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        對(duì)高中數(shù)學(xué)解析幾何中對(duì)稱問(wèn)題的分析和研究

        2016-05-14 03:41:44周奧軒
        亞太教育 2016年6期
        關(guān)鍵詞:解析幾何分析研究

        作者簡(jiǎn)介:周奧軒(1999-),男,漢族,山東莘縣人,聊城市第三中學(xué)學(xué)生。

        摘 要:隨著教育事業(yè)的快速發(fā)展,高中數(shù)學(xué)教學(xué)中解析幾何對(duì)稱的問(wèn)題愈發(fā)引起教師和學(xué)生的重視。高中數(shù)學(xué)對(duì)稱問(wèn)題是學(xué)習(xí)幾何的基礎(chǔ),無(wú)論是點(diǎn)與點(diǎn)之間的對(duì)稱還是線與線的對(duì)稱,都是學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何的基礎(chǔ)知識(shí)。本文主要對(duì)高中生在幾何解析中遇到的對(duì)稱問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)的分析,并結(jié)合基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了全面的探討。

        關(guān)鍵詞:解析幾何;對(duì)稱問(wèn)題;分析;研究

        中圖分類號(hào):G634文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A文章編號(hào):2095-9214(2016)02-0059-01

        對(duì)稱點(diǎn)以及對(duì)稱直線的求法一直是學(xué)生學(xué)習(xí)高中幾何中的難點(diǎn)。很多學(xué)生未能將對(duì)稱的知識(shí)運(yùn)用到解題之中,從而難以達(dá)到舉一反三的效果。所以高中生在進(jìn)行幾何解析的過(guò)程中應(yīng)當(dāng)樹(shù)立一種對(duì)稱的思想意識(shí),將點(diǎn)的對(duì)稱,線段的對(duì)稱以及平面的對(duì)稱融入到解題中去。

        一、高中數(shù)學(xué)解析幾何中關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱

        1.解析幾何中點(diǎn)對(duì)稱的定義

        在解析幾何中,尤其是立體幾何,我們通常需要建立空間直角坐標(biāo)系,在坐標(biāo)系中,如果把點(diǎn)P(a,b)看作是X軸線上的一點(diǎn),那么關(guān)于Y軸的對(duì)稱坐標(biāo)就為P(-a,b),關(guān)于X軸線的對(duì)稱坐標(biāo)為(-a,-b)。在不考慮Z軸的平面直角坐標(biāo)系的前提下,通常其在第一象限的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(+,+)、在第二象限的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(-,+);在第三象限的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(-,-);在第四象限的對(duì)稱坐標(biāo)為(+,-)。所以點(diǎn)的對(duì)稱會(huì)根據(jù)坐標(biāo)系原點(diǎn)的變化而有所改變。但是它在四個(gè)象限中的對(duì)稱符號(hào)卻始終不變,這也是高中生運(yùn)用對(duì)稱點(diǎn)解題的基礎(chǔ)。

        2.點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于直線的解析

        在一般情況下,我們會(huì)把一個(gè)直線Y用解析式來(lái)表示,具體表現(xiàn)為:Ax+By+C=0。在解析幾何中,我們通常需要求取直線Y關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)。所以根據(jù)慣性思維,我們首先要確定一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),可以設(shè)為:P(x,y)。這個(gè)點(diǎn)如果在第一象限,那么其關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)則必然在第三象限,可以設(shè)為Q(-x,-y)。又因?yàn)镼點(diǎn)也在直線Y上面。所以該點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱方程為A(-x)+B(-y)+C=0。其具體的簡(jiǎn)化方程式為Ax+By-C=0。點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱在高中數(shù)學(xué)解析幾何中應(yīng)用的十分廣泛。在具體的解題過(guò)程中,其還能起到一題多解的效用,而學(xué)生在運(yùn)用對(duì)稱知識(shí)解題的過(guò)程中,也能不斷強(qiáng)化自己的邏輯思維能力,從而讓自身在幾何解析中更加游刃有余。不僅如此,這種舉一反三的解題方法在例題中也有十分直觀的體現(xiàn)。

        例如:直線l1關(guān)于某一點(diǎn)M(x0,y0)的對(duì)稱直線l2。它的求法分兩種情況:1、當(dāng)M(x0,y0)在l1上時(shí),它的對(duì)稱直線為過(guò)M點(diǎn)的任一條直線。2、當(dāng)M點(diǎn)不在l1上時(shí),對(duì)稱直線的求法為:解法(一):在直線l2上任取一點(diǎn)P(x,y),則它關(guān)于M的對(duì)稱點(diǎn)為Q(2x0-x,2y0-y),因?yàn)镼點(diǎn)在l1上,把Q點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l1中,便可得到l2的方程。解法(二):在l1上取一點(diǎn)P(x1,y1),求出P關(guān)于M點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)。再由Kl1=Kl2,可求出直線l2的方程。解法(三):由Kl1=Kl2,可設(shè)l1:Ax+By+C=0關(guān)于點(diǎn)M(x0,y0)的對(duì)稱直線為Ax+By+C'=0且Ax0+By0+CA2+B2=Ax0+By0+C'A2+B2求設(shè)C'從而可求得對(duì)稱直線方程。

