☉江蘇省南通市天星湖中學(xué)王小麗

例談核心素養(yǎng)在向量教學(xué)中的呈現(xiàn)

☉江蘇省南通市天星湖中學(xué)王小麗

眾所周知，新一輪課程改革正在積極醞釀之中，教育部以浙江、上海作為新一輪課程改革的示范省市，將更為全面的教育推向全國.原東北師大史寧中教授等正著力數(shù)學(xué)新一輪課程標(biāo)準(zhǔn)的編制，其提出了在中學(xué)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)注重雙基三能（基本知識、基本技能、邏輯思維能力、空間想象能力、推理運算能力）的基礎(chǔ)上，將更為細(xì)致地進(jìn)行劃分，提出了六大核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)、數(shù)據(jù)處理素養(yǎng)、運算能力素養(yǎng).這些素養(yǎng)對于一線教師而言，其實并不陌生，可以這么說，在當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師通過數(shù)學(xué)問題的解決，對于學(xué)生也不斷穿插、提煉了上述素養(yǎng)，只是筆者覺得這種提煉還缺乏一定的體系和系統(tǒng)化，因此，課程改革正是需要將這些碎片化的部分整合起來，給出明確的教學(xué)目標(biāo)，讓數(shù)學(xué)教學(xué)變得更有導(dǎo)向性，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)變得更為全面.

向量是新課程中較為重要的章節(jié)，將向量引入高中數(shù)學(xué)教學(xué)是高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)合理的銜接.從知識來看，向量體現(xiàn)了抽象與形象的結(jié)合，如平面向量基本定理和正交分解，向量體現(xiàn)了很多高等數(shù)學(xué)背景下的建模類型，如極化恒等式；向量體現(xiàn)了工具性的作用，在解決立體幾何和平面幾何中有著無可比擬的優(yōu)越性.下文筆者將結(jié)合教學(xué)案例談一談這些核心素養(yǎng)在向量教學(xué)中的實施，限于篇幅選擇部分素養(yǎng)進(jìn)行交流.

一、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

建模素養(yǎng)是數(shù)學(xué)實際價值性的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)最終服務(wù)于生活的所在.課程標(biāo)準(zhǔn)一直致力于數(shù)學(xué)應(yīng)用價值的推廣，在教材中章建躍等編者編寫了很多與數(shù)學(xué)知識相關(guān)的應(yīng)用題，旨在暗示利用數(shù)學(xué)建模解決問題的重要性，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).但是與現(xiàn)階段高考應(yīng)試有所不同的是，應(yīng)用題在高考應(yīng)試中出現(xiàn)的頻率較少、難度也較低，因此，廣義的建模也不一定是實際問題的模型建立，筆者認(rèn)為也可以是數(shù)學(xué)問題本身的本質(zhì)模型識別、建構(gòu)，如何將不同的陌生問題建模為熟悉的數(shù)學(xué)問題求解，也是亟需培養(yǎng)的核心素養(yǎng).

在向量章節(jié)中，向量有很多實際的重要使用模型可供教學(xué)總結(jié)，如向量中極為重要的三點共線性質(zhì)：已知O是直線AB外一點，則A、B、P三點共線的充要條件是O—→P=（1-t）.以這一模型為本設(shè)計的向量問題，都是為了培養(yǎng)學(xué)生將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題的建模素養(yǎng)，值得教師教學(xué)探索.

說明：三點共線性質(zhì)是平面向量基本定理演變的一個非常重要的性質(zhì)，使用其可以輕快地解決很多向量相關(guān)問題，在理解向量、思維開拓上有著極為重要的作用，特別是對于斜交分解有著深刻的認(rèn)知和理解，因此，將這樣重要的性質(zhì)以單元知識結(jié)構(gòu)的形態(tài)存儲，以模型的形態(tài)置于頭腦中，有助于學(xué)生建模素養(yǎng)的形成和問題解決的優(yōu)化.

二、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

抽象素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的第一要素，這也是高中數(shù)學(xué)不同于初中數(shù)學(xué)、小學(xué)數(shù)學(xué)的重要因素.從低齡段非形式化為主的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)，到高齡段形式化為主的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)正是不斷地從具體形象到抽象轉(zhuǎn)變，這種轉(zhuǎn)變貫穿于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，這正是初等數(shù)學(xué)上升到一定程度的理性總結(jié)，向高等數(shù)學(xué)靠攏的特征漸漸體現(xiàn)出來.筆者以為，從初高中銜接到高中數(shù)學(xué)新知教學(xué)結(jié)束，高中數(shù)學(xué)非形式化的手段更多的是輔助形式化知識學(xué)習(xí)，不斷灌輸數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成，不斷總結(jié)抽象歸納的重要性.

例2已知a·b=0，向量c滿足（c-a）·（c-b）=0，|a-b|= 5，|a-c|=3，則a·c的最大值為_____.

