周相榮

多題一解是指把型異質(zhì)同或型近質(zhì)同的問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)分析，抓住共同題目本質(zhì)就能弄通一題而旁通多題。多題一解的思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生應(yīng)掌握的基本解題方法和解題模式，它不僅能使學(xué)生形成必要的解題技能，還能使學(xué)生掌握一種探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的工具。也

是培養(yǎng)學(xué)生收斂性思維的重要途徑。下面就教材中利用“將軍飲馬”問(wèn)題來(lái)解決的幾種數(shù)學(xué)類(lèi)題，談?wù)劧囝}一解的思維方法。

問(wèn)題來(lái)源

圖 1

早在古羅馬時(shí)代，傳說(shuō)海倫是亞歷山大城的一位數(shù)學(xué)家。一天，有位羅馬將軍專(zhuān)程去拜訪他，請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題。他每天從軍營(yíng)山峰A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的營(yíng)地B地開(kāi)會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？從此，這個(gè)問(wèn)題被稱(chēng)為“將軍飲馬”問(wèn)題廣泛流傳。

建立模型

圖 2

直線a的同側(cè)有兩個(gè)定點(diǎn)AB，在直線上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小。

作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，易知AP=A1P，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”

原理可知，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E（A1、E、B共線）所在位置時(shí)，AP+BP=A1P值最小。

這是中學(xué)幾何教學(xué)中一個(gè)重要的基本模型。其本質(zhì)是“求距離的和最小”問(wèn)題，在教學(xué)中不僅要使學(xué)生知道如何解決問(wèn)題，而且要使學(xué)生體會(huì)到解決問(wèn)題所用到的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想和模型思想，所用方法是對(duì)稱(chēng)的方法。

類(lèi)題歸解

（一）平面直角坐標(biāo)中的最值問(wèn)題

圖 3

例1 如圖3，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-1，1），（3，2），P為X軸上一點(diǎn)，且到A，B的距離之和最小，求P點(diǎn)的坐標(biāo)？

解析 此題雖是求坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)，但點(diǎn)的確定仍然是應(yīng)用“將軍飲馬”問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思維方法，屬同質(zhì)類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題。作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，則C（-1，-1）。連接BC，與x軸交于點(diǎn)P，此時(shí)AP+BP最小。直線BC的解析式為y=34x-14，y=0，得x=13，故P（13，0）。

（二）代數(shù)中的最值問(wèn)題

例2 求代數(shù)式x2+12+（4-x）2+42的最小值。

解析 此題純代數(shù)問(wèn)題，利用代數(shù)方法解決很麻煩，如果轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)思維方法，利用“將軍飲馬”問(wèn)題模型中的圖形特征，來(lái)巧妙的構(gòu)造幾何圖形，問(wèn)題就迎刃而解了。構(gòu)圖思路如下取AB=4，作AC⊥AB，BD⊥AB，AC=1，BD=2。作點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接C′D交AB于點(diǎn)P。設(shè)AP=x，則BP=4-x，此時(shí)CP+PD=x2+12+（4-x）2+42且最小。過(guò)點(diǎn)C′作DB延長(zhǎng)線的垂線交于點(diǎn)E，故CP+PD=C′P+PD=C′D=42+32=5。

（三）圖形變換中的最值問(wèn)題

圖 4

例3 已知：如圖4，Rt△ABC中，BC=2，AC=2，∠ACB=90°，D點(diǎn)為BC邊上的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，求EC+ED的最小值。

圖 5

解析 由于C、D兩點(diǎn)分布在線段AB的同側(cè)，且點(diǎn)E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，要使EC+ED的最小值，聯(lián)想到“將軍飲馬”問(wèn)題模型中的基本圖形，以CA、BC為邊構(gòu)造正方形ACBF，則點(diǎn)F是C點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接DF交AB于點(diǎn)E，則此時(shí)EC+ED的值最小。

在Rt△DBF中，有EC+ED=EF+ED=DF=BD2+BF2=12+22=5。

說(shuō)明 此圖構(gòu)造利用翻折變換，構(gòu)建定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在不改變線段長(zhǎng)度的前提下改變其位置，化同側(cè)為異側(cè)，化折為直，找出相應(yīng)位置，并求出最小值。其出題變換背景常有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等類(lèi)型，這里不一一列舉。

思維歸納

通過(guò)分析可以看出：上述類(lèi)型題目都具有“一條直線同旁有兩個(gè)定點(diǎn)，在直線上確定一動(dòng)點(diǎn)的位置，使動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和最小”的本質(zhì)特征。解決此類(lèi)問(wèn)題的總體思路是：抓住“兩點(diǎn)之間線段最短”這一基本模型，找出點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，不管題目的形式發(fā)生如何變化，學(xué)生只要抓住“將軍飲馬”問(wèn)題模型中的圖形特征，靈活巧妙的構(gòu)造其幾何圖形，就能利用數(shù)形結(jié)合的思維方法去解決。

由此，教師在平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要注重典型性習(xí)題的選擇，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)題目的條件和結(jié)論進(jìn)行分析，抓住題目的圖形的本質(zhì)特征，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并能在類(lèi)題中靈活地根據(jù)數(shù)學(xué)模型特征構(gòu)造幾何圖形，逐步激發(fā)學(xué)生向“同質(zhì)異型”的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行深層次探索，從解決問(wèn)題上升到分析問(wèn)題，由表及里，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，善于反思和歸納，總結(jié)出“一類(lèi)題目”解決的思維方法，進(jìn)而應(yīng)用此思維方法解決“同質(zhì)”的相關(guān)類(lèi)題。培養(yǎng)了學(xué)生“多題一解”的解題意識(shí)，提高了學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的收斂性思維。