蔡江華

曾經(jīng)在一次高三?？贾?，出現(xiàn)了這樣一道向量題：已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，且3OA+5OB+2OC=0，求△AOB與△ABC的面積之比。當(dāng)時(shí)這題的正確率很低，只有少部分學(xué)生會(huì)做。作為年輕教師的筆者也沒(méi)意識(shí)到這題的價(jià)值，課上只是讓那位會(huì)的學(xué)生進(jìn)行了板演，老師稍做點(diǎn)評(píng)就結(jié)束了。估計(jì)學(xué)生也沒(méi)有留下太深的印象。后來(lái)無(wú)意中聽(tīng)到一位老教師說(shuō)關(guān)于這題有個(gè)結(jié)論。筆者當(dāng)時(shí)想數(shù)學(xué)不是靠背公式，于是也沒(méi)去請(qǐng)教。

近日，筆者翻閱文獻(xiàn)[1]，無(wú)意中看到一篇文章，里面引例類似筆者之前遇到的題目。難道真的有更深刻的理解或是一般性的結(jié)論？帶著疑惑，筆者認(rèn)真讀完了這篇文章。讀完后有種相見(jiàn)恨晚的感覺(jué)，也有些慚愧，后悔當(dāng)初沒(méi)有認(rèn)真請(qǐng)教。正巧最近一次考試中出現(xiàn)了類似題目，筆者決心這次一定不能錯(cuò)過(guò)。

1。課堂展示

題目 已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，且OA+2OB+3OC=0，求△AOB與△ABC的面積之比。學(xué)生經(jīng)過(guò)一番交流后板演了2種解法：

方法1：（利用系數(shù)特征）

OA+OC+2（OB+OC）=0，OA+OC=-2（OB+OC），取AC，BC的中點(diǎn)P，Q，則OP=-2OQ，∴O，P，Q三點(diǎn)共線，∴S△AOB∶S△ABC=1∶2。

方法2：（利用重心）設(shè)OM=OA，ON=2OB，OP=3OC，則OM+ON+OP=0，∴O為△MNP的重心，∴S△OMN=S△OMP=S△ONP，∵OA=OM，OB=12ON，OC=13OP，∴S△AOBS△MON=12OA·OBsin∠AOB12OM·ONsin∠AOB=12，∴S△AOB=12S△MON，同理：S△AOC=13S△MOP，S△BOC=16S△NOP，∴S△AOB∶S△AOC∶S△BOC=3∶2∶1，∴S△AOB∶S△ABC=1∶2。

點(diǎn)評(píng)完后，

師：2種方法哪個(gè)更好呢？

學(xué)生：方法一。

忽然學(xué)生甲舉手說(shuō)：“要是系數(shù)不是那么巧，比如，把3改為4，方法一就不行。”筆者心中暗喜，這正是心里期待的提問(wèn)。要是以前筆者估計(jì)不會(huì)繼續(xù)延伸，因?yàn)闆](méi)更深層次的知識(shí)儲(chǔ)備，但這次通過(guò)課外探究，已經(jīng)對(duì)這題型有更深的理解，不怕“掛黑板”了。此時(shí)其他同學(xué)也冷靜下來(lái)，微微皺起眉頭，停頓片刻后，他們又活躍起來(lái)。

學(xué)生乙：方法二對(duì)系數(shù)沒(méi)有要求，是個(gè)通法。

其他同學(xué)也投來(lái)贊許的目光。

師：看來(lái)這道題可以推廣到一般情況。已知平面內(nèi)一點(diǎn)O，且αOA+βOB+γOC=0，求S△BOC∶S△AOC∶S△AOB。以下是學(xué)生探討后板演的過(guò)程：設(shè)OM=αOA，ON=βOB，OP=γOC，則OM+ON+OP=0，∴O為△MNP的重心，∴S△OMN=S△OMP=S△ONP，∵OA=1αOM，OB=1βON，OC=1γOP，∴S△AOBS△MON=12OA·OBsin∠AOB12OM·ONsin∠AOB=1αβ，C∴S△AOB=1αβS△MON，同理：S△AOC=1αγS△MOP，S△BOC=1βγS△NOP，∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=α∶β∶γ。師：如圖α，β，γ是正數(shù)，若出現(xiàn)負(fù)數(shù)，以上結(jié)論還成立嗎？

生：可以，若α為負(fù)數(shù)，此時(shí)∠MON與∠AOB互補(bǔ)，sin∠MON=sin∠AOB仍然成立。

師：很好，那我們把公式再優(yōu)化一下。

生：已知平面內(nèi)一點(diǎn)O，且αOA+βOB+γOC=0，則S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=α∶β∶γ。

師：該題型有什么特征？

生：條件中各向量共起點(diǎn)，且和為零向量，上面三角形的面積之比恰好為等式中它們所缺字母所在的向量的系數(shù)之比。至此，關(guān)于這道向量面積比問(wèn)題已經(jīng)完美解決，學(xué)生也留下了很深的印象。

2。教學(xué)反思

通過(guò)這道題的前后兩種課堂對(duì)比，筆者深刻體會(huì)到教研的重要性。筆者反思后總結(jié)出作為年輕教師搞好教學(xué)研究的幾種途徑。

（1）向身邊同事請(qǐng)教，牛頓曾說(shuō)：“如果說(shuō)我看的遠(yuǎn)，那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募绨蛏稀！蔽覀兩磉吘陀性S多優(yōu)秀的同事，不管在課堂教學(xué)還是解題方法上，他們都有很豐富的經(jīng)驗(yàn)。平時(shí)要多聽(tīng)他們的課。聽(tīng)課是年輕教師快速提高自己課堂教學(xué)水平，促進(jìn)自身專業(yè)發(fā)展的重要途徑。

（2）積極參加交流研討活動(dòng)，各級(jí)各類教學(xué)研討課，都是執(zhí)教者或執(zhí)教者所在的一個(gè)集體的智慧的結(jié)晶。教師由于平時(shí)忙于教學(xué)，不知道外面同行在用怎樣的思路工作。因此，教師進(jìn)行交流取長(zhǎng)補(bǔ)短，查漏補(bǔ)缺，能促進(jìn)年輕教師的學(xué)習(xí)成長(zhǎng)，提高教學(xué)質(zhì)量。

（3）多讀書(shū)，你所讀的所有東西都會(huì)給你的大腦帶來(lái)新的信息，而你永遠(yuǎn)無(wú)法知道什么時(shí)候它們就會(huì)派上用場(chǎng)。你掌握的知識(shí)越多，對(duì)于獎(jiǎng)勵(lì)所面對(duì)的挑戰(zhàn)，你就準(zhǔn)備的越充分。比如這次面對(duì)同樣的題型，筆者從容應(yīng)對(duì)，漂亮收尾，都源于課后不經(jīng)意的閱讀。

（4）多傾學(xué)生的聲音，我們常常強(qiáng)調(diào)學(xué)生要尊重老師，卻往往忽視了學(xué)生的主體地位。愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)：“提出一個(gè)問(wèn)題，往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要?！苯鉀Q問(wèn)題只是一個(gè)技能而已，而提出一個(gè)新問(wèn)題，卻需要有創(chuàng)新性的能力，這才是一個(gè)人思維能力的最佳表現(xiàn)。所以課堂上不要壓抑了學(xué)生的思維，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑。學(xué)生的問(wèn)題，也許正是教師所忽視的地方。作為數(shù)學(xué)老師，學(xué)生提出的某些問(wèn)題一時(shí)答不上來(lái)，是很正常的現(xiàn)象。這就需要我們加強(qiáng)學(xué)習(xí)，努力提高專業(yè)水平。

[參考文獻(xiàn)]

[1]陸學(xué)政。從教材中尋找思維的源泉。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2014（7）：68-70。

[2]馬曉東。一類面積比的簡(jiǎn)潔計(jì)算公式。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2014（3）：31-32。