☉江蘇省海門市四甲中學(xué)沈敏鑒

一次數(shù)學(xué)選修課的實(shí)錄和思考

☉江蘇省海門市四甲中學(xué)沈敏鑒

數(shù)學(xué)選修課是對(duì)必修課程的一種良好補(bǔ)充，從學(xué)科體系來(lái)講，數(shù)學(xué)選修比較適合開(kāi)設(shè)知識(shí)拓展類等，主要以提高現(xiàn)有知識(shí)為主的教學(xué)比較合適.筆者選擇的某次課堂是柯西不等式，基本不等式是高考的必考內(nèi)容，是不等式中最基本的形態(tài)，柯西不等式是對(duì)基本不等式的補(bǔ)充，在解決一系列相關(guān)問(wèn)題時(shí)不再需要多次基本不等式去實(shí)現(xiàn)，因此選修探索內(nèi)容選擇柯西不等式是比較切合數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際的.

一、教學(xué)實(shí)錄

1.緣自最近發(fā)展區(qū)，回顧a2+b2≥2ab的幾何模型

師：這是2002年在北京舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，源自我國(guó)古代著名的趙爽弦圖（投影顯示圖1），圖中用四個(gè)全等的直角三角形拼成了一個(gè)正方形.如果把直角三角形的兩條直角邊邊長(zhǎng)分別記為a、b，那么正方形的面積等于多少？

師：所以趙爽弦圖中蘊(yùn)含了怎樣的不等關(guān)系？

圖1

生（集體）：a2+b2≥2ab.

圖5

圖6

師：大家能利用趙爽弦圖說(shuō)明上述不等式什么時(shí)候取等號(hào)嗎？

生（集體）：當(dāng)a=b時(shí)，四個(gè)三角形的面積和就等于正方形的面積.

師：這兒的a、b是三角形的邊長(zhǎng)，所以它們都是正數(shù).但我們知道當(dāng)a、b∈R時(shí)上述不等式均成立.我們是如何證明的？

生1：a2+b2-2ab=（a-b）2≥0.

師：很好，作差法是證明不等式最基礎(chǔ)也是最重要的方法.

2.以小組合作形式，類比探究柯西不等式

師：以上是關(guān)于兩個(gè)實(shí)數(shù)的不等式a2+b2≥2ab，趙爽弦圖中用了四個(gè)全等的直角三角形，a、b分別是兩條直角邊邊長(zhǎng).今天我們要更進(jìn)一步，探究關(guān)于四個(gè)實(shí)數(shù)的不等式“（a2+b2）（c2+d2）≥？”，借用先賢的智慧，研究四個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c、d需要怎樣的三角形？a、b、c、d分別是什么？請(qǐng)大家大膽猜測(cè).

生2：四個(gè)直角三角形，兩兩全等.a、b分別是其中兩個(gè)全等的直角三角形的直角邊邊長(zhǎng)，c、d分別是另兩個(gè)全等的直角三角形的直角邊邊長(zhǎng).

師：非常好，讓我們一起沿著這位同學(xué)的思路走下去.（教師發(fā)給各小組三角形模型，如圖2）

圖2

師：請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位用這四塊三角形拼成你們認(rèn)為可以用來(lái)解決問(wèn)題的圖形.

學(xué)生代表上黑板展示：

圖4

圖3

師：老師看到有6個(gè)小組拼成平行四邊形（如圖3），2個(gè)小組拼成長(zhǎng)方形（如圖4），這兩種圖形都很棒.趙爽弦圖中我們是從哪個(gè)角度思考得到不等式a2+b2≥2ab？

生3：圖形的面積.

師：很好，請(qǐng)各小組按自己的圖形繼續(xù)你們的探究，思考其中蘊(yùn)含的不等式.

教師巡視，給予指導(dǎo).

學(xué)生代表1（平行四邊形）：平行四邊形的面積有兩種算法：①如圖3，把平行四邊形看作由四個(gè)直角三角形和中間的長(zhǎng)方形拼成，那么S平行四邊形=ab+cd+（c-b）（a-d）=ac+bd.②如圖5，設(shè)平行四邊形一內(nèi)角為θ，則S平行四邊形=b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當(dāng)sinθ=1時(shí)取等號(hào).

