古力加馬力·依斯馬義

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，想要將微積分理論弄清楚，就必須要將極限理論進(jìn)行透徹的分析.因此，在某種意義上，對(duì)極限理論的理解能夠?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).極限理論是一種研究事物動(dòng)態(tài)數(shù)量關(guān)系的方法，它是高等數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的重要組成部分，是區(qū)別初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志.極限理論在高等數(shù)學(xué)中扮演著極為重要的角色，對(duì)函數(shù)連續(xù)的概念、導(dǎo)數(shù)和微積分等定義的確定有著十分重要的作用.

一、極限理論的發(fā)展歷程

高等數(shù)學(xué)是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用最為廣泛的一門學(xué)科，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).高等數(shù)學(xué)要對(duì)靜態(tài)數(shù)量關(guān)系和動(dòng)態(tài)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究和分析，在這一背景下，極限作為一種研究事物的方法應(yīng)運(yùn)而生.在我國(guó)，無(wú)限分割是最早出現(xiàn)的極限思想，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽提出了以割圓術(shù)的方法來(lái)求圓的面積，后來(lái)，數(shù)學(xué)家祖沖之也通過(guò)割圓術(shù)計(jì)算圓的面積，并將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后7位.隨著歷史的推進(jìn)，數(shù)學(xué)家波爾查諾最早提出用極限理論方法在區(qū)間上進(jìn)行連續(xù)的方法，而經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯和柯西的努力，極限理論擺脫了幾何直觀和想象，變得更加成熟，逐漸形成了現(xiàn)在一系列的極限理論.

二、極限理論在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

1.高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容中均包含著極限思想

在高等數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中，微積分無(wú)疑是其最核心的內(nèi)容，而微分和積分的實(shí)質(zhì)就是極限思想.同時(shí)，在高等數(shù)學(xué)其他重要的概念里，函數(shù)連續(xù)概念和導(dǎo)數(shù)的定義都是極限思想給出.可以說(shuō)，高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容中均包含著極限思想.

（1）函數(shù)連續(xù)概念. 函數(shù)連續(xù)的概念是由極限思想定義的.如果簡(jiǎn)單地從圖形上來(lái)看，連續(xù)函數(shù)就像是坐落在坐標(biāo)系上的連綿山脈.但是這種直觀的感受并不精確，直到數(shù)學(xué)家柯西和維爾斯特拉斯建立了基本的極限理論，函數(shù)連續(xù)的概念才得到了精確的定義.可以說(shuō)，函數(shù)連續(xù)概念也是極限理論的一種表現(xiàn)形式.

（2）導(dǎo)數(shù). 導(dǎo)數(shù)的定義以極限為基礎(chǔ)，也是極限理論的一種表現(xiàn)形式.在最初，一位法國(guó)數(shù)學(xué)家在研究極值問(wèn)題時(shí)提出了導(dǎo)數(shù)的概念，而在之后的研究過(guò)程中，先后有德國(guó)數(shù)學(xué)家和英國(guó)數(shù)學(xué)家在求已知曲線的切線和研究物體運(yùn)動(dòng)速度時(shí)建立了相同的模型來(lái)解決問(wèn)題.盡管這兩個(gè)研究課題在形式上并不相同，甚至不是同一個(gè)領(lǐng)域的問(wèn)題，但是他們都可以在極限理論的基礎(chǔ)上，利用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)解決問(wèn)題.

（3）微積分. 積分有定積分、不定積分、多重積分和曲面積分等多種形式，不定積分是利用導(dǎo)數(shù)的反運(yùn)算性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)的定義，而導(dǎo)數(shù)又是以極限理論為基礎(chǔ)的.因此，不定積分也是極限理論的表現(xiàn)形式.另外，其他形式的一些積分形式都是由極限直接定義的.例如定積分的研究，數(shù)學(xué)家在研究曲邊梯形的面積和變力作功時(shí)，引入了定積分的定義，它是一種經(jīng)過(guò)“分割，近似求和，取極限”的求解方式，是一種較為特殊的極限.

2.極限使高等數(shù)學(xué)的各部分得到統(tǒng)一

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，極限方法是一種研究數(shù)學(xué)變量問(wèn)題的基本方法，它使人們從有限認(rèn)識(shí)到無(wú)限認(rèn)識(shí).在某種意義上，極限理論體現(xiàn)了常量和變量的對(duì)立統(tǒng)一，是一種將客觀世界的量變問(wèn)題轉(zhuǎn)換成質(zhì)變過(guò)程的理論，它可以將函數(shù)連續(xù)概念、導(dǎo)數(shù)和微積分等高等數(shù)學(xué)的各部分進(jìn)行統(tǒng)一處理.例如，在正項(xiàng)級(jí)數(shù)和極限的關(guān)系中，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的序列成單增態(tài)勢(shì)，因此根據(jù)單調(diào)有界函數(shù)必有極限的性質(zhì)，在進(jìn)行項(xiàng)級(jí)數(shù)討論時(shí)，學(xué)生可以利用取絕對(duì)值的方法，將其轉(zhuǎn)化成正項(xiàng)級(jí)數(shù)或非負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，并解出正確答案.

這說(shuō)明級(jí)數(shù)與無(wú)窮限廣義積分之間可相互轉(zhuǎn)換.

由此可見(jiàn)，在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)部分，都可以在極限的本質(zhì)“其差值為無(wú)窮小量”的基礎(chǔ)上來(lái)進(jìn)行定義的轉(zhuǎn)換，極限理論的出現(xiàn)和使用，使高等數(shù)學(xué)的各部分有機(jī)地統(tǒng)一在一起，更好地幫助學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解.

綜上所述，極限理論是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中最基礎(chǔ)的知識(shí)，也是高等數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容.極限理論為微積分的教學(xué)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，它是一門以極限理論為主要研究工具來(lái)研究函數(shù)的學(xué)科.因此，教師在教學(xué)過(guò)程中要注重對(duì)學(xué)生極限思考的鍛煉，幫助學(xué)生理清極限理論的重要概念，使學(xué)生能夠掌握極限理論的實(shí)質(zhì)性問(wèn)題，從而更好地強(qiáng)調(diào)極限理論在高等數(shù)學(xué)中的地位.