拋物線y2=4x上有一點(diǎn)T(1,2),則點(diǎn)T處的切線與對稱軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為______.

解析易得點(diǎn)T處的切線方程為y=x+1,與對稱軸交點(diǎn)M坐標(biāo)為M(-1,0).

思考考慮過T的切弦通徑TA,焦點(diǎn)F是其中點(diǎn)，點(diǎn)O也恰是MF的中點(diǎn)，

于是我從不同角度進(jìn)行了如下探究.

探究1取垂直焦點(diǎn)弦上不同于焦點(diǎn)的點(diǎn)時(shí)：

探究2取不經(jīng)過焦點(diǎn)的切弦TA上的某點(diǎn)時(shí)：

2拋物線切弦比例性質(zhì)定理

3探究拋物線切弦比例性質(zhì)的應(yīng)用

應(yīng)用1拋物線y2=4x上有點(diǎn)T(1,2),求通徑TA與拋物線圍成的弓形面積S.

解易得點(diǎn)T處的切線為y=x+1,通徑TA的長度為4，取TA上任意點(diǎn)B,過B作對稱軸平行線BPM,交拋物線于P,交切線于M,設(shè)AB=x,

注拋物線切弦比例性質(zhì)定理為求拋物線弓形面積提供了一種獨(dú)特方法，有興趣的讀者可以進(jìn)一步嘗試探求拋物線與斜切弦所圍成的弓形面積.

應(yīng)用2過拋物線外一點(diǎn)M作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B,與拋物線對稱軸平行的直線NM交切點(diǎn)弦AB于點(diǎn)N,探究點(diǎn)N與切點(diǎn)弦AB的位置關(guān)系如何？

解如圖分別過G、H、J、I作拋物線對稱軸平行線，分別與AB交于點(diǎn)C、D、E、F,由上述應(yīng)用2知：AD=DB,且GC與AJ的交點(diǎn)K也是AJ的中點(diǎn)，由GC∥JE,進(jìn)而知AC=CE.

4探究拋物線切弦比例性質(zhì)的變式

注事實(shí)上任意變換T、A兩點(diǎn)坐標(biāo)，只要點(diǎn)P滿足題設(shè)的條件，點(diǎn)P的軌跡一定為拋物線.

變式3已知拋物線的對稱軸及拋物線上一點(diǎn)T,如何利用尺規(guī)作圖求作點(diǎn)T處的切線呢？

(1)過點(diǎn)T任意作一條切弦TA,并取切弦TA的中點(diǎn)B；

(2)作該拋物線的對稱軸的平行線BP,交拋物線于點(diǎn)P；

(3)延長BP,截取PM=PB,連接直線TM即為所求切線.

參考文獻(xiàn)

1龔新平.拋物線內(nèi)接三角形與外切三角形的又一性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2008(1)

2盧榮邦.拋物線切線的一個(gè)新性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)通訊，2013(5)

(收稿日期：2015-12-27)