        3.曲線與點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系

        曲線的對(duì)稱在高中解析幾何中通常運(yùn)用的不多,其更多的是運(yùn)用于二次函數(shù)以及微積分對(duì)稱點(diǎn)的求解上。如果把曲線L1:f(x,y)看作是一條曲線,那么就可以把P(a,b)看作是曲線上面的任意一點(diǎn)。根據(jù)對(duì)稱的原理,P點(diǎn)關(guān)于M(x0,y0)的對(duì)稱點(diǎn)(2x0-x,2y0-y)在曲線f(x,y)=0上。故對(duì)稱曲線方程為f(2x0-x,2y0-y)=0。

        二、高中數(shù)學(xué)解析幾何中關(guān)于直線與點(diǎn)的對(duì)稱

        1.點(diǎn)關(guān)于直線的求解方程

        在一條直線中,我們通常表示為L(zhǎng):Ax+By+c=0.把P(a,b)看作是直線上的一點(diǎn),我們通常需要求解的是其關(guān)于直線的對(duì)稱坐標(biāo)。這也是點(diǎn)關(guān)于直線的基礎(chǔ)求解問(wèn)題,如果我們將對(duì)稱坐標(biāo)設(shè)為P',那么就可以用多種方法將這個(gè)問(wèn)題求解出來(lái):

        解法(一):由PP'⊥L知,KPP'=BA直線PP'的方程→y-b=BA(x-a)由Ax+By+C=0y-b=BA(x-a) 可求得交點(diǎn)坐標(biāo),再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)。解法(二):設(shè)對(duì)稱點(diǎn)P'(x,y)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)坐標(biāo)為(a+x2,b+y2)把中點(diǎn)坐標(biāo)代入L中得到A·a+x2+B·b+y2+C=0;① 再由KPP'=BA得b-ya-x=BA②,聯(lián)立①、②可得到P'點(diǎn)坐標(biāo)。解法(三):設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為P'(x,y),由點(diǎn)到直線的距離公式有Ax0+By0+CA2+B2=Ax0+By0+C'A2+B2①,再由KPP'=BA得b-ya-x=BA②由①、②可得到P'點(diǎn)坐標(biāo)。

        從以上的三種解析中我們可以很清楚的看到,點(diǎn)對(duì)稱在直線方程中的運(yùn)用十分靈活。但是我們也要熟練的掌握各種對(duì)稱的技巧。尤其是點(diǎn)對(duì)稱的方程求解是高中數(shù)學(xué)解析幾何中較為常見(jiàn)的問(wèn)題,所以在進(jìn)行求解的過(guò)程中,我們首先應(yīng)當(dāng)對(duì)各種公式進(jìn)行熟練的掌握,然后結(jié)合對(duì)稱的概念以及坐標(biāo)系中對(duì)稱的特點(diǎn),將直線方程快速而且準(zhǔn)確的求解出來(lái)。

        2.直線與直線的對(duì)稱

        直線與直線之間的對(duì)稱方程相對(duì)于直線與點(diǎn)的方程而言較為復(fù)雜。直線的對(duì)稱通??梢苑譃閮煞N情況。其一就是當(dāng)兩條直線處于平衡狀態(tài)時(shí),也就是L1∥L∥L2時(shí),我們?nèi)绻蠼馄鋵?duì)稱直線的坐標(biāo),首先要求解關(guān)于直線L的對(duì)稱坐標(biāo)。而且還要在直線L1上任意的取一點(diǎn)C(a,b),這樣就可以采用等效替代的方法,得出Pl1=Pl2,從而將L2的直線方程較快的求解出來(lái)。其二就是當(dāng)兩條直線不相交時(shí),我們可以假設(shè)兩條直線相較于一點(diǎn),我們把該點(diǎn)坐標(biāo)定為A(X,Y)??梢月?lián)立兩個(gè)二元一次方程式,將坐標(biāo)A求解出來(lái)。然后在另外一條直線L2上取一點(diǎn)B。然后將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入到直線方程中就能將線與線的直線方程有效地求解出來(lái)。

        由此可見(jiàn),在進(jìn)行高中幾何解題的過(guò)程中,將對(duì)稱思想運(yùn)用其中,不僅能夠讓我們解題思路更加清晰,還可使答題的效率得到有效提升。

        三、結(jié)語(yǔ)

        高中數(shù)學(xué)解析幾何中的對(duì)稱問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分,學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中,應(yīng)當(dāng)從對(duì)稱的定義出發(fā),將各種對(duì)稱知識(shí)進(jìn)行熟練掌握,同時(shí)還要注意反思和總結(jié),在運(yùn)用對(duì)稱知識(shí)解題時(shí),要學(xué)會(huì)一題多解,從而讓自己的解題思維更加豐富,更為清晰,最終全面提升我們的綜合學(xué)習(xí)能力。

        (作者單位:聊城市第三中學(xué))

        參考文獻(xiàn):

        [1]張健.2013年高考“直線與圓的方程”專題分析[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育,2013(Z4):15-22.

        [2]周遠(yuǎn)方.2013年高考“圓錐曲線”專題分析[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育,2013(Z4):39-42.

        [3]朱恒元.2013年高考“選考內(nèi)容”專題分析[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育. 2013(Z4).168-172

        [4]韋興洲.基于幾何畫(huà)板的軌跡探求課件作法兩例[J].新課程學(xué)習(xí)(下). 2011(11) .155-193

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