屠志艷 趙飛

“模型思想”是《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）十大核心詞之一。新課標指出：模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。

從以上論述中可以看出，建立數(shù)學模型必須立足于生活情境，對生活情境中的實際問題加以提煉，得到能反映問題變化的數(shù)量關系和規(guī)律，即數(shù)學模型，并且重新進入情境驗證模型，用模型解釋現(xiàn)實問題。重視培育和發(fā)展學生的模型思想對學生的后續(xù)發(fā)展是有利的。一方面能使學生對知識追本溯源，深刻理解知識本質(zhì)；另一方面也能在一定程度上提高數(shù)學學習的興趣和數(shù)學應用意識。

下面，筆者從“乘法運算律”的教學實際入手，并由此想開去，談談數(shù)學建模的實踐與思考。

一、單層級意義理解，學生感悟深刻嗎

“乘法運算律”是蘇教版數(shù)學四年級下冊的教學內(nèi)容，例3、例4、例5分別教學乘法交換律、結(jié)合律和分配律。

例3的教學流程一般是這樣的：出示情境圖說說信息（有3組學生踢毽子，每組5人）與問題（一共有多少人踢毽子）；學生列式計算（5×3=15人或3×5=15人），初步感知兩道算式有什么相同和不同；根據(jù)結(jié)果相同，用等號連接組成等式5×3=3×5；比較等號兩邊算式的異同，進一步感知規(guī)律；小組活動舉例驗證，說說發(fā)現(xiàn)；小組展示研究成果，在交流中概括出乘法交換律的意義，并用字母式表示；揭示乘法交換律的名稱。

意義理解是模型建構(gòu)的基礎，但是單層級感知算式意義，會造成對運算律的理解不夠厚實，不利于模型建構(gòu)。以上教學過程中單層級感知算式意義表現(xiàn)在：因為5×3=15人，3×5=15人，結(jié)果相同，所以可以用等號連接組成等式。這樣單純從得數(shù)上比較算式，忽視了情境圖在理解等式成立上的功能。筆者認為，乘法交換律、結(jié)合律的教學可以從兩個層級促進意義理解。即從得數(shù)直觀發(fā)現(xiàn)相等，再到結(jié)合情境從數(shù)量關系的角度說明相等，而乘法分配律的教學可以再多一個從運算意義的角度說明相等。多層級促意義理解，學生才能感悟深刻，才能為建構(gòu)模型奠定堅實基礎。

意義理解除了要多層級感知，還要注意多方式感知。感知意義的方式有：算式、圖形、動作提示等。眾多方式中最常用的就是“博喻”，俗稱“打比方”。

【乘法分配律教學片段】

[根據(jù)情境圖抽象出等式（6+4）×24=6×24+4×24，并引導學生觀察]

師：這些算式有什么特點？

生：等號左邊是兩個數(shù)相加，再用它們的和乘第三個數(shù)。右邊是用這兩個數(shù)分別與第三個數(shù)相乘，再把積相加。

師：老師發(fā)現(xiàn)，這個算式與我們生活中學生拜訪老師有點相似。（學生愕然）

師：“6”和“4”好比是兩個同學，他們手拉著手[板書：（6+4）]一起去拜訪老師“24”[板書：24]。門開了，老師很高興，伸出手先與第一個同學握手[板書：6×24]，又與第二個同學握手[板書：4×24]，最后一起坐在沙發(fā)上[板書：6×24+4×24]。

生：真像！真像！

用“老師”和“學生”比作算式中的數(shù)，由生活場景中的“握手”類推至計算，學生不費吹灰之力就理解了算式的意義。一個形象的比喻，突破了教學難點。

二、純模仿符號表達，學生自覺主動嗎

深刻感知算式意義后進行情境剝離，在抽象思考的基礎上建立模型，才是發(fā)展學生數(shù)學思考力的根本。它是指知識從具體的情境中分離抽象出來，從而超越情境成為概括性知識，也就是“數(shù)學化”的過程。在“乘法結(jié)合律”的教學中，教者引導學生抽象完成字母表達式的過程一般是這樣的：寫一些與（23×5）×6=23×（5×6）一樣的等式，說說發(fā)現(xiàn)，驗證猜想；字母a、b、c分別表示三個數(shù)，以上等式可以寫成（a×b）×c=a×（b×c），板書字母式完成數(shù)學建模。上述教學從一般敘述到抽象化、符號化表達的過程過于單薄和牽強。這樣的建模過程是純模仿性的，是被動的，學生缺乏主動、自覺的意識。因此，筆者認為，由具體的實例抽象出字母式要在學生充分領悟情境內(nèi)涵，并在積極的內(nèi)驅(qū)下主動完成。

