浙江省寧波市第四中學　　蔣亞軍　魏定波 　　(郵編：315000)

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一道絕對值不等式試題的解法剖析及背景探究

浙江省寧波市第四中學蔣亞軍魏定波 (郵編：315000)

摘要以一道典型的二次函數絕對值問題為例，分別給出了分類討論法、絕對值性質法、數形結合法進行解析，并對該題的背景進行探究.

關鍵詞最大(小)值；函數逼近

1問題提出

(Ⅰ)當a=0，b=1時，寫出函數f(x)的單調區(qū)間；

(Ⅲ)若對任意實數a、b，總存在實數x0∈[0，4]使得不等式f(x0)≥m成立，求實數m的取值范圍.

這是浙江省新課改實施以來，在必修內容不考查導數后，以初等函數為載體，通過數形結合、分類討論等數學思想來解決最值、單調性、不等式恒成立問題.試題新穎獨特，有著深刻的高等數學背景，在廣大教師中引起強烈反響，且這類試題在各類考試中經久不衰.本文將全方位對這個問題(Ⅲ)進行剖析.

2解法剖析

圖1

G(b)=max{g(0),g(2)}=max{|b|,|b+4a-2|}，

作出h1(b)=|b|，h2(b)=|b+4a-2|的圖象，得到

y=max{h1(x),h2(x)}的圖象，如圖1所示，可得

仿上可得：

點評這個試題對學生來說，有諸多關卡，首先是對題意理解的困惑，學生對于單獨一個量詞的問題較為熟悉，但是本題中同時出現(xiàn)“任意”，“存在”兩個量詞，且同一個問題中出現(xiàn)變量x、a、b，這樣給學生的審題帶來了不少困難.其次是問題的等價轉化，如“總存在實數x0∈[0，4]使得不等式f(x0)≥m成立”，等價于“x∈[0，4]，f(x)max≥m”，最后歸結為“對任意實數a、b，求f(x)max的最小值”.最后是解題策略，從形式上看是一個二次函數的最值問題的討論，由于涉及參數有a、b，學生在分類討論上會引起混亂，相關函數值的比較無從下手.在解題策略上采用“步步為營，逐個解決”，在解決過程中，需要結合圖形整體考慮函數的最值，對三個變量x、a、b逐個擊破.

于是有3M+4M+M≥3|b|+4|a+b-1|+|4a+b-2|，

由②、③得

而在《康斯坦丁·科羅溫像》（圖5）中，謝洛夫將這位畫家豪放縱情、喜怒隨性、率真直爽的氣質表現(xiàn)得淋漓盡致。在簡率粗略的筆法下，模特的畫家身份顯而易見，這不僅可以由墻上的習作和桌上的顏料等細節(jié)探知，更在于人物本身所傳遞的信息：科羅溫姿勢放松，顯然已經熟悉了肖像寫生的狀態(tài)；目光敏銳，似乎時刻在捕捉著美。粗鄙的墻面、藍色的衣物以及紅白條紋的墊靠物，畫面上的每一個物件都傳達出藝術家對生命的熱愛和濃郁的創(chuàng)作氛圍。

點評上述解法，先考慮問題的必要條件，再驗證充分性也成立.運用了絕對值不等式的性質，整個解題過程簡捷，避免了繁瑣的討論.但在實際答題情況調查中，我們發(fā)現(xiàn)這個解法，多是出現(xiàn)在老師交流中，這可能與絕對值不等式的性質教學有關，除了參加過競賽活動的學生外，學生對上述解答存在一些疑惑，如x的特值為什么要這樣取.為了使學生能適應此類問題的解決，在加強不等式教學的基礎上，需要經過必要的訓練.

解法3(反面探求法)考慮問題的反面，命題“若對于任意實數a、b，總存在實數x∈[0,4]，使不等式f(x)≥m成立.”的否定形式為 “若存在實數a、b，對任意實數x∈[0,4]，使不等式f(x)

圖2

點評解法3充分運用了命題的邏輯關系，采用否定形式將問題作等價轉化，通過直觀作圖求解.

3試題背景

圖3

4典例分析

例1(2015年高考(湖北卷)文科第17題)a為實數，函數f(x)=|x2-ax|在區(qū)間[0,1]上的最大值記為g(a). 當a=______時，g(a)的值最小.

圖4

當a≤0或a>2時，g(a)=max{f(0),f(1)}=|1-a|；

當0

分析由題意得：M(a,b,c)≥|f(0)|，M(a,b,c)≥|f(1)|，即M(a,b,c)≥|c|，M(a,b,c)≥|a+b+c|，則2M(a,b,c)≥|a+b+c|+|c|≥|a+b+2c|.

參考文獻

1方小芹.數學問題解決過程的知識類型分析[J]. 中國數學教育，2013(18)

2羅增儒.數學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2001

3朱立軍.不等式恒成立問題的求解策略 [J].中國數學教育，2014(20)

(收稿日期：2016-01-31)