解析：向量有坐標(biāo)向量和自由向量，學(xué)生往往喜歡坐標(biāo)向量，而懼怕自由向量，原因很簡單：坐標(biāo)向量是以運算為主的正交分解下的運算，而自由向量更多涉及的是聯(lián)系幾何本質(zhì)、圖形化的一種知識，需要更多的思考，相對而言抽象性較坐標(biāo)向量大，因此抽象理解需要教學(xué)更多關(guān)注.請學(xué)生思考問題，我們發(fā)現(xiàn)，大都學(xué)生首先對于問題的處理都是一種代數(shù)化的想法.

嘗試：從向量問題的思維來說，愈來愈多的向量問題是以考查學(xué)生思維為主的，如學(xué)生所給出的代數(shù)法很難在具體運算中得到答案，作為填空題而言缺乏向量抽象的思維是很難實現(xiàn)的.因此，筆者認(rèn)為，在解決依賴思維作為突破口的向量小題面前，多理解向量的圖形本質(zhì)、多從思維角度入手、多培養(yǎng)抽象的思維，有助于學(xué)生掌握中學(xué)數(shù)學(xué)的向量小題，也有助于數(shù)學(xué)抽象思維的培養(yǎng)和核心素養(yǎng)的建立.仔細(xì)分析上述問題，學(xué)生給出代數(shù)法由于同時還涉及|a|，|b|，|c|，b與c的夾角這些未知數(shù)，因此無法求得a·c，而且代數(shù)法計算量明顯較大，因此選擇從思維角度和圖形化入手.

導(dǎo)向：引導(dǎo)學(xué)生對于本題進(jìn)行再思考、再精讀：“a· b=0”、“（c-a）·（c-b）=0”向我們提供了一個重要的信息：垂直，利用這種垂直關(guān)系可以找到本題的圖形特征——圓，因此根據(jù)題意構(gòu)造圖4.

知識：我們再結(jié)合問題進(jìn)行尋根，問題之根：a·c=|a|·|c|cosθ=（x1， y1）（x2，y2）.

圖4

定法：根據(jù)求向量數(shù)量積的兩種不同形式，自然能想到求解此題的兩種方法：幾何法、解析法（方法之根）；只要我們準(zhǔn)確找到了題根，破題在即，躍然紙上，利用多解性的方式將問題給予呈現(xiàn)，也成為了開枝散葉、提高思路的一種方式.

圖5

思維素養(yǎng)1：關(guān)注到有條件a·b= 0和（c-a）·（c-b）=0，也就是存在兩個垂直關(guān)系，因此引導(dǎo)學(xué)生想到此題中應(yīng)該蘊含著典型的幾何圖形，由此可借助于這兩個垂直關(guān)系去構(gòu)造圖形.如圖5，令向量O—→A=a，O—→B=b，O—→C=c，則由a·b=0和（c-a）·（c-b）=0，可得∠AOB=∠ACB=90°，因此可得四邊形OACB為圓的內(nèi)接四邊形，AB=|a-b|=5為圓的直徑，CA=|a-c|=3，BC=|b-c|=4.記a與c的夾角為θ，在圓中，由θ=平方可得a2+c2-2a·c=9，則a2+c2=9+2|a|·|c|cosθ=9+

圖6

思維素養(yǎng)2：又注意到題中出現(xiàn)了a-c及a·c，因此結(jié)合a+c便可得到此三者之間的一恒等關(guān)系：a·c=對于a+c，可在△OAC中，取AC中點M（如圖6），則a+c=2→，因此，要求a·c的最大值，只需求|的最大值即可.在圓中，由于AC=3，所以當(dāng)OM經(jīng)過圓心時取得最大值.18.

說明：從問題解決過程中，我們發(fā)現(xiàn)如何將條件一步一步用思維構(gòu)建成圖形，如何利用這些條件在頭腦中形成抽象性質(zhì)的整合是關(guān)鍵，這種利用思維不斷解決向量問題的思路是思維素養(yǎng)的核心.另外，在處理數(shù)量積c）2］”是一個極為高效的處理工具，教學(xué)中可以多加關(guān)注和引導(dǎo).

總之，核心素養(yǎng)還有其余方面的呈現(xiàn)，要適應(yīng)新的課程教學(xué)改革，教師首先要在教學(xué)中嘗試這些素養(yǎng)的滲透，并注重以知識結(jié)合素養(yǎng)進(jìn)行教學(xué)的設(shè)計，限于篇幅，筆者未能在邏輯方面、運算方面、數(shù)據(jù)處理方面等展開敘述，懇請以本文之磚引讀者之玉.

1.鮑建生，等.向量教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2013（1）.

2.宋衛(wèi)東.從生“動”到生動，詮釋思維品質(zhì)的提升［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2013（5）.

3.方厚石.向量教學(xué)詮釋思維品質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)通訊，2014（1）.F