師：非常好，這樣我們就得到（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+ bd）2.這兒a，b，c，d取值范圍是什么？

生4：a，b，c，d是三角形的邊長(zhǎng)，均為正數(shù).

生5：a2+b2≥2ab在圖形推導(dǎo)中僅對(duì)正數(shù)成立，但實(shí)際對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立.這個(gè)不等式也可能這樣.

師：那么這個(gè)不等式是不是對(duì)于任意實(shí)數(shù)都成立呢？讓我們來(lái)進(jìn)一步求證.

投影顯示：試證明（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）.

學(xué)生各自嘗試，絕大多數(shù)能獨(dú)立完成證明.

師：從證明中我們可以發(fā)現(xiàn)取等號(hào)的條件為ad=bc，這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程哪個(gè)更準(zhǔn)確？

生6：ad=bc.

師：這樣我們就得到一個(gè)著名的不等式——柯西不等式的最簡(jiǎn)呈現(xiàn)方式，即二維形式.

3.從兩個(gè)方向出發(fā)完成不等式的初步應(yīng)用

師：下面讓我們走進(jìn)柯西不等式，請(qǐng)同學(xué)們完成下列填空：

（1）（x2+y4）（a4+b2）≥（_______+_______）2；

（2）（x2+y2）（_______+_______）≥（x+yz）2；

（3）（_______+_______）（m2+n2）≥（2mx+3ny）2.

生7：（1）（x2+y4）（a4+b2）≥（xa2+y2b）2；

（2）（x2+y2）（1+z2）≥（x+yz）2；

（3）（4x2+9n2）（m2+n2）≥（2mx+3ny）2.

師：這位同學(xué)的回答對(duì)嗎？有沒(méi)有不同的意見(jiàn)？

生：全對(duì).

生8：（1）（x2+y4）（a4+b2）≥（xb+y2a2）2.

師：這位同學(xué)的回答正確嗎？

生：也對(duì).

師：所以我們?cè)趹?yīng)用柯西不等式時(shí)要根據(jù)需要靈活處理.下面請(qǐng)大家思考下題，證明不等式.

應(yīng)用1：已知a，b∈R，證明：（a4+b4）（a2+b2）≥（a3+b3）2.

師：哪位同學(xué)有思路？

生9：用柯西不等式直接可以證明.

（教師通過(guò)投影，引導(dǎo)其加以說(shuō)明）

師：這道題用作差比較法也能解決，但過(guò)程沒(méi)有如此簡(jiǎn)潔.

4.提煉探究方法提出新的問(wèn)題

師：柯西不等式是著名數(shù)學(xué)家柯西發(fā)現(xiàn)，并以他命名的.今天同學(xué)們通過(guò)自己的努力探究也推導(dǎo)出了這個(gè)著名的不等式.我們?cè)谕茖?dǎo)過(guò)程中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法呢？

生10：類比，由a2+b2≥2ab類比.

生11：數(shù)形結(jié)合，從圖形中得到了不等式.

生12：在一開(kāi)始決定要哪種三角形時(shí)進(jìn)行了合情推理.

師：同學(xué)們總結(jié)得很好，你們說(shuō)的這些是我們探究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的常用方法.數(shù)學(xué)王國(guó)還有很多未解決的問(wèn)題，只要我們勇于探索，勤于思考，完全可以有所作為.今天我們推導(dǎo)出的僅是柯西不等式的二維形式，對(duì)于它的其他形式，大家有沒(méi)有想法？

生13：三維形式，應(yīng)該和空間向量有關(guān)系.

師：很好的想法，三維形式具體是怎樣的？請(qǐng)大家課后思考.

二、教學(xué)反思

我們的數(shù)學(xué)選修課堂有時(shí)基于功利性的需要和認(rèn)識(shí)的偏差，存在著去數(shù)學(xué)化現(xiàn)象.教師為了多講一些題型，讓學(xué)生多練習(xí)便“掐頭去尾燒中段”，讓我們的學(xué)生沒(méi)有時(shí)間自己去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探究問(wèn)題.在這樣的數(shù)學(xué)課堂不可能培養(yǎng)學(xué)生高層次的思維能力，特別是探究能力.本節(jié)選修課設(shè)計(jì)以學(xué)生終身發(fā)展為目標(biāo)，意在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、探究問(wèn)題的熱情和能力.

