王思儉

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的任務(wù)是什么？95%的師生認(rèn)為就是講題做題測(cè)驗(yàn)講評(píng)訂正，循環(huán)往復(fù)，直到高考。同學(xué)們有沒(méi)有想一想，這樣數(shù)學(xué)成績(jī)究竟能提高多少？數(shù)學(xué)思維能力提高了多少？但事實(shí)上結(jié)果卻是“講過(guò)練過(guò)未必會(huì)做，沒(méi)講沒(méi)練肯定不會(huì)”。究其原因，許多學(xué)生只聽(tīng)不記，或者只記不聽(tīng)，或者只畫(huà)不記，那么究竟該記什么？怎么記？記在哪里？記后做什么？

生乙：教材和教輔用書(shū)上都有概念、性質(zhì)、定理、公式，所以偶爾記一點(diǎn)拓展與注釋。

生丙：雖然復(fù)習(xí)資料上都有，但我還是堅(jiān)持記下來(lái)，我認(rèn)為對(duì)于理解概念的本質(zhì)是大有好處的。如復(fù)習(xí)直線與平面垂直、平面與平面垂直時(shí)，您要求我們對(duì)每一個(gè)定理都要證一遍，我都是認(rèn)真完成，同時(shí)也把其他同學(xué)的證明方法記錄下來(lái)，我感覺(jué)收獲很大。雖然有時(shí)未必完全理解，但課后再討論，感覺(jué)收獲更大，特別是直線與平面垂直的判定定理的證明，一位同學(xué)給出空間向量的證法，設(shè)平面a內(nèi)兩條相交直線a，6的方向向量分別為n和b，直線z的一個(gè)方向向量為n，在平面a內(nèi)任取一直線c，其方向向量記為c，根據(jù)平面向量基本定理c=xa+yb，n⊥a，n⊥b。所以，n·c=n·（xa+yb）=xn·a+yn·b=0，所以n⊥c，由線面垂直定義知l⊥α。

生?。哼@種證明方法我僅僅記一個(gè)思路，但老師提出是否還有其他證明方法時(shí)，倒引起了我的興趣，在筆記給出旁注“老師說(shuō)，還有傳統(tǒng)幾何法的證明思路”，課后我與幾位同學(xué)討論，經(jīng)過(guò)近一個(gè)多小時(shí)的探究，我們認(rèn)為要利用線線垂直的條件，先構(gòu)造等腰三角形，不妨設(shè)直線l過(guò)a與b的交點(diǎn)0，在l上取點(diǎn)P，Q，分布在點(diǎn)O的兩側(cè)，且PO=QO，在直線a和6上分別取點(diǎn)A和B。在平面α內(nèi)任取一直線c，不妨設(shè)其過(guò)點(diǎn)O，直線c與AB交于點(diǎn)M。

因?yàn)閘⊥a，所以a垂直平分線段PQ，因此PA=QA。同理PB=QB。

再證明三角形全等，又AB=AB，所以△PAB≌△QAB，于是∠PAB=∠QAB。

可以證明三角PAM≌△QAM，所以PM=QM，這樣又構(gòu)造新的等腰三角形，所以O(shè)M⊥PQ，從而證明直線l垂直平面α內(nèi)的任意一條直線，于是得到結(jié)論。

老師的一句話，激發(fā)了我們幾位同學(xué)的探索熱情，整個(gè)探究過(guò)程不僅加深了我們對(duì)定理的理解，同時(shí)也讓我們體會(huì)到構(gòu)造法研究問(wèn)題時(shí)的威力，品味到了成功的快樂(lè)。

因此我認(rèn)為記筆記主要是記要點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)、疑惑點(diǎn)和興奮點(diǎn)。

師：生丙與生丁記筆記各有特色，但他們主要是先聽(tīng)課，再記筆記，抓住主要的內(nèi)容，對(duì)于疑惑點(diǎn)他們都是先放一放，課后再進(jìn)行探究，充分發(fā)揮筆記的作用。

生戊：我認(rèn)為記筆記主要是用于課后復(fù)習(xí)鞏固，有時(shí)對(duì)課本上的定理、公式、運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行重新梳理。如果是復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，我主要是聽(tīng)老師講解，碰到關(guān)鍵之處就在教材上圈點(diǎn)，對(duì)于老師或同學(xué)給出的不同證明思路，我也是抓住關(guān)鍵詞記錄在教材相關(guān)位置，課后自己再獨(dú)立完成相關(guān)證明。例如在復(fù)習(xí)《兩角和與差的三角函數(shù)》時(shí)我主要就是記住老師在黑板上的思維導(dǎo)圖：

課后我又證明一遍，有的給出另外一種證明方法。

師：你為什么要重新證明？

生戊：當(dāng)公式或定理記得模糊不清時(shí)，我可以從定義出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)，這樣有利于自主探究性學(xué)習(xí)。

師：你對(duì)上述思維導(dǎo)圖中哪一個(gè)公式給出另一種證明方法？

生戊：在單位圓中我先利用兩點(diǎn)間距離公式證明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ。