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        求φ的兩種常用方法

        2016-05-14 11:41:19李瑞華汪孔娟
        關(guān)鍵詞:平衡點

        李瑞華 汪孔娟

        [摘 要] 介紹兩種應(yīng)用條件快速地求出初相φ的方法.這兩種方法分別為利用最值點求φ和利用平衡點求φ.

        [關(guān)鍵詞] 初相 最值點 平衡點

        [中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674 6058(2016)17 0055

        在求三角函數(shù)型y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)的解析式中,學(xué)生普遍感覺難求初相φ.本文介紹如何最快求解初相φ.

        要想快速地求出初相φ,就必須回顧五點作圖法的列表.作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)的圖像的第一步是列表:

        列表時,先填中間一行:

        為什么先填中間的一行呢?仔細回想,“0、 π 2 、π、 3π 2 、2π”是正弦函數(shù)y=sinx的“五點作圖法”中的五個關(guān)鍵點(三個平衡點,兩個最值點).“ωx+φ”叫做相位.對相位的理解,影響求初相φ.對正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)來說,相位“ωx+φ”的五個數(shù)據(jù)對 應(yīng)的是五個關(guān)鍵點:第一個平衡點(- φ ω ,k);最高點( π 2ω - φ ω ,A+k);第二個平衡點( π ω - φ ω ,k);最低點( 3π 2ω - φ ω

        ,-A+k);第三個平衡點( 2π ω - φ ω ,k).對比正弦函數(shù)y=sinx,有三個平衡點和兩個最值點,求A、k和周期T(進而求ω)就很容易理解了.這五個關(guān)鍵點的坐標是不用背的.我們將x的值代入相位“ωx+φ”,找對應(yīng)的相位的值即可.如:當(dāng)x= π 3

        時,函數(shù)值最大或圖像最高,則ω× π 3 +φ= π 2

        ,解方程求φ(ω已知).這是運用整體思想求解的.事實上,“ωx+φ”相當(dāng)于y=sinx中的“x”,相位的本意也正在此.

        由圖像的五個關(guān)鍵點求φ時,優(yōu)先考慮最值點.因為最值點對應(yīng)的相位是唯一的,最高點對應(yīng)的是 π 2 ,最低點對應(yīng)的是 3π 2 .如果無最值點,再考慮平衡點.此時要判斷清楚是第幾個平衡點,才能找準相位.如果無這五個關(guān)鍵點,則代入一般點,通過解三角函數(shù)求得φ.若所求得的值不在所給范圍內(nèi),則根據(jù)周期進行調(diào)整.

        一、利用最值點求φ

        圖1

        【例1】 (2015·陜西,理3改編)如圖1,某港口一天6

        時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin( π 6 x+φ)+k,(|φ|< π 2 ),據(jù)此函數(shù)圖像可知,φ的值為( ).

        A. π 6

        B.- π 6

        C. π 3

        D.- π 3

        答案: B.

        解析: 觀察圖1,求φ選擇代入最低點,由最低點的相位求解.由圖1知,當(dāng)x=10時,ymin=2,∴ π 6 ×10+φ= 3π 2 ,解得:φ=- π 6 .

        點評: 如果題設(shè)沒有限制φ的范圍,則得到φ=2kπ- π 6 ,k∈ Z .如果題設(shè)還給有其他點,那么仍是優(yōu)先選擇最值點.

        二、利用由平衡點求φ

        圖2

        【例2】 (2015·新課標Ⅰ,理8)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖像如圖2所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( ).

        A.(kπ- 1 4

        ,kπ+ 3 4 ),k∈ Z

        B.(2kπ- 1 4 ,2kπ+ 3 4 ),k∈ Z

        C.(k- 1 4 ,k+ 3 4 ),k∈ Z

        D.(2k- 1 4 ,2k+ 3 4 ),k∈ Z

        答案: D.

        解析: 先求解析式,再求單調(diào)遞減區(qū)間.求解析式時,ω由周期確定,φ由平衡點確定.由圖2知, T 2 = 5 4 - 1 4 =1= π ω ,解得:ω=π.

        根據(jù)余弦函數(shù)的圖像知x= 1 4 是第一個平衡點,故 1 4 ω+φ= π 2 ,解得:φ= π 4 .∴f(x)=cos(πx+ π 4 ).再令2kπ<πx+ π 4 <2kπ+π,k∈ Z ,解得:2k- 1 4

        點評: 判斷準確平衡點是代準相位的關(guān)鍵.當(dāng)然,正弦與余弦更不能代錯.

        (責(zé)任編輯 鐘偉芳)

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