1.多給“動(dòng)起來(lái)”的機(jī)會(huì)，使學(xué)生樂(lè)于探究

課堂中學(xué)生動(dòng)腦思考探究方法、動(dòng)手拼圖形、動(dòng)筆進(jìn)行運(yùn)算、動(dòng)口匯報(bào)成果，給學(xué)生充分“動(dòng)起來(lái)”的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生充分展示自我，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使他們樂(lè)于探究.對(duì)于學(xué)生拼成的兩種圖形都給予肯定，讓他們有機(jī)會(huì)沿著自己的道路前進(jìn).培養(yǎng)學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)正是培養(yǎng)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)能力的目標(biāo).學(xué)生在對(duì)問(wèn)題的探索時(shí)表現(xiàn)出較高的積極性.當(dāng)他們自己推導(dǎo)并證明了二維形式的柯西不等式時(shí)，顯得十分興奮，情緒空前高漲.正式上課巡視時(shí)發(fā)現(xiàn)有一小組的學(xué)生用四個(gè)直角三角形拼了兩個(gè)矩形，這是筆者多次課堂上都沒(méi)有遇到的情況.當(dāng)時(shí)認(rèn)為這個(gè)圖形與趙爽弦圖相距較遠(yuǎn)，也害怕計(jì)劃外的討論會(huì)影響教學(xué)任務(wù)的完成，所以建議學(xué)生換個(gè)拼圖方法.課后發(fā)現(xiàn)如果在圖形外沿描繪一個(gè)矩形，這個(gè)矩形和圖4中的一樣.把兩張圖結(jié)合起來(lái)，利用空白部分的面積，可以馬上得到等式sinθ.這種圖形的變換可以作為柯西不等式的另一種幾何詮釋.這是本節(jié)課的遺憾之處.

2.進(jìn)行選修教學(xué)評(píng)析，使學(xué)生善于探究

探究過(guò)程中通過(guò)提問(wèn)的方式進(jìn)行活動(dòng)評(píng)析，確定探究方法、體會(huì)思想.探究過(guò)程的每一個(gè)環(huán)節(jié)：直角三角形的選擇、用直角三角形拼四邊形、從面積出發(fā)建立不等關(guān)系、不等式成立范圍的討論等等，幾乎都在與不等式a2+b2≥2ab相類比.令學(xué)生對(duì)“類比”這一科學(xué)探究中的重要思想方法印象深刻，從幾何直觀入手的做法亦能使學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在研究不等式中的作用.課堂小結(jié)也是對(duì)探究活動(dòng)的評(píng)析.總結(jié)探究時(shí)所運(yùn)用的思想方法，并讓學(xué)生學(xué)會(huì)提出問(wèn)題，使他們善于探究.

公式的推導(dǎo)證明及向量形式部分耗時(shí)約25分鐘，所以不等式應(yīng)用環(huán)節(jié)意在讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉柯西不等式，只安排了最基礎(chǔ)的題型，沒(méi)有過(guò)多地展開(kāi)，應(yīng)用部分將在下一課時(shí)重點(diǎn)教學(xué).這樣的安排不僅能較好地完成教學(xué)目標(biāo)，使學(xué)生體驗(yàn)到探究的樂(lè)趣，還有助于學(xué)生形成正確的思維方式，培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.當(dāng)然探究能力的培養(yǎng)是長(zhǎng)期的教學(xué)任務(wù)，不可能一蹴而就.這需要我們教師堅(jiān)持不懈地反思自己的教學(xué)，明確怎樣做才能有利于學(xué)生探究能力的養(yǎng)成，從而調(diào)整教學(xué)方法.

1.陳雪松.柯西不等式的教學(xué)實(shí)踐及反思［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2009（10）.

2.李廣修.追求非功利化的數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（2）.G