【乘法結(jié)合律教學片段】

板書學生舉例的等式。

師：這樣的等式寫得完嗎？（寫不完）（教師在最后一個等式的后面加上省略號）

師：黑板上現(xiàn)在有無數(shù)個等式，老師卻能用一個式子全概括進去。相信嗎？

“老師卻能用一個式子全概括進去。”簡短的一句話，調(diào)動了學生積極探究的興趣。從文字表達，到符號表達，再到字母表達，學生在自身內(nèi)驅(qū)力的作用下一步步完成模型建立。

由于受年齡特點和知識基礎的制約，學生自覺主動建模的意識不強，實際教學中教師也可以用“逼”的方法促進主動建構(gòu)。如教學“用數(shù)對確定位置”時，教師快速報10個用“第幾列第幾行”描述的位置，學生來不及記錄，于是想到用“53”“5-3”“5.3”“（53）”“（5-3）”等簡單的記錄方法，然后進行交流與評析，最后出示正確規(guī)范的表示方法“（5，3）”。又如教學“表面涂色的正方體”，棱三等分時三面、兩面、一面涂色的小正方體各有多少個？當學生分組切分操作完成后，教師說：“你們用時5分鐘，太慢了。能快一點嗎？”促使學生根據(jù)三面、兩面、一面涂色的小正方體在大正方體的位置特征進行計算。

此外，在建構(gòu)模型的過程中還要重視幾何直觀與語言表述，化復雜為簡單，化抽象為形象。曹培英老師認為，幾何直觀和語言描述在建模中的作用很大，適當?shù)默F(xiàn)實情境與幾何直觀，即生活經(jīng)驗的刺激與視覺觀察，可以相輔相成。建模的過程是抽象的、復雜的，教師要注意找尋方法，多舉措促使學生自覺主動地完成建模。

三、棄模型追求湊整，利于解釋記憶嗎

完成抽象化、符號化表達后就進入解釋、應用環(huán)節(jié)。此環(huán)節(jié)能促使學生對圖形表達和符號化的理解。乘法結(jié)合律的課堂練習有兩道練習題，學生分男女生兩組計算第二題的兩組題。根據(jù)速度的快慢，學生初步感悟湊整法的優(yōu)越性。在第三題算三數(shù)之積時，學生不約而同算成4×5×30=600，教師小結(jié)：用湊整法算三數(shù)之積比較簡便。筆者認為這樣處理習題，脫離了運算律教學，違背了編者意圖，不利于學生解釋和記憶模型。運算律知識集中安排在四年級下冊，當堂的教學效果貌似可以，但是遇到綜合練習、特征變式、有隱蔽數(shù)的時候錯誤就會增多，原因是學生對運算律的形式結(jié)構(gòu)理解、記憶得不到位。筆者對運算律解釋、應用環(huán)節(jié)的教學有兩點建議：

其一，對比與直觀，加強模型理解。在實際教學中，要強化題組對比，有不同運算律習題之間的對比、能簡算與不能簡算習題之間的對比、同一道題不同計算方法之間的對比，等等。在對比練習中使學生理解模型，并內(nèi)化為自身的知識結(jié)構(gòu)。為了防止思維僵化與機械記憶，要重視幾何直觀在理解模型上的作用，用幾何直觀支撐具體習題，讓抽象、靜態(tài)的式題具象化、動態(tài)化。這是從“意”的角度解釋應用模型。

其二，對應與觀察，加強模型記憶。運算律教學不僅要從“意”上理解，也要能從“形”上記憶，努力做到“形意兼?zhèn)洹?。在面對具體題目時，不必每次返回情境，可以直接套用腦中的運算律模型表象。就像金匠師傅澆鑄金器使用的模具，一次成型，多次使用，不必每次先筑模。所以，教學中要注意引導學生說出式題中的數(shù)分別對應運算律里的哪個字母，在“數(shù)”與“字母”、“式”與“型”的對應中加強記憶。此外，還要引導學生關注細節(jié)，通過對左右兩個式子結(jié)構(gòu)特征的細微觀察，固化模型。這是從“形”的角度解釋應用模型。

綜上所述，模型思想是重要的數(shù)學思想，在實際教學中要多層級、多方式促意義理解，多方法、多舉措促主動建模，多觀察、多對比促應用內(nèi)化，讓學生思維不僵化，理解更深刻，努力培養(yǎng)學生追本溯源的數(shù)學精神，發(fā)展